习题5.11．设f(x)>0，f(x)<0，证明x。是f(x)的极小值点。2.（Darboux定理）设f(x)在(a,b)上可导，xi,xzE(a,b)。如果f(x)·f'(x)<0，证明在x和x之间至少存在一点，使得f()=0。3.举例说明Lagrange中值定理的任何一个条件不满足时，定理结论就有可能不成立。设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微。利用辅助函数4.5x f(x) 1y(x)=a f(a) 1b f(b) 1证明Lagrange中值定理，并说明y(x)的几何意义。设函数f(x)和g(x)在[a,bl上连续，在(a,b)上可导，证明(a,b)内存在一点三，5.使得f(a) f(b)lIf(a) f'()（b-g(a) g(b)g(a) g'()6.设非线性函数f(x)在[a,b)上连续，在(a,b)上可导，则在(a,b)上至少存在一点n，满足15(n)/>[1(b)- (a),b-a并说明它的几何意义。aa7.求极限limn2arctan--arctan其中a±0为常数。nn+18.用Lagrange公式证明不等式：(1)[sinx-siny≤x-yl(2)nyn-l(x-y)<x"-y"<nx"-l(x-y) (n>I, x>y>0);b-a<inb,b-a(b>a>0);(3)baa(4)er>1+x(x>0)9.设f(x)在[a,b]上定义，且对任何实数x和x，满足If(x,)-f(x)≤(x, -x,)2,证明f(x)在[a,b]上恒为常数。10.证明恒等式元(1)arcsinx+arccos.x=，xe[0,1]2,11(2)3arccosx-arccos(3x -4x3)=元，xe2'22x(3)2arctanx+arcsin元，xe[1+00]1+ x211.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导。证明：若(a,b)中除至多有限个点有f(x）=0之外，都有f(x)>0，则f(x）在[a,bl上严格单调增加：同时举例说明，其逆命题不成立。12.证明不等式：1
习 题 5.1 ⒈ 设 f x + ′( ) 0 > 0， f x − ′( ) 0 < 0，证明 x0 是 f (x)的极小值点。 2．（Darboux 定理）设 f (x)在( , a b)上可导，x1 , x2 ∈ ( , a b)。如果 f x ′( ) 1 ⋅ f x ′( 2 ) < 0 ， 证明在 x1 和 x2 之间至少存在一点ξ ，使得 f ′( ) ξ = 0 。 3． 举例说明 Lagrange 中值定理的任何一个条件不满足时，定理结论就有可能不成立。 4. 设函数 f (x)在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可微。利用辅助函数 ψ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x a f a b f b = 1 1 1 证明 Lagrange 中值定理，并说明 ψ(x) 的几何意义。 5． 设函数 和 在[ , 上连续，在( , 上可导, 证明( , 内存在一点ξ ， 使得 f (x) g x( ) a b ] a b) a b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ g a g f a f b a g a g b f a f b ′ ′ = − 。 6．设非线性函数 f (x)在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导，则在( , a b)上至少存在一点 η ， 满足 | ( ) | | ( ) ( ) ′ > | − − f f b f a b a η ， 并说明它的几何意义。 7．求极限 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − →∞ 1 lim arctan arctan 2 n a n a n n ，其中 a ≠ 0 为常数。 8． 用 Lagrange 公式证明不等式： ⑴ |sin x y − ≤ sin | | x − y | ; ⑵ ( ) ( ) ( 1, 0); 1 1 − < − < − > > > − − ny x y x y nx x y n x y n n n n ⑶ ln ( > > 0) − < < − b a a b a a b b b a ; ⑷ e > 1+ x (x > 0). x 9． 设 f x( )在[ , a b ]上定义，且对任何实数 x1和 x2 ，满足 | ( f x ) f x( ) | (x x ) 1 2 1 2 − ≤ − 2 ， 证明 f x( )在[ , a b ]上恒为常数。 10． 证明恒等式 ⑴ arcsin x x + = arccos π 2 ， x ∈[ , 0 1]； ⑵ 3 3 4 3 arccos x x − arccos( − x ) = π ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈ − 2 1 , 2 1 x ； ⑶ = π + + 2 1 2 2arc tan arcsin x x x ， x ∈[ , 1 +∞). 11．设函数 在[ , 上连续，在( , 上可导。证明：若( , 中除至多有限个点 有 之外，都有 ，则 在[ , 上严格单调增加；同时举例说 明，其逆命题不成立。 f (x) a b ] a b) a b) f x ′( ) = 0 f x ′( ) > 0 f (x) a b ] 12． 证明不等式： 1
