Hilbert空间上一类半线性随机发展方程的稳定性

0:10.13374/j.1s8n1001053x.1998.01.021 Vol.20 No.1 北京科技大学学报 第20卷第1期 Feb.1998 Journal of University of Science and Technology Beijing 1998年2月 Hilbert空间上一类半线性随机 发展方程的稳定性 * 张志刚秦明达 北京科技大学应用科学学院，北京100081 摘要讨论Hilbert空间上半线性随机发展方程dY()=[AK)+f(Y()d山+G(Y()]dw()的稳 定性.为此引进了适度解的正则性和常返性等概念，利用Liapunov直接法得到了此类随机发展方 程的随机渐近稳定性、随机指数稳定性、P-稳定性和几乎必然指数稳定性的充分性判据.这些结 果不但推广了有限维情形的工作，同时也发展了A.Ichikawa的工作， 关键词半线性随机发展方程，适度解，Liapunov直接法 分类号0175 1预备知识 设(Q,F,P)为完备概率空间，(F),t≥0为F的递增、右连续的子o-域族.H和Y为实、可 分的Hilbert空间，Y(t)为Y值过程，w()为H值Viener过程（其协方差算子为Q),A为Y上强 连续半群S(t)的无穷小算子；以<，>记为Hilbert空间的内积，并以【·|，‖·‖分别记为向量和 算子的范数，D(A)记为算子A的定义域；以L(H,)表示H+的有界线性算子空间，简记 L(Y)为L().记L,(Q,F,P)为p-可积的Y值随机变量空间. 本文考虑如下一类半线性随机发展方程： dY()=[A④+f(Y()ld+G(Oωdw(0,t∈[0，，Koo (1) Y(O)=yo∈Y 其中，f∈(y,G:YL(H,)满足f(0)=G0)=0且存在正数c,c,使y,zeY有 f0y)-l≤c,ly-z,lGy)-G(l≤cly-z, (1) y,为F,可测且独立于dw()的X值随机变量. 定义1（适度解mild-solution)称过程Y(),t≥0为方程(1）的适度解，如果 (I)0是(F)-适应的：(2)W0可测且Y0d<0as. a)0=0,+∫-pf0ot+∫-nc(dr0,as. 以后记y(5y,)为方程(1)的适度解. 记C:y)为Y×[0,刀上全体实值连续函数0y,)的集合，满足性质： (a)心y,)关于t可微，yeD(A:这里D()为具有A范数：0y,)连续，y川x0=y川2+|y2为 1997-11-18收稿张志刚男，34岁，讲师 ·国家自然科学基金资助课题(No.19671004)

北 京 科 技 大 学 学 报 段 第 卷 第 期 年 月 空 间上一类半线性随机 发展方程的稳定性 张志 刚 秦明 达 北京科技大学应用科学学 院 ， 北京 摘要 讨论 托 空 间上半线性 随机发展 方程 双 的稳 定性 为此引进 了适度解 的正 则性和 常返性等概念 ， 利用 直接法得到 了此类 随机发展方 移的 随机渐近稳定性 、 随机指数稳定性 、 一 稳定性 和 几乎必然 指数稳定性 的充分性判 据 这些 结 果不但推广 了有 限维情形 的工作 ， 同时也发展 了 的工作 关健词 半线性随机发展方程 ， 适度解 ， 直接法 分类号 预备知识 设 ， ， 为完备概率空 间 ， ， ， 七 为 的递增 、 右连续 的子 一 域族 和 为实 、 可 分 的 托 空 间 ， 为 醉 值过程 ， 为 值 过程 其协方 差算 子 为 ， 为 上 强 连续半 群 的无 穷小算 子 以 ， 记 为 环 空 间 的 内积 ， 并 以 ， · 分别 记 为 向量 和 算 子 的 范 数 ， 记 为算 子 的定 义 域 以 ， 力表 示 月爷 钓 有 界 线 性 算 子 空 间 ， 简 记 的为 力 · 记 气 。 ， ， 尸 约为 一 可 积 的 值 随机变量 空 间 · 本文考虑 如下 一类半线性 随机发展方程 丁 ‘ ‘ 一 〔 ” 了‘ ‘ ，，“ “ ‘” ，‘ ‘ ， “ 〔 ， ” ， 帐 的 。 ‘ 其 中 ， 〔 双 ， 卜 ， 力满足 且存在 正数 。 ， 几使 ， 有 『伽 一 人 ‘ 一 ， 妙 一 ‘ 一 卜 为 凡可 测 且独 立 于 的 值随机变量 定义 适度解 而 一 称过 程 ， 之 。 为方程 的适度解 ， 如果 。 是 一 适应 的 ‘ 可测且 丁 ’ 二 ， 、 。 一 ，。 夕。 丁 ，卜 ， ‘ · 丁 ，卜 玖 · ， 一 以后 记 八 为方程 的适度解 记 ” 妙 为 ， 刀上全体实值连续 函数 妙 ， 的集合 ， 满足性 质 心 ， 关 于 ‘ 可微 ， 夕‘ 这 里 刃 为具有 范数 。 ， 连续 ， ， 孰 ，一 川 ’ ’为 一 一 收稿 张志 刚 男 ， 岁 ， 讲师 国家 自然科学基金 资助课题 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1998．01．021

·94· 北京科技大学学报 1998年第1期 Y的子空间； (b)v0y,)关于y二次Fe'chet可微，te0,小：y,0y,),'ny,y,在Y×[0,刀上连续，y,eY 设vOy)为二次Fre'chet可微的函数，定义： L0y=<,0),y+f0y>+(1/2)rG'0)yy)G0y)2,yeD(40. 记C)为Y上的实值连续函数的全体，满足性质： (a)(y)二次Fre'chet可微；(b)v,y),'n)y连续于YHy,eY. 称ve,如果veCy)且满足： (a)Lvy)≤a0y),yeD(),其中uy)是Y上的某个连续函数； (b)luy)l+I0y)l+ly,y)l+lyn0y)l≤M1+ly川，k>0,p>0,yeY. 称vE。,如果除去y=0的可微性外，v具有C0)中函数的一切性质，且满足： (a)Lv0y)≤uy),yeD(),y+0,uy)是Y上的某个连续函数； (b)lu(y)l lv(y)I lyllv,(v)+ly2v)I s klyl,k>0,p >0,VyE Y.y#0. (c)存在具有下列性质的函数族：{(0y):0<e≤e},0y)满足(a)且 |uy)l+y)川+ly)川+0y)l≤k1+y,k>0,p>0且w,,,当e→0时分别收 敛于u,v,y,v VyEYy+0. 下面引进文献[2]中关于方程(1)的适度解的2条重要引理 引理1设0y,0eC2(y)且 (1)lv,)l+lvv,)+vvIsk(1+ly),k>0.p 0,VE[O,T].yEY. ②（分+00，）≤0..)e(0,u是Y×0,刀上某个连续函数， u0y,)l≤M1+y,k>0,p>0.则 Uyw小)-0%0)≤J0ryw小)d+。<0(r%》G0rdw)>. (2) 特别若0y,)=0,则0(t5》为上鞅. 引理2若0y)e,或当f(0)=0,G(0)=0时有0y)e'o:则(2)式成立，即 0w》-0,≤J,a0Wd+J。<v0ryw小.G0yd>. 特别若4y)=0,则v0(ty)为上鞅. 2适度解的正则性、不可达性和常返性 为了探讨方程(1)的随机渐近稳定性的判据，首先对于该方程适度解的正则性、不可达性 和常返性给出如下定义和充分条件， 假定方程(I)中的f,G满足局部Lipshtz条件，即HN,3正数c1Nc2w使得当y川<N,lz< N,y,zEY时，有f0y-f(a≤cNy-z,lGy)-G(a)川≤c2y-z, 且0≤s<T<0,yeY(q),其中Y(q)为L,(Q,F,P,的子空间，由F可测的随机变量构 成.由文献[1]可知方程(1)存在唯一适度解，且由T的任意性，不难将此解延拓到[0，+01. 定义2（正则性）称过程)是正则的，如果P(x=∞)=1，其中x为（④的生存时间， limt,lim inft 0;ly(yo)>n

