复旦大学：《离散数学》课程教学讲义（集合论）第二章 关系（主讲：吴永辉）

例22A={1,2,3,4}上的小于关系R:(a,b)∈R 冷a<b R={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)} ■练习: A={1,2,3,4}上的小于等于关系:R={(1,1)(2, 2),(3,3)(44)(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)(2 4),(3,4)} A={1,2,3,4}上的不等关系:R”={(1,2),(1,3), (1,4)(2,3),(2,4),(3,4),(2,1),(3,1),(4,1), (3,2),(4,2)(4,3)}

 例2.2 A={1, 2, 3, 4}上的小于关系R: (a, b)R a<b.  R={(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}  练习：  A={1, 2, 3, 4}上的小于等于关系：R’={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}  A={1, 2, 3, 4}上的不等关系: R”={(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3)}

2.1二元关系 三定义23(m元关系) 设An……A是n个任意集合,定义 A1X……A的子集R为A……An的n元关系。 当A A时,R称为A上的元关 系 实例:表格

2.1 二元关系  三 定义2.3 （n元关系） 设A1,……,An是n个任意集合，定义 A1×……×An的子集R为A1,……,An的n元关系。 当A1=……=An时，R称为A上的n元关 系。 实例：表格

2.2关系的性质 定义24(关系的性质) 设R是集合A上的二元关系。 (1)如果对任意aeA,有aRa,则称尺是自反的。 (2)如果对任意a∈A,有(aa)R,则称R是反自反的 (3)对任意ab∈A,如果aRb必有bRa,则称R是对称的 (4)对任意ab∈A,如果aRh且bRa,必有a=b,则称R 是反对称的。 如果aR且a地b,必有团引)∈R,则称R是反对称的。 (5)对任意abC∈A,如果 aRbE. bRo,必有aRC,则称 R是传递的

2.2 关系的性质  一 定义2.4(关系的性质) 设R是集合A上的二元关系。 (1)如果对任意aA，有aRa，则称R是自反的。 (2)如果对任意aA，有(a, a)R，则称R是反自反的。 (3)对任意a, bA，如果aRb必有bRa，则称R是对称的。 (4)对任意a, bA，如果aRb且bRa，必有a=b，则称R 是反对称的。 如果aRb且ab，必有(b, a)R ，则称R是反对称的。 (5)对任意a, b, cA，如果aRb且bRc，必有aRc，则称 R是传递的

实例1:自反与反自反 自反:小于等于关系 反自反:小于关系 A={1,2,3,4上的关系R={(1,1),(,2},则R 既不是自反,也不是反自反;所以,A上的 二元关系R可以既不是自反,也不是反自反

 实例1：自反与反自反  自反：小于等于关系  反自反：小于关系  A={1, 2, 3, 4}上的关系R={(1, 1), (1, 2)}, 则R 既不是自反，也不是反自反；所以，A上的 二元关系R可以既不是自反，也不是反自反

实例2:对称与反对称 对称:不等关系 反对称:小于关系 A={1,2,3,4}上的关系R={(2,1),(1,2), (1,3)},则R既不是对称,也不是反对称 所以,A上的二元关系R可以既不是对称, 也不是反对称

 实例2：对称与反对称  对称：不等关系  反对称：小于关系  A={1, 2, 3, 4}上的关系R={(2, 1), (1, 2), (1, 3)}, 则R既不是对称，也不是反对称； 所以，A上的二元关系R可以既不是对称， 也不是反对称