21<2/x,x>1;3-(1)(2)x<sinx<x，xe(o,2元xx2tanx+2sinx>3x,xe(3)(4)<ln(1+x)<x.x>0.21(5)2-/≤xp +(1-x)P≤1, xe[0,1](p>1):x(0.≤)tanx(6)xesinx2X13．证明：在(0,1)上成立1) (1+ x)In2(1+ x)<x?;11112)-1<ln(1+x)x2°ln214对于每个正整数n（n≥2），证明方程x" +x"-l +...+x2 +x=1在(0,1)内必有唯一的实根x，，并求极限limx。1。证明：15.设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且f(0)=f(1)=0,1）存在使得f()=;F(22）对于任意实数元，必存在nE（0,），使得f'(n)-[f(n)-n]=1。（提示：考虑函数e-x[f(x)-xl。）16.设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且g(x)0(xe(a,b))。分别利用辅助函数()= ()-(a)二[g()-(a)g(b)- g(a)和g(x) f(x) 1y(x)=g(a) f(a) 1g(b) f(b) 1证明Cauchy中值定理，并说明p(x）和y(x)的几何意义。17。设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，证明存在e(a,b)，使得2Lf(b)- f(a)]=(b? -α)f'() 。18.设a,b>0，证明存在e(a,b)，使得aeb-be"=(l-E)e(a-b)。19.设f(x)在[a,bl上连续（ab>0)，在(a,b)上可导，证明存在E（a.b)，使得bTa1-f'()- f()。b-af(a) f(b)20.设f(x)在[1,+oo）上连续，在(1,+o)上可导，已知函数ef(x)在(1,+oo)上有界证明函数e-"f(x)在(l,+o0)上也有界。21．设f(x)在(0,a)上连续，且存在有限极限limVxf(x)，证明f(x)在(0,a)上一2
⑴ 2 0 π 2 π x x < < sin x , x ∈( , ); ⑵ 3 1 − < 2 1 > x x , x ; ⑶ ln(1 ) , 0; 2 2 − < + x < x x > x x ⑷ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + > ∈ 2 tan 2sin 3 , 0, π x x x x ; ⑸ 1 2 1 1 1 p 1 p p x x x p − ≤ + ( ) − ≤ , ∈[0, ], ( > 1)； ⑹ x x x x sin tan > ， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ 2 0, π x . 13．证明：在(0,1) 上成立 1） ； 2 2 (1+ x)ln (1+ x) < x 2） 2 1 1 ln(1 ) 1 1 ln 2 1 − < + − < x x 。 14． 对于每个正整数 n （ n ≥ 2），证明方程 1 1 2 + + + + = − x x x x n n " 在(0,1) 内必有唯一的实根 xn ，并求极限 n 。 n x →∞ lim 15．设函数 f (x) 在[0,1]上连续，在(0,1) 上可导，且 f (0) = f (1) = 0， 1 2 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ f 。证明： 1）存在 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ ,1 2 1 ξ ，使得 f (ξ ) = ξ ； 2）对于任意实数λ ，必存在η ∈ (0,ξ ) ，使得 f ′(η) − λ[ f (η) −η] = 1。 （提示：考虑函数e [ f (x) x] 。） x − −λ 16． 设函数 f (x)和 g x( )在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导，且 g′(x) ≠ 0 (x ∈ (a,b)) 。 分别利用辅助函数 ϕ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x f a [ ( ) ( )] f b f a g b g a = − − g x g a − − − 和 ψ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x g x f x g a f a g b f b = 1 1 1 , 证明 Cauchy 中值定理，并说明ϕ(x)和 ψ(x) 的几何意义。 17． 设 f (x) 在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，证明存在ξ ∈ (a,b) ，使得 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 2 ξ f b − f a = b − a f ′ ξ 。 18． 设a,b > 0 ，证明存在ξ ∈ (a,b) ，使得 ae be (1 )e (a b) b a − = − − ξ ξ 。 19． 设 f (x) 在[a,b]上连续（ ab > 0），在(a,b)上可导，证明存在ξ ∈ (a,b) ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ξf ξ f ξ f a f b a b b a = ′ − − 。 20．设 f (x) 在[1,+∞) 上连续，在(1,+∞) 上可导，已知函数 在 上有界， 证明函数 在 上也有界。 e f (x) x ′ − (1,+∞) e f (x) −x (1,+∞) 21． 设 f '(x) 在(0, a]上连续，且存在有限极限 lim ( ) 0 x f x x ′ → + ，证明 f (x) 在(0, a]上一 2
