第三意：树（内容） 树的有关定义Huffman树 Huffman算法 最树：Kruskal算法最短树：Pim算法图论第三章作亚 ●0000000 00 0000 00● 00000 割边的性质 定理3.1.1：e=(u,v)是割边，当且仅当e不属于G的任何“初级回路”。 必要性=：e=(u,v)是割边→e不属于G的任何“初级回路”。反证法。 若e=(u,v)属于G的某个“初级回路”，则G=G-e中仍存 在u到v的“初级道路”，故结点和v属于同一连通支，e不是 割边。 充分性=：e不属于G的任何“初级回路”→e=(w,v)是割边。反证法。 若e不是割边，则G'=G-e与G的连通支数一样。于 是u和v仍属于同一连通支。故G中存在初级道 路P(u,),P(u,v)+e就是G的一个“初级回路”。 口 0Q0 利（止海交大-CIS实验到 图论第三章：树 4/32
✶♥Ù➭ä(❙◆) ä✛❦✬➼➶ Huffmanä Huffman➂④ ⑩áä➭Kruskal➂④ ⑩áä➭Prim ➂④ ãØ✶♥Ù❾➆ ⑧❃✛✺➓ ➼♥3.1.1➭e = (u, v)➫⑧❃➜✟❹❂✟eØá✉G✛❄Û“Ð❄↔➫”✧ ✼❻✺⇒➭ e = (u, v)➫⑧❃⇒eØá✉G✛❄Û“Ð❄↔➫”✧ ❻②④✧ ❡e = (u, v)á✉G✛✱❻“Ð❄↔➫”➜❑G 0 = G − e➙❊⑧ ✸u✔v✛“Ð❄✗➫”➜✙✭✿uÚvá✉Ó➌ëÏ⑤➜eØ➫ ⑧❃✧ ➾➞✺⇐➭ eØá✉G✛❄Û“Ð❄↔➫”⇒ e = (u, v)➫⑧❃✧ ❻②④✧ ❡eØ➫⑧❃➜❑G 0 = G − e❺G✛ëÏ⑤ê➌✘✧✉ ➫uÚv❊á✉Ó➌ëÏ⑤✧✙G 0➙⑧✸Ð❄✗ ➫P(u, v)➜P(u, v) + eÒ➫G✛➌❻“Ð❄↔➫”✧ ä✹✛➅⑤③(❫þ➦❃✂➀➜-CISÑ➣✟Ø➾➡) á✉❄Û“Ðã❄Ø✶↔♥Ù➫:ä”✧↕➧ä✛③❫❃Ñ➫⑧❃✧4 / 32
第三意：树（内容） 树的有关定义Huffman树 Huffman算法 最树：Kruskal算法最短树：Pim算法图论第三章作亚 ●0000000 00 0000 00● 00000 割边的性质 定理3.1.1：e=(u,v)是割边，当且仅当e不属于G的任何“初级回路”。 必要性=：e=(u,v)是割边→e不属于G的任何“初级回路”。反证法。 若e=(u,v)属于G的某个“初级回路”，则G=G-e中仍存 在u到v的“初级道路”，故结点和v属于同一连通支，e不是 割边。 充分性=：e不属于G的任何“初级回路”→e=(w,v)是割边。反证法。 若e不是割边，则G'=G-e与G的连通支数一样。于 是u和v仍属于同一连通支。故G中存在初级道 路P(u,),P(u,v)+e就是G的一个“初级回路”。 口 0Q0 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 4/32
✶♥Ù➭ä(❙◆) ä✛❦✬➼➶ Huffmanä Huffman➂④ ⑩áä➭Kruskal➂④ ⑩áä➭Prim ➂④ ãØ✶♥Ù❾➆ ⑧❃✛✺➓ ➼♥3.1.1➭e = (u, v)➫⑧❃➜✟❹❂✟eØá✉G✛❄Û“Ð❄↔➫”✧ ✼❻✺⇒➭ e = (u, v)➫⑧❃⇒eØá✉G✛❄Û“Ð❄↔➫”✧ ❻②④✧ ❡e = (u, v)á✉G✛✱❻“Ð❄↔➫”➜❑G 0 = G − e➙❊⑧ ✸u✔v✛“Ð❄✗➫”➜✙✭✿uÚvá✉Ó➌ëÏ⑤➜eØ➫ ⑧❃✧ ➾➞✺⇐➭ eØá✉G✛❄Û“Ð❄↔➫”⇒ e = (u, v)➫⑧❃✧ ❻②④✧ ❡eØ➫⑧❃➜❑G 0 = G − e❺G✛ëÏ⑤ê➌✘✧✉ ➫uÚv❊á✉Ó➌ëÏ⑤✧✙G 0➙⑧✸Ð❄✗ ➫P(u, v)➜P(u, v) + eÒ➫G✛➌❻“Ð❄↔➫”✧ ä✹✛➅⑤③(❫þ➦❃✂➀➜-CISÑ➣✟Ø➾➡) á✉❄Û“Ðã❄Ø✶↔♥Ù➫:ä”✧↕➧ä✛③❫❃Ñ➫⑧❃✧4 / 32
