第三意：树（内容） 树的有关定义Huffman树 Huffman算法 最树：Kruskal算法最短树：Pim算法图论第三章作业 ⊙●000000 00 0000 000 00000 树的等价定义 定理3.1.2：设T是结点数为n≥2的树，则下列性质等价： (1)图T连通且无“初级回路”： (2)图T连通且每条都是割边： (3)图T连通且有n-1条边： (4)图T有n-1条边且无“初级回路”： 5)图T的任意两结点间有唯一“初级道路： ⑤图T无“初级回路”，但在任两结点间加上一条边后恰有一 个“初级回路 0Q0 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 5132
✶♥Ù➭ä(❙◆) ä✛❦✬➼➶ Huffmanä Huffman➂④ ⑩áä➭Kruskal➂④ ⑩áä➭Prim ➂④ ãØ✶♥Ù❾➆ ä✛✤❞➼➶ ➼♥3.1.2➭✗T➫✭✿ê➃n ≥ 2✛ä➜❑❡✎✺➓✤❞➭ (1) ãTëÏ❹➹“Ð❄↔➫”➯ (2) ãTëÏ❹③❫Ñ➫⑧❃➯ (3) ãTëÏ❹❦n − 1❫❃➯ (4) ãT❦n − 1❫❃❹➹“Ð❄↔➫”➯ (5) ãT✛❄➾ü✭✿♠❦➁➌“Ð❄✗➫”➯ (6) ãT➹“Ð❄↔➫”➜✂✸❄ü✭✿♠❭þ➌❫❃❚❦➌ ❻“Ð❄↔➫”✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 5 / 32
第三意：树（内容） 树的有关定义Huffman树 Huffman算法 最树：Kruska算法'最短树：Pm算法图论第三意作重 ⊙●000000 00 0000 000 00000 树的等价定义 定理3.1.2：设T路结点数为n≥2的树，则下列性质等价： (1)图T连通且无“初级回路”： (2)图T连通且每条都路割边： (3)图T连通且有n-1条边： (4)图T有n-1条边且无“初级回路”； (⑤)图T的任意两结点间有唯一“初级道路”； ⑤图T无“初级回路”，但在任两结点间加上一条边后恰有一 个“初级回路 0Q0 刘胜利（上海交大CS实验到 图论第三章：树 5132
✶♥Ù➭ä(❙◆) ä✛❦✬➼➶ Huffmanä Huffman➂④ ⑩áä➭Kruskal➂④ ⑩áä➭Prim ➂④ ãØ✶♥Ù❾➆ ä✛✤❞➼➶ ➼♥3.1.2➭✗T➫✭✿ê➃n ≥ 2✛ä➜❑❡✎✺➓✤❞➭ (1) ãTëÏ❹➹“Ð❄↔➫”➯ (2) ãTëÏ❹③❫Ñ➫⑧❃➯ (3) ãTëÏ❹❦n − 1❫❃➯ (4) ãT❦n − 1❫❃❹➹“Ð❄↔➫”➯ (5) ãT✛❄➾ü✭✿♠❦➁➌“Ð❄✗➫”➯ (6) ãT➹“Ð❄↔➫”➜✂✸❄ü✭✿♠❭þ➌❫❃❚❦➌ ❻“Ð❄↔➫”✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 5 / 32
第三意：树（内容） 树的有关定义Huffman树 Huffman算法 最组树：Kruskal算法最短树：Prim算法图论第三章作业 0●000000 00 0000 00● 00000 树的等价定义 定理3.1.2：设T是结点数为n≥2的树，则下列性质等价： (1)图T连通且无“初级回路”： (2)图T连通且每条都是割边： (3)图T连通且有n-1条边： (4)图T有n-1条边且无“初级回路”： (⑤)图T的任意两结点间有唯一“初级道路”： (6)图T无“初级回路”，但在任两结点间加上一条边后恰有一 个“初级回路”。 Dao 刘胜利（上海交大CS实验室 图论第三章：树 5132
✶♥Ù➭ä(❙◆) ä✛❦✬➼➶ Huffmanä Huffman➂④ ⑩áä➭Kruskal➂④ ⑩áä➭Prim ➂④ ãØ✶♥Ù❾➆ ä✛✤❞➼➶ ➼♥3.1.2➭✗T➫✭✿ê➃n ≥ 2✛ä➜❑❡✎✺➓✤❞➭ (1) ãTëÏ❹➹“Ð❄↔➫”➯ (2) ãTëÏ❹③❫Ñ➫⑧❃➯ (3) ãTëÏ❹❦n − 1❫❃➯ (4) ãT❦n − 1❫❃❹➹“Ð❄↔➫”➯ (5) ãT✛❄➾ü✭✿♠❦➁➌“Ð❄✗➫”➯ (6) ãT➹“Ð❄↔➫”➜✂✸❄ü✭✿♠❭þ➌❫❃❚❦➌ ❻“Ð❄↔➫”✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 5 / 32