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 的子 空 间 心 ， 关于 二 次 ’ 可微 ， ， 刀 帐妙 ， ， 、 妙 ， ， 在 ， 刀上 连续 ， 设 妙 为二 次 ， 可微 的 函数 ， 定 义 巧切 ， 伽 ’ 妙 ， 妙 ， 夕 记 伽 为 上 的实值连续 函数 的全体 ， 满足性 质 妙 二 次 ’ 可 微 妙 ， 场妙妙 连续于 夕，〔 称 ，‘ ， 如 果 ‘ 妙 且 满 足 司 伽 ‘ 伽 ， ‘ 刀 乃 ， 其 中 伽 是 上 的某 个连 续 函 数 妙 称妙 妙 ， ， ， ‘ 称 气 ， 如果 除去 二 的可微性外 ， 具有 口妙 中函数 的一 切性 质 ， 且 满足 伽 伽 ， ‘ 侧 ， 羊 ， “ 切 是 上 的某 个 连续 函数 伽 夕 伽 少 ’ 与伽 ‘ 川 ， ，尸 ， 夕‘ 夕 羊 存 在具有 下列 性质 的 函数族 勺 。 二 ￡。 ， 讨妙 满足 且 ‘ 伽 ‘ 妙 可妙 心妙 ‘ 夕 ， ， 尸 且 ‘ ， ‘ ， 可 ， 心当￡一 时分别 收 敛于 “ ， ， ， 场 ， 羊 下 面 引进文 献汇 中关于 方程 的适度解 的 条重要 引理 引理 设 妙 ， ‘ ” 且 川 伽 ， 妙 ， 、 妙 ， ‘ 夕 ， ， 尸 ， 〔 ， ， 夕 嚎 。 。 ， 。 、 。 ， 。 ， 。 ， · 是 ， 。 上某 个 连续 函数 ， ， ‘ 夕 ” ， ， 夕 则 · 。 ， ，。 ， 。 一。 。 ， 二 丁 · 。 一 ，。 ， 犷 · 、 。 一 ，。 ， 。 ， ‘ 特别若 伽 ， ， 则 妙 为上 鞍 引理 若 砂 〔 ， 或 当 ， 时有 妙 则 式成 立 ， 即 · 。 ，。 卜 · 。 。 、 · 。 一 ，。 犷 丁 ·、 。 一 ，。 ， 。 一 。 · 特别 若 妙 ， 则 伽 夕。 为上鞍 适度解的正则性 不可达性和常返性 为 了探讨方程 的 随机渐 近稳定性 的判 据 ， 首 先 对于 该方 程 适度 解 的正则性 、 不 可 达性 和 常返性 给 出如 下 定 义 和 充分条件 假定 方程 中的 ， 满足局部 条件 ， 即 ， 日正 数 。 ， ‘ 丫 使得 当 川 ， ， 少 ， ‘ 时 ， 有 匕妙 一 ‘ ， 夕 一 ， 妙 一 、 夕 一 卜 且 ‘ 了 的 ，夕。 玖的 ， 其 中 玖的为 乓 。 ， ， 尸 ， 的子 空 间 ， 由 汽 一 可测 的随机变量 构 成 由文 献【 可 知方 程 存在 唯一适度解 ， 且 由 的任 意性 ， 不 难将此解 延拓到 ， 的 定义 正 则性 称过程 只 是 正 则 的 ， 如果 代 田 二 ， 其 中 为 只 的生存时间 ， 即 一 。 一 ， ， ，

Vol.20 No.1 张志刚：Hilbert空间上一类半线性随机发展方程的稳定性 95 定理1设存在非负函数vEC,26y)满足引理1的条件(1)，且： (1)L*v≤cv,其中L°≡(O/0)+L,c>0,ye(A); (2)br)=infv0,)→oo,(r一0)，则方程(1)的适度解yy,)是正则的. 证：令u0y,)=v0y,e“,则L')=c“"Lv0y,)-ce-"w,)≤0. 由0y,)∈C2y)知4，)∈C6y),显然，)满足上述引理1的条件. 于是Eu0ty)≤u0y。,0),Evyo,)≤v0yo,0)e“=v0yo,0)e, 令t()=tnAt,则由上式可得 v0yo0)c0之EUc.0:y)r()之v0r.(0:yr()Pdw）)= t.< 0ciy,t)Pd)≥，inf0,)Pz,<. l川≥n.1>0 . 