致连续。（提示：考虑a)-()。/x - /x2设f(x)在x=0的某邻域内有n阶导数，且f(O)=f(O)=.=f(n-(O)=0，用22.Cauchy中值定理证明f(" (ax)f(x)(0<9<1)x"n!23.证明不等式：er+eyx+yx"+y"(1)(2)>e 2xtyx,y>0,n>1;22224.(Jensen不等式）设f(x)为[a,b]上的连续下凸函数，证明对于任意x,E[a,b]和a, >0 (i=1,2,..,n),元.=1，成立i=l<(x)。1.x.i=25.利用上题结论证明：对于正数a,b,c成立a+b+c(abc)3≤a"bhcc。f(x)26．设f(x)在(a,+oo)上可导，并且limf(x)=0，证明lim027.设(x)在[a,b]连续，在(a,b)二阶可导，证明存在nE(a,b)，成立(b-a(b)+ (a)-27(a+b)f"(n) 。2a+bb-a（提示：在区间上考虑函数g(x)=f(x)-f(xOh22习题5.21.对于f'(x)lim+00或-00I-→a+ g'(x)的情况证明L'Hospital法则。2.求下列极限：sin 3xer-e-x(2) lim(1) limI→# tan5xsinxxm-amIn(sin x)lim(3) lim(4)r-axn-an=(元-2x)2tan3xIn(tan 7x)limlim(5)(6)tan xx→0+ In(tan2x)3
致连续。 （提示： 考虑 1 2 1 2 ( ) ( ) x x f x f x − − 。） 22． 设 f (x)在 x = 0 的某邻域内有 阶导数，且 ，用 Cauchy 中值定理证明 n f f f n ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 = ′ = = = " − 0 (0 1) ! ( ) ( ) ( ) = < θ < θ n f x x f x n n . 23． 证明不等式： ⑴ , , 0, 1 2 2 ⎟ > > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≥ + x y n x y x y n n n ; ⑵ e e e , x y x y x y + > ≠ + 2 2 . 24． （Jensen 不等式）设 f (x) 为[a,b]上的连续下凸函数，证明对于任意 xi ∈[a,b]和 λi > 0 （i = 1,2,", n ）， 1，成立 1 ∑ = = n i λi ∑ ∑ = = ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n i i i n i i i f x f x 1 1 λ λ ( ) 。 25． 利用上题结论证明：对于正数 a,b, c 成立 a b c a b c abc ≤ a b c + + 3 ( ) 。 26． 设 f (x)在( , a + ∞) 上可导，并且 lim ( ) x f x →+∞ ′ = 0 ，证明 lim ( ) x f x →+∞ x = 0。 27．设 f (x) 在[a,b]连续，在(a,b)二阶可导，证明存在η ∈ (a,b) ，成立 "( ) 2 ) 2 ( ) ( ) 2 ( 2 f η a b b a f b f a f ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + + − 。 （提示：在区间 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + b a b , 2 上考虑函数 ) 2 ( ) ( ) ( b a g x f x f x − = − − 。） 习 题 5.2 ⒈ 对于 lim ( ) x a ( ) f x → + g x ′ ′ = +∞ 或 − ∞ 的情况证明 L'Hospital 法则。 ⒉ 求下列极限： ⑴ lim e e x sin x x → x − − 0 ; ⑵ x x x tan 5 sin 3 lim →π ; ⑶ lim ln(sin ) ( ) x x →π π − x 2 2 2 ; ⑷ lim x a m m n n x a → x a − − ; ⑸ ln(tan 2 ) ln(tan7 ) lim 0 x x x→ + ; ⑹ x x x tan tan 3 lim 2 π → ; 3
In(1 + x2)In(1 + )lim(7)lim(8)x-→osecx-cosxarccotxlim(9)(10)Iinx-o( sin xn.xxtanx-sin xx-1aDlim(12)limxr-1 Inx1-→0limxcot2x;(13)(14)limx?er→0x>0X2(15)lim(元 - x)tan =(16)lim-arctanx2元lim(18)(17)ir-0Ylimxi-x(19)(20)limInx-→>1x-→0+3.说明不能用L'Hospital法则求下列极限：x+sinxx?sintlim(1) lim(2)x-++o x - sin xsinxx-→0(x? +1)sin xsin号x+e2xlim(3)(4)limx-→i In(1 + sin 号x)x→1x4.设g(x)x+0,f(x)=x0,x=0其中g(0)=0，g(0)=0，g"(0)=10。求f(0)。5．讨论函数1(1 + x)xx>0,f(x)=ex≤0,在x=0处的连续性。6.设函数f(x)满足f(0)=0，且(0)存在，证明limx/(x)=1。4
