例 设(XY)在区域A上服从均匀分布,其中A为x轴, y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。 求EX,F(-3X+2Y),EXY y x,y)∈ 解:f(x,y) 0,其它 x+ y+1=0 EX=xf(r, y)dxdy=ax x.2dy B(3X+213x+ XY=∫xxyd=x2y l1-1-x
例 ： EX= ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ − − ∞ − − ∞ − ∞ = ⋅ = − 0 1 0 1 3 1 ( , ) 2 x xf x y dxdy dx x dy E(-3X+2Y)= 3 1 2 ( 3 2 ) 0 1 0 1 ∫ ∫ − − − − + = x dx x y dy EXY= ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ − − ∞ − − ∞ − ∞ = ⋅ = 0 1 0 1 12 1 ( , ) 2 x xyf x y dxdy dx x ydy ∈ = 0,其它； 2,( , ) ( , ) x y A 解： f x y 0 y x x + y + 1 = 0 设(X,Y)在区域 A上服从均匀分布，其中 A 为 x轴， y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。 求EX，E(-3X+2Y)，EXY
例:设供电公司在某指定时段的供电量X(万kWh) 在[1,20上均匀分布,而用户的需求量Y在[1,30 上均匀分布。设公司每供电kWh获利0.1元,若需求 量超过供电量,则公司可从电网上取得附加电量来礼 充,每供电kWh获利005元。求该公司在这段时间内 获利的数学期望。 解:X与Y相互独立,易知 10≤x≤20,10≤y≤30 (x,-xy=120 0蛇
例：设供电公司在某指定时段的供电量 X（万 kWh ） 在[10，20]上均匀分布，而用户的需求量 Y 在[10，30] 上均匀分布。设公司每供电1kWh获利0.1元，若需求 量超过供电量，则公司可从电网上取得附加电量来补 充，每供电1kWh获利0.05元。求该公司在这段时间内 获利的数学期望。 解： X 与 Y相互独立，易知 1 , 10 20, 10 30 ( , ) (, ) 200 0, x y XY f xy ≤≤ ≤≤ = ∼ 其它
Z表示公司在这段时间获得的利润, OY Ⅹ2Y Z=g(,) 01X+00y-X)X<Y E(Z)=g(,y)f(x, y)dxdy D2 Jo.. on dxdy +0.05(y-x)o drdy 200 DI 200 2030 F[ly o ddr+[o.05(y=x)dodt 010 10 =1.7083(万元)
Z表示公司在这段时间获得的利润，则 Z gXY = (,) 0.1 , 0.1 0.05( ) Y XY X YX XY ≥ = +− < E Z g x y f x y dxdy ( ) (, ) (, ) +∞ +∞ −∞ −∞ = ∫ ∫ 1 2 1 1 0.1 0.05( ) 200 200 D D = ⋅ + −⋅ y dxdy y x dxdy ∫∫ ∫∫ 20 2030 1010 10 1 1 0.1 0.05( ) 200 200 x x =⋅ + − y dydx y x dydx ∫∫ ∫∫ =1.7083( ) 万元
413数学期望的性质 1.E(c)=c,c为常数; 2E(cX)=cE(X),c为常数; 证明:仅证明连续型随机变量情形。 设X~(x2则 E(cX)=cxf(x) dx cxf(xdx =CE(X)
1. E(c)=c,c为常数; 2. E(cX)=cE(X), c为常数; 证明: 仅证明连续型随机变量情形。 设X~f(x),则 ∫ ∞ −∞ E(cX ) = cxf (x)dx = c xf (x)dx = cE(X ) ∫ ∞ −∞ 4.1.3 数学期望的性质
3. E(X+Y=E(X+EY 证明:设(X,Y)~f(x,y) E(X+r)=(x+y)f(x, y)drdy -00 [ */(x, y)dxdy Jv(x, y)dxdy 「x(xy+/(xy ∫x(x+(=E(x)+B)
3. E(X+Y)=E(X)+E(Y); 证明 : 设(X,Y)~f(x,y) ∫ ∫ ∞ − ∞ ∞ − ∞ E ( X + Y ) = ( x + y ) f ( x , y )dxdy ∫ ∫ ∞ − ∞ ∞ − ∞ = xf ( x , y )dxdy ∫ ∫ ∞ − ∞ ∞ − ∞ + yf ( x , y )dxdy x [ f ( x , y )dy ]dx ∫ ∫ ∞ − ∞ ∞ − ∞ = ∫ ∫ ∞ − ∞ ∞ − ∞ + y [ f ( x , y )dx ]dy xf x dx ∫ X ∞ − ∞ = ( ) yf y dy ∫ Y ∞ − ∞ + ( ) = E ( X ) + E ( Y )