显然v0yo,0)e≥v心y,0)e0,故由条件(2)得 e“v0yo0)e“y0) Prn<)≤- inf v(y,t) bn)） y川2n.1>0 令n+o,则b()→o因此1>0，Px<)=0;由t的任意性知Pc=o)=I,故(ty)是正 则的 定义3（不可达）设xu=inf{t≥0；by(ty,川eU}为过程y(y,)关于集UeB)的首达时， 其中B()为Y上的Borel a-域称闭集U对于过程(o)是不可达的，如果Pru<oo)=0. 定理2设方程(1)中算子A有界，则闭集{y=0}对于方程(1)的适度解(：y。)是不可 达的 证令0)=y川，则=y川-，y,y=ply川P-21+p0-2)byP-yy,其中I为单 位阵，运算“。”的意义为：廿gg∈Ygg1定义为(gg)h=gg1,h),heY 由于方程(1)中的f,G满足：f0)=G0)=0且Vy川≤c,yl,lGy)川≤c,ylCc2>0, 并由算子A的有界性可知〈纱，y》≤cy,c为某个正常数. 由tr0=1,<o0,,i=0.1,2…为协方差阵Q的特征值)知t2<c故 y,少y+f0)》≤c,ly,trG0y)2Gy)≤c,lG0y)2≤cc,ly.从而 Lv(v)=plyl-2y,Av+f(v))+(1/2)trG(v)QG'(v)(p(lyl+p(p-2)lyle-yoy)s klyl= kav0y),(k>0). 令t。=inft<0;b(tyl=e.()=t,At,则由引理2知 Bw》≤W+ka0te0Wt 应用Gronwall-Bellman不等式可得，EUyc,(),y)≤0oe,即Ec.(:yo)P≤l。'e, 令p=-1,得

张志 刚 托 空 间上 一类半线性 随机发展方程 的稳定性 定理 设存在非 负函 数 ‘ 《 ” 妙 满足 引理 的条件 ， 且 乙 ’ ‘ 。 ， 其 中 乙 ’ 三 乙 沙〔 “ 一悠 伽 ” 的 ， 的 ，则方程 ’ 的适度解 ， 是 正 则 的 · 证 令 “ 伽 ， 二 伽 ， 一 ‘ ，， 则 ’ “ 砂 ， 一 ‘ 伽 ， 一 。 一 ‘ 砂 ， ‘ 由 臼 ， ‘ ” 伽 知 伽 ， ‘ ” 伽 ， 显然 。 伽 ， 满足 上 述 引理 的条件 于是 伽 ， ‘ 饥 ， ， 妙协夕。 ， ‘ 伽 。 ， “ 伽 。 ， “ ， 令 ， ， 则 由上式可得 ·饥 ， 。 ，一 ‘。 一 。 仓 · ‘” 一， ， 二‘”，· 工 ，，· 。 ‘二‘” 一， ， 二‘”，代、 ， · 。 。 ，。 ， 。 。 、 二 · 。 ， 。 。 。 显然 妙 。 ， “ 之 妙 。 ， ， 故 由条件 得 代 。 ‘ “ 砂 。 ， “ 伽 。 ， 妙 ， 全 ” ， 令 一 ， 则 一 的 因此 ， 代 由 的任意性 知 代 的 ， 故 只。 是 正 则 的 定义 不可 达 设 。 一 ， 。 必为过 程 式。 关于 集 厌 ” 的首 达 时 ， 其 中 力为 上 的 子域 称 闭集 对于 过程 只。 是 不 可 达 的 ， 如果 价 。 的 定理 设方程 中算子 有界 ， 则 闭集 妙 对于 方程 的适度解 只。 是 不 可 达 的 一 证 令 妙 尸， 则咋妙 二 川 ” 一 莎 ， 肠妙 川川 ’ 一 ’ 印 一 回 ’ 一 加 ， 其 中 为单 位 阵 ， 运算 “ ” 的意义为 ， 定义 为 。 。 一 。 ， 。 ， 由于方程 中娜 ， 满足 且 匕妙 ‘ ， 夕 ， 妙 ‘ 少 ， ， ， 并 由算 子 的有界性 可知 ， 户 。 川 ’ ， 。 为某 个正 常数 由 一 艺 ‘ ， 。 ， ，一 。 ， ， 二 为协方差 阵 的特 征值 知 。 ， 故 ， 今 。 、 ， ’ ， 妙 。 ’ 。 、 。 ’ 二 ’ 从而 白伽 川少 一 ’夺 ， 伽 ‘ 砂 ’ 妙 ， 一 ’，夕勿一 夕 ” 一 场 。 ， 、 灸夕 ’ 肋 ， 令 。 一 此‘ ， ‘ 凡 一 ￡ ， 。 。 ‘ ， 则 由引理 知 。 ·。 。 ，，。 、 · 。 。卜 厂 。 ·‘ ， ， ， 应 用 一 不等式可得 ， 伽 。 ， 夕。 ‘ 伽 。 ， 即 夕 。 少。 夕 夕。 夕 ， 令 一 ， 得