⑺ x x x arccot ln(1 ) lim 1 + →+∞ ; ⑻ lim ln( ) x sec cos x → x x + 0 − 2 1 ; ⑼ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − → 1 1 ln 1 limx 1 x x ; ⑽ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x→ x x 1 sin 1 lim 0 ; ⑾ lim x ln x → x − 1 1 ; ⑿ 2 4 0 tan sin limx x x x → x − ; ⒀ x x x lim cot 2 →0 ; ⒁ lim e x x x →0 2 1 2 ; ⒂ 2 lim( )tan x x x − → π π ; ⒃ x x x⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ →+∞ arc tan 2 lim π ; ⒄ x x x tan 0 1 lim ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → + ; ⒅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − → e 1 1 1 lim 0 x x x ; ⒆ x x x sin 0 1 lim ln ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → + ; ⒇ limx x x → − 1 1 1 . ⒊ 说明不能用 L'Hospital 法则求下列极限： ⑴ lim sin x sin x x →0 x 2 1 ; ⑵ lim sin x sin x x →+∞ x x + − ; ⑶ lim ( )sin x ln( sin ) x x → x + 1 + 2 2 1 1 π ; ⑷ lim sin e x x x → x + 1 2 π 2 . ⒋ 设 f x g x x x x ( ) ( ) , , , = ≠ = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 0 0 0 其中 g( ) 0 0 = ， g′( ) 0 0 = ， g′′( ) 0 = 10。求 f ′(0)。 ⒌ 讨论函数 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = − e , 0, , 0, e (1 ) ( ) 2 1 1 1 x x x f x x x 在 x = 0 处的连续性。 6．设函数 f (x) 满足 f (0) = 0 ，且 f ′(0) 存在, 证明 lim 1。 ( ) 0 = → + f x x x 4
7.设函数(x)在(a,+oo)上可导，且lim[f(x)+f(x))=k，证明limf(x)=k。习题5.31.由Lagrange中值定理知xIn(1 + x) :0 <0(x)<1,1+0(x)x证明：lim0(x)=1/2。f(m)(x+0h),(0<<1) ,2. 设f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f"(x)h? +21n!且(n+1)(x)±0，证明：limの=n+1h->03.设f(x）=/，取结点为x=1、1.728、2.744，求f(x)的二次插值多项式p2(x)及其余项的表达式，并计算p2(2）（3/2=1.2599210..）。4.设f(x)=2，取结点为x=-1、0、1，求f(x)的二次插值多项式p(x)及其余项请与上题的计算结果相比较并分析产生差异的原因。的表达式，并计算p25.设f(x）在若干个测量点处的函数值如下：x1.41.72.33.1f(x)65583644试求f(2.8)的近似值。6.若h是小量，问如何选取常数a、b、c，才能使得af(x+h)+bf(x)+cf(x-h)与f"(x)近似的阶最高？7.将n+1个插值条件取为所有结点上的函数值和一阶导数值，即p,(x）满足[ p,(x,)= f(x,)1= 0, 1,2, -, [p(x,)= f'(x,)的插值多项式称为Hermite插值多项式，在微分方程数值求解等研究领域中具有重要作用。它可以取为5
7．设函数 f (x) 在(a,+∞) 上可导，且 f x f x k x + ′ = →+∞ lim[ ( ) ( )] ，证明 f x k 。 x = →+∞ lim ( ) 习 题 5.3 1．由 Lagrange 中值定理知 x x x x 1 ( ) ln(1 ) +θ + = ，0 < θ (x) < 1， 证明：lim ( ) 1/ 2 0 = → x x θ 。 2 ． 设 ( ) ! 1 "( ) 2! 1 ( ) ( ) '( ) 2 ( ) f x h n f x h f x f x h f x h n + = + + +"+ +θ ， (0 < θ < 1) ， 且 ( ) 0 ，证明： ( 1) ≠ + f x n 1 1 lim 0 + = h→ n θ 。 3．设 f x( ) = x 3 ，取结点为 ，求 的二次插值多项式 及 其余项的表达式，并计算 （ x = 1、 、 1.728 2.744 f x( ) p x 2 ( ) p2 (2) 2 12599210 3 = . "）。 4． 设 ，取结点为 ，求 的二次插值多项式 及其余项 的表达式，并计算 f x x ( ) = 2 x = −1 0 、 、1 f (x) p x 2 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 1 p2 。请与上题的计算结果相比较并分析产生差异的原因。 5． 设 f x( )在若干个测量点处的函数值如下： x 1.4 1.7 2.3 3.1 f x( ) 65 58 44 36 试求 f ( . 2 8)的近似值。 6． 若h 是小量，问如何选取常数a、 、b c ，才能使得af ( ) x + h + bf (x) + cf (x − h)与 f ′′(x)近似的阶最高？ 7． 将 n + 1个插值条件取为所有结点上的函数值和一阶导数值，即 pn (x) 满足 ， p x f x p x f x n i i n i i ( ) ( ) ( ) ( ) = ′ = ′ ⎧ ⎨ ⎩ i n = − 012 1 2 , , ,", 的插值多项式称为 Hermite 插值多项式，在微分方程数值求解等研究领域中具有重 要作用。它可以取为 5