定义4.1.2.P(108)若连续型随机变量X~f(x), 如果广义积分 xf(xdx 绝对收敛,则称此积分为随机变量 X的数学期望(均值)。记为 E(X)=xf(x)d3
定义 4.1.2.P(108) 若连续型随机变量X～f(x), 如果广义积分 EX x ( ) () f x dx ∞ −∞ = ∫ xf x dx ( ) ∞ − ∞ ∫ 绝对收敛，则称此积分为随机变量 X的数学期望（均值）。记为
例:设随机变量X~e(λ),求E(X)。 解 e x>0 X-f(x) 其它 由定义有 E(X)=xf(r)dx 入 e dx= +0 nxe d(nx r(2)
例：设随机变量X～e(λ)，求E（X）。 解： , 0 ( ) 0, x e x X fx λ λ − > = ∼ 其它 由定义有 E X xf x dx ( ) () ∞ −∞ = ∫ 0 x e dx λ λ + ∞ − = ∫ 0 1 ( ) x xe d x λ λ λ λ +∞ − = ∫ 1 1 (2) λ λ =Γ =
例 设随机变量X服从 Cauchy分布,其密度函数为 0<X<+00 π1+x 由于 (===广 + 这表明积分(址如不绝对收线,因而E不存在
设随机变量 X 服从Cauchy分布，其密度函数为 由于 ( ) ∫ +∞ −∞ x f x dx ( ) ( ) − ∞ < < +∞ + = ⋅ x x f x 2 1 1 1 π ∫ +∞ −∞ + = dx x x 2 1 1 π ∫ +∞ + = 0 2 1 2 dx x x π ( ) +∞ = + 0 2 ln 1 1 x π = +∞ 这表明积分 ∫ ( ) 不绝对收敛， +∞ −∞ xf x dx 因而 EX 不存在． 例
412随机变量函数的数学期望 例:设随机变量X的分布律为 k为 求随机变量Y=X的数学期望 解:Y10 E(Y)=1·+0· 3
例：设随机变量X的分布律为 解: 求随机变量Y=X2的数学期望 X Pk -1 0 1 3 1 3 1 3 1 Y Pk 1 0 3 1 3 2 3 2 3 1 0 3 2 ∴ E(Y) =1⋅ + ⋅ = 4.1.2 随机变量函数的数学期望
定理.(108)设X为随机变量,Y=g(X)是X的函数 (1)若离散型随机变量X~P{X=x}=p,k-1,2,…, 如果级数 ∑g(x)p k=1 绝对收敛,则 E(Y)=E(g(X)=∑g(x)Pk (2)若连续型随机变量X~f(x),如果广义积分 g(x)f(x)dx绝对收敛,则 E(Y)=E(g(X)= g(x)f(x)dx
定理4.1.1 P(108) 设X为随机变量，Y=g(X)是X的函数 (1)若离散型随机变量X～P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 如果级数 1 ( ) k k k gx p ∞ = ∑ 绝对收敛，则 1 ( ) ( ( )) ( ) k k k EY E g X g x p ∞ = = = ∑ (2)若连续型随机变量X～f(x), 如果广义积分 g x f x dx () () ∞ − ∞ ∫ 绝对收敛，则 E Y E g X g x f x dx ( ) ( ( )) ( ) ( ) ∞ −∞ = = ∫