·96· 北京科技大学学报 1998年第1期 p(do) pfdw）1 e≥e,0Wl=0:之，W =Pit,< 放有Pk<小☆e争：0得回<小=0再由：的任查往知，闭套=0时对于适度解 t+0 Gy是不可达的. 定义4(U.常返)设U°∈Y为某个有界或无界区域，U=八U°，称过程y)为U°- 常返的，如果它是正则的，且y,∈U有Px,<o}=l. 定理3过程y)是U'常返的，如果：(1)它是正则的：(2)存在非负函数 0,)EC2(y),yeU,满足引理1的条件，且有 L'v0,)≤w,0≤a(0,其中a(6≥0且当noo时，J,a(6ds=B0-o. 证由引理1知 BUe,0:y小r0≤0,0-Eagt=心，0)-g8E,0,其中r,0=,Ah 故有，3(r)≤-Ev心(t.(y,t)+yo0)≤v0yo0), 而∫80p(do)≤ge,0≤t,0).因此Pt,>s"g00,eo, 从而P{x<o}=1,即yGy,是U-常返的. 3随机稳定性定义和判定定理 定义5称方程()的平凡解是： (1)随机渐近稳定的，如果Vε>0， 有>=0,且plim=0}-1: 0+0 y。+0 (2)随机指数稳定的，如果廿e>0,y。∈Y3a>0,Ke)>0,使得t≥0有 Psupls:o)≥ef≤Ke)ly,lea (3)p-稳定的，如果1im,sup、Ely(t yo)P=0: 6-0lys6.120 (4)几乎必然指数稳定的，如果a>0,Y上的正实值随机变量函数K(y),使得y。∈Y(q), t≥0有y(tyo)l≤Kye-a.s. 定理4（随机渐近稳定性定理） 设存在函数vev:(1)0)=0,Vr>0,0<y川<r;(2)L0)≤-cy川>E,yeD(0: ε>0，c.>0:(3)b(r)=infv0y)>0,r>0,则方程(I)的平凡解是随机渐近稳定的

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 ，。 一 二 二，， ·。 。 。 一 丁 面 少 。 夕。 · ， 丈 。 罐黯 一 省“ ‘ 廿 ’ 故有 川 ， 、 共 ￡ 令。 、 得 尸行 ，，一 再 由 ，的任意性 知 闭集 ， 一 。 对于 适度解 。 冲。 残‘ 是 不 可 达 的 定 义 ’ 一 常返 设 ’ ‘ 为某 个有界 或 无界 区域 ， 二 ’ ， 称过程 只。 为 ’ 常返 的 ， 如果 它是 正则 的 ， 且 。 哺 域 。 ‘ 一 定理 过程 人“ 是 ’ 一 常返 的 ， 如果 它是 正 则 的 存在 非负 函数 心 ， 议 ” ， ， 满足 引理 的条件 ， 且有 乙 ’ 。 ， ” ‘ “ 。 ， ” ‘ 心 。 ， 其 中 之 且 当 二 ” 、 卜 “ 一 ， 一 证 由引理 知 。 · 、 。 。 ， ·，。 、 · 。 。 ， 一 了 “ · 。 一。 ， 一 。 ·，。 ， 其 中· 、 。 一 。 。 ， ， 故有 ， 甲 仄 ‘ 一 “ 少。 ， 仄 妙 。 ， ‘ 妙 。 ， ， 而、 尸 、 ，· 甲‘ ·仄”，一。 。 ， 。 ， ， 因此 “一 ‘ · 从而 的 ， 即 ‘ 是 ’ 一 常返 的 随机稳定性定义和判定定理 定 义 称方程 的平凡解是 随机渐 近稳定 的 ， 如果 。 ， 。 ， 声 ” ， 的 ， 有 叶、 ， ‘ ，。 一 。 州神 ‘ ， 且 一 悠 ， ‘ ，。 一 。 随 机 指 数 稳 定 的 ， 如 果 ， 夕。 日 ， 。 ， 使 得 全 有 四一 ，。 二 · 、 。 · 夕。 一 一 稳定 的 ， 如果 占神 ‘ 驭 二 。 “ 。 ’ 一 ‘ 几 乎必 然 指 数稳 定 的 ， 如果 日 ， 上 的正 实值随机变量 函数 脚 ， 使得 。 ‘ ， 七 有 夕 夕。 ‘ 协 。 一 “ ‘ 定理 随机渐 近稳 定性 定理 设存在 函数 ‘ 。 ， ， ， 伽 ‘ 一 。 ， 夕 “ ，少‘ ， ￡ ， 气 伽 ， ， 则方程 的平凡解 是 随机渐 近稳定 的 少