第三意：树（内容） 树的有关定义Huffman树 Huffman算法 最组树：Kruskal算法最短树：Prim算法图论第三章作业 ⊙●000000 00 0000 000 00000 树的等价定义 定理3.1.2：设T是结点数为n≥2的树，则下列性质等价： (1)图T连通且无“初级回路"： 2图T连通且每条都是边： 3)图T连通且有1一1条边： 4固有：一1条边且无订级回路 图7的任童两结点间有班一切级痘路 同圆无初级回，但在任两结点间州上一条边后哈有一 个初级回路 文唯利（上海交大-CS实验室 图论第三章：树 5132
✶♥Ù➭ä(❙◆) ä✛❦✬➼➶ Huffmanä Huffman➂④ ⑩áä➭Kruskal➂④ ⑩áä➭Prim ➂④ ãØ✶♥Ù❾➆ ä✛✤❞➼➶ ➼♥3.1.2➭✗T➫✭✿ê➃n ≥ 2✛ä➜❑❡✎✺➓✤❞➭ (1) ãTëÏ❹➹“Ð❄↔➫”➯ (2) ãTëÏ❹③❫Ñ➫⑧❃➯ (3) ãTëÏ❹❦n − 1❫❃➯ (4) ãT❦n − 1❫❃❹➹“Ð❄↔➫”➯ (5) ãT✛❄➾ü✭✿♠❦➁➌“Ð❄✗➫”➯ (6) ãT➹“Ð❄↔➫”➜✂✸❄ü✭✿♠❭þ➌❫❃❚❦➌ ❻“Ð❄↔➫”✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 5 / 32
第三意：树（内容） 树的有关定义Huffman树 Huffman算法 最树：Kruskal算法最短树：Prim算法图论第三章作业 ⊙●000000 00 0000 000 00000 树的等价定义 定理3.1.2：设T是结点数为n≥2的树，则下列性质等价： (1)图T连通且无“初级回路"： (2)图T连通且每条都是割边： 3)图T连通且有1-1条边： 4国T有一1条边且无“初级回路”： 图7的任意两结点间有唯一初级叫路 圆无初现回？，回在任两结点间加上一条边后哈有一 要刀环回路 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 5132
✶♥Ù➭ä(❙◆) ä✛❦✬➼➶ Huffmanä Huffman➂④ ⑩áä➭Kruskal➂④ ⑩áä➭Prim ➂④ ãØ✶♥Ù❾➆ ä✛✤❞➼➶ ➼♥3.1.2➭✗T➫✭✿ê➃n ≥ 2✛ä➜❑❡✎✺➓✤❞➭ (1) ãTëÏ❹➹“Ð❄↔➫”➯ (2) ãTëÏ❹③❫Ñ➫⑧❃➯ (3) ãTëÏ❹❦n − 1❫❃➯ (4) ãT❦n − 1❫❃❹➹“Ð❄↔➫”➯ (5) ãT✛❄➾ü✭✿♠❦➁➌“Ð❄✗➫”➯ (6) ãT➹“Ð❄↔➫”➜✂✸❄ü✭✿♠❭þ➌❫❃❚❦➌ ❻“Ð❄↔➫”✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 5 / 32
第三意：树（内容） 树的有关定义Huffman树 Huffman算法 最树：Kruskal算法最短树：Prim算法图论第三章作业 ⊙●000000 00 0000 000 00000 树的等价定义 定理3.1.2：设T是结点数为n≥2的树，则下列性质等价： (1)图T连通且无“初级回路"： (2)图T连通且每条都是割边： (3)图T连通且有n-1条边： 4图T有1一1条边且无“初级回路： 5)图T的任意两结点间有唯一“初级叫路”： 同圆无初级回图，但在任两结点间加上一条边后哈有一 个初级回品 20Q0 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 5132
✶♥Ù➭ä(❙◆) ä✛❦✬➼➶ Huffmanä Huffman➂④ ⑩áä➭Kruskal➂④ ⑩áä➭Prim ➂④ ãØ✶♥Ù❾➆ ä✛✤❞➼➶ ➼♥3.1.2➭✗T➫✭✿ê➃n ≥ 2✛ä➜❑❡✎✺➓✤❞➭ (1) ãTëÏ❹➹“Ð❄↔➫”➯ (2) ãTëÏ❹③❫Ñ➫⑧❃➯ (3) ãTëÏ❹❦n − 1❫❃➯ (4) ãT❦n − 1❫❃❹➹“Ð❄↔➫”➯ (5) ãT✛❄➾ü✭✿♠❦➁➌“Ð❄✗➫”➯ (6) ãT➹“Ð❄↔➫”➜✂✸❄ü✭✿♠❭þ➌❫❃❚❦➌ ❻“Ð❄↔➫”✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 5 / 32