集合论 王智慧 复旦大学计算机学院
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函数 ·函数的定义与性质 函数的复合与反函数 双射函数与集合的基数
2 函数 • 函数的定义与性质 • 函数的复合与反函数 • 双射函数与集合的基数
函数的定义 定义:设F为二元关系,若∨x∈domF,都存在唯一的 yenan, 使xFy成立,则称F为函数(或映射)对于函数F,如果有xFy, 则记作y=F(x),并称y为F在x的值 例:设A={1,2,3},F1和F2为A上的二元关系: F1={<1,2>,<2,2>,<1,3>} F2={<1,2>,<2,3>} 请判断F1和F2是否为A上的函数?
3 函数的定义 定义: 设F为二元关系, 若∀x∈domF, 都存在唯一的y∈ranF, 使xFy成立, 则称F为函数(或映射).对于函数F, 如果有xFy, 则记作y=F(x), 并称y为F在x的值. 例: 设A={1, 2, 3}, F1和F2为A上的二元关系: F1 = { <1, 2>, <2, 2>, <1, 3> } F2 = { <1, 2>, <2, 3> } 请判断F1和F2是否为A上的函数?
函数的相等 由于函数是集合,可用集合相等来定义函数的相等: 定义.设F和G为函数,则F=G分FcG∧GcF 由以上定义可知,如果两个函数F和G相等,一定满足下面 两个条件: (1)domF=donG (2) VxedomF=domG,都有F(x)=G(x) 例:请判断函数F()=(x21)/x+1,G(x)=x1是否相等? 因为domF={x|x∈R∧x≠-1},domG=R
4 函数的相等 由于函数是集合, 可用集合相等来定义函数的相等: 定义. 设F和G为函数, 则 F=G ⇔ F⊆G∧G⊆F . 由以上定义可知, 如果两个函数F和G相等, 一定满足下面 两个条件: (1) domF = domG (2) ∀x∈domF = domG, 都有 F(x) = G(x) 例: 请判断函数F(x) = (x2-1)/(x+1), G(x) = x-1是否相等? 因为 domF = { x | x∈R∧x ≠ -1 } , domG = R
从A到B的函数 定义:设A和B为集合,如果f为函数,且domf=A, rance,则 称为从A到B的函数,记作:A→B 例如: f:N→N,f(x)=2x是从N到N的函数, g:N→N,g(x)=2也是从N到N的函数 定义:所有从A到B的函数的集合记作B,读作“B上A”符号 化表示为BA={f|f:A→B}
5 从A到B的函数 定义: 设A和B为集合, 如果f为函数, 且domf = A, ranf⊆B, 则 称f为从A到B的函数, 记作f:A→B. 定义: 所有从A到B的函数的集合记作BA, 读作“B上A”.符号 化表示为BA = { f | f: A→B }. 例如: f: N→N, f(x) = 2x是从N到N的函数, g: N→N, g(x) = 2也是从N到N的函数