第七章函数矩阵与矩阵微分方程 历数矩阵 定义:以实变量x的函数为元素的矩阵 「a1(x)a2(x) a(X a2(x)a2(x) a. A(x) 2n a,x a m2 (x) a(x
第七章 函数矩阵与矩阵微分方程 函数矩阵 定义： 以实变量 的函数为元素的矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n m m mn a x a x a x a x a x a x A x a x a x a x = x
称为函数矩阵,其中所有的元素 (x),i=1,2,…,m;j=1,2,…,n 都是定义在闭区间[a,b上的实函数。 函数矩阵与数字矩阵一样也有加法,数乘, 乘法,转置等几种运算,并且运算法则完 全相同。 例:已知
称为函数矩阵，其中所有的元素 都是定义在闭区间 上的实函数。 函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘， 乘法，转置等几种运算，并且运算法则完 全相同。 例：已知 ( ), 1, 2, , ; 1, 2, , a x i m j n ij = = [ , ] a b
X sinx 1+x cos x B= 1+x 计算A+B,AB3,A,2(A-B) 定义:设A(x)为一个n阶函数矩阵,如果 存在n阶函数矩阵B(x)使得对于任何 x∈[a,b]都有 4(x)B(x)=B(x)A(x)=1 那么我们称A(x)在区间[a,b上是可逆的
1 sin 1 cos , 1 1 x x x x x x A B e x e x − + = = + − 计算 定义：设 为一个 阶函数矩阵，如果 存在 阶函数矩阵 使得对于任何 都有 那么我们称 在区间 上是可逆的。 , , ,2 ( ) T x A B AB A A B + − n B x( ) x a b [ , ] n A x B x B x A x I ( ) ( ) ( ) ( ) = = A x( ) [ , ] a b A x( )
称B(x)是A(x)的逆矩阵,一般记为A(x) 例:已知 A(x)=/x 0 ,那么A(x)在区间[3,5]上是可逆的,其 逆为 0
称 是 的逆矩阵，一般记为 例 ：已知 ，那么 在区间 上是可逆的，其 逆为 B x( ) A x( ) 1 A x( ) − 1 1 ( ) 0 x A x x e = A x( ) 1 ( ) 1 0 x x x x e A x e − − = [3,5]
函数矩阵可逆的充分必要条件 定理:阶矩阵A(x)在区间[a,b]上可逆 的充分必要条件是(x)在[a,b上处处不 为零,并且 A(x)=,A(x) 4(x) 其中4(x)为矩阵A(x)的伴随矩阵。 定义:区间[a,b上的m×n型矩阵函数不 恒等于零的子式的最高阶数称为A(x)的秩
函数矩阵可逆的充分必要条件 定理 : 阶矩阵 在区间 上可逆 的充分必要条件是 在 上处处不 为零，并且 ，其中 为矩阵 的伴随矩阵。 定义：区间 上的 型矩阵函数不 恒等于零的子式的最高阶数称为 的秩。 m n A x( ) [ , ] a b A x( ) [ , ] a b 1 * 1 ( ) ( ) ( ) A x A x A x − = * A x( ) A x( ) [ , ] a bA x( )