仅证明离散型随机变量函数的期望:已知X的分布律, 易知Y=g(x)的分布律,如下表 Y=g(X)g(x)(x2) g(xi 由离散型随机变量期望的定义,知 E(Y)=E(g(X)=∑g(x)P
仅证明离散型随机变量函数的期望:已知 X的分布律， 易知Y=g(x)的分布律，如下表 g(xi ) pi xi g(x 2 g(x ) 1 Y=g(X) ) p 2 p 1 pij X x 1 x 2 … … 由离散型随机变量期望的定义，知 1 ( ) ( ( )) ( ) k k k EY E g X g x p ∞ = = = ∑
定理42P(108)设(X,Y为二维随机变量,Z=g(X,Y) 是X的函数 (1)若离散型随机变量(X,Y)~P{(x,Y)=(x1,y)=P i,j=1,2,…,如果级数 ∑g(x,y)P 绝对收敛,则 E(Y)=E(8(X)=28(x, y)P (2)若连续型随机变量(x,Y)~f(x,y),如果广义积分 g(x,y)f(x,y)dxdy绝对收敛,则 E(Z)=E(g(X, r)= g(x,y)f(x, y)dxdy
定理4.1.2 P(108) 设(X,Y)为二维随机变量，Z=g(X,Y) 是X的函数 (1)若离散型随机变量(X,Y)～P{(X,Y)=(xi ,yj)}=pij, i,j=1,2,…, 如果级数 绝对收敛，则 , 1 ( ) ( ( )) ( , ) i j ij i j EY E g X g x y p ∞ = = = ∑ (2)若连续型随机变量(X,Y)～f(x,y), 如果广义积分 g (, ) (, ) x y f x y dxd y ∞ ∞ −∞ −∞ ∫ ∫ 绝对收敛，则 E Z E g X Y g x y f x y dxdy ( ) ( ( , )) ( , ) ( , ) ∞ ∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ , 1 (, ) i j ij i j gx y p ∞ = ∑
例:设X服从N(0,1)分布,求E(X2),E(X3),E(X4) f(x) e 2兀 x x E(X2)=|一ne2 e 2兀 y8人 dx
例：设 X服从N(0，1)分布，求E(X 2),E(X 3),E(X 4 ) 2 2 2 1 ( ) x f x e − = π e dx x E X x 2 2 2 2 2 ( ) − ∞ − ∞ ∫ = π 2 2 2 x de x − ∞ − ∞ ∫ = − π e dx x 2 2 2 1 − ∞ − ∞ ∫ = π = 1
x E ) Ⅹ dx x E Ⅹ t x x d x
e dx x E X x 2 3 3 2 2 ( ) − ∞ −∞ ∫ = π = 0 e dx x E X x 2 4 4 2 2 ( ) − ∞ −∞ ∫ = π 2 3 2 2 x de x − ∞ −∞ ∫ = − π e dx x x2 2 2 2 3 − ∞ −∞ ∫ = π = 3
例:设随机变量(X,Y)的分布律如下,求E(XY) 0.150.15 0.450.25 解:E(XY)=0×1×0.15+0×2×0.15 +1×1×045+1×2×0.25 =0.95
例：设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY) x y 1 2 0 0.15 0.15 1 0.45 0.25 解: E(XY) = 0×1×0.15 + 0× 2×0.15 +1×1×0.45 +1× 2×0.25 = 0.95