第三意：树内容】 赵的有关定义Huffman Huffman算法 最树：Kruskal算法最短树：Prim算法图论第三意作业 ●0●00000 00 0000 000 00000 (1)→(2)：T连通且无“初级回路”→T连通且每条都是割边。 如果T无“初级回路”，那么T的任意边都不属于“初级回 路”，由定理3.1.1存，e是割边。 2)一(3)：T连通且每条都是割边一T连通且有n一1条边 对结点数进行归纳： 令T和(T)表示树T的结点数和边数 当n=2时命题成立，兰时，三一1成雪 :三+时，由于任一边：都是国边故G行=G一有两个 年。 由于≤1=12。放江1=1一1。所 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 6/32
✶♥Ù➭ä(❙◆) ä✛❦✬➼➶ Huffmanä Huffman➂④ ⑩áä➭Kruskal➂④ ⑩áä➭Prim ➂④ ãØ✶♥Ù❾➆ (1)⇒(2): TëÏ❹➹“Ð❄↔➫”⇒TëÏ❹③❫Ñ➫⑧❃✧ ❳❏T➹“Ð❄↔➫”➜❅♦T✛❄➾❃eÑØá✉“Ð❄↔ ➫”➜❞➼♥3.1.1⑧➜e➫⑧❃✧ (2)⇒(3): TëÏ❹③❫Ñ➫⑧❃⇒TëÏ❹❦n − 1❫❃✧ é✭✿ên❄✶✽❇➭ ✲n(T)Úm(T)▲➠äT✛✭✿êÚ❃ê✧ ✟n = 2➒➲❑↕á✧✗n ≤ k➒➜m(T) = n(T) − 1↕á✧ ❑n = k + 1➒➜❞✉❄➌❃eÑ➫⑧❃➜✙G 0 = G − e❦ü❻ ëÏ⑤T1, T2✧ ❞✉n(Ti) ≤ k, i = 1, 2➜✙m(Ti) = n(Ti) − 1➜↕ ➧m(T) = n(T) − 1➃↕á✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 6 / 32
第三意：树（内容） 赵的有关定义Huffman树 Huffman算法 最树：Kruskal算法最短树：Prim算法图论第三意作业 ●0●00000 00 0000 000 00000 (1)→(2)：T连通且无“初级回路”→T连通且每条都是割边。 如果T无“初级回路”，那么T的任意边都不属于“初级回 路”，由定理3.1.1知，e是割边。 (2)→(3)：T连通且每条都是割边→T连通且有n-1条边。 对结点数n进行归纳： 令n(T)和m(T)表示树T的结点数和边数。 当n=2时命题成立，设≤时，(T刀=#(T一1成立 刘：一一时，由于任一边部是的边，放G三G一有两个 年 由于T≤1三12，放1=1一1。所 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 6/32
✶♥Ù➭ä(❙◆) ä✛❦✬➼➶ Huffmanä Huffman➂④ ⑩áä➭Kruskal➂④ ⑩áä➭Prim ➂④ ãØ✶♥Ù❾➆ (1)⇒(2): TëÏ❹➹“Ð❄↔➫”⇒TëÏ❹③❫Ñ➫⑧❃✧ ❳❏T➹“Ð❄↔➫”➜❅♦T✛❄➾❃eÑØá✉“Ð❄↔ ➫”➜❞➼♥3.1.1⑧➜e➫⑧❃✧ (2)⇒(3): TëÏ❹③❫Ñ➫⑧❃⇒TëÏ❹❦n − 1❫❃✧ é✭✿ên❄✶✽❇➭ ✲n(T)Úm(T)▲➠äT✛✭✿êÚ❃ê✧ ✟n = 2➒➲❑↕á✧✗n ≤ k➒➜m(T) = n(T) − 1↕á✧ ❑n = k + 1➒➜❞✉❄➌❃eÑ➫⑧❃➜✙G 0 = G − e❦ü❻ ëÏ⑤T1, T2✧ ❞✉n(Ti) ≤ k, i = 1, 2➜✙m(Ti) = n(Ti) − 1➜↕ ➧m(T) = n(T) − 1➃↕á✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 6 / 32