Vol.20 No.1 张志刚：Hilbert空间上一类半线性随机发展方程的稳定性 ·97· 证令，=w;My引≤CYt,为过程y)关于集u,的首出时 设B={ωt,ω)=0}首先由文献[4]中命题3.6易知方程是随机稳定的，即r>0, mPW川>)=0：从而有mPB)=mP红，=0}=1.由条件2)并利用o公式 。+0 知v0(5y)是上鞅，据正上鞅收敛定理知，limv0y(y,)a.s.存在且有限. 令u,={七≥y川≥e}显然定理3的条件被满足，于是y(y,)关于集{y川<e}是常返的. 由e的任意性知：infly(y,l=0a.s.于B,据定理2知集y=0}是不可达的，于是更有 1 im infly(y,l=0as.于B;再由v的连续性知：e>0,36(e)>0,当lyl<d(e)时， 有v0y》<e而imly,l=0as.于B,故3，一o,使得1 imly(t:yo)l=0:即36(e)>0, 使当n>Me)时有ly<8(e),于是0()<E,即limv((,》=0. 又因1im0(5》as.存在于B;而0)=0，v0y)>00+0)可知imly(sy,l=0a.s.于 B如若不然，则存在，使1iml(ty)l=a>0,则imv(y)=(a>0推出矛盾. 由于，M零测集)c{@:im(=0:故有 Pmwl=0}≥)imm=0 ≥limP(B,)=, y。+0 从而方程(1)的平凡解是随机渐近稳定的 定理5（随机指数稳定性定理）设存在满足下列条件的函数vEv:(I)(O)=0,且对某 c>0和单调增函数a(r(a(0)=0),有a(y）≤vy≤cy小(2)Lv0y≤-av0y),a≥0， yED(A,则方程(1)的平凡解是随机指数稳定的. 证由引理2知，E0(Gyw》-心，)≤。-aE(%》dr:由Gronwal-Bellman不等式可 得，Bv6》≤v0We"≤cle%再由上鞅不等式知，Psup0(sy》≥a(e)}≤ Ev0》/a(e)由于a(·)单调增且a(0)=0,故若y川>e,则a(y)>a(e)>0. 于是有≥d≤≥ao}sE0tW》/ae≤ag,e- 令ae.则有Pgpl1≥d≤e,e-只故方程u)的平凡解是随机指数稳定的. 定理6(p-稳定性定理)设存在函数vE':(I)ky≤0)≤飞ly,k,k≥0： (2)Ly≤0，y∈D(),则方程（①）的平凡解是p-稳定的. 证由引理2知UW》-0≤，〈，0w.G)d),EyW》≤U小 故 Ey)P≤(1k,)Ev0(y)≤(1k)0y)≤(k/k)y

卜奴 张志 刚 托 空 间上 一类半 线性 随机发展 方程 的稳定性 证 令 知 队 为过程 只。 关于集 的首 出时 设 气 一 协咖 一 司首先 由文献 中命题 易 知方 程是 随机稳定 的 ， 即 ， 黔跳州 ’ 一 ‘ 从而 有黔代助 一 脚 一 的 ’ 一 ‘ · 由条件 ‘ ’并 利 用 ’ 公 式 知 伽协 是 上鞍 ， 据正上鞍收敛定理 知 ， 伽怀 存 在且有 限 令 二 川 二 ￡ 显然 定理 的条件被 满 足 ， 于是 关于集 。 是 常返 的 由￡的任意性知 洲 ‘ 一 ” 于 “ 。 ， 据定理 “ 知集 伽 一 ” 是 不可 达 的 ， 于是 更有 悠 酣 刻 一 ” “ 补再 由 ， 的连 续 ‘ 性知 “ ” ， 日占旧 ， 当 ， 间时 ， 有 ， 。 ‘， 。 ￡而粤 “ 。 一 ” ‘ · 于 耳 。 ， 故 日“ 一 的 ， 使 得恤 “ 。 一 ” ， 即 “ 占 ￡ ” ， 使 当 时有 夕 ‘ 夕。 诊 ， 于是 妙 少。 。 ， 即 伽 夕。 又 因映 ， 。 ‘， 。 几 · 存 在于 代 ‘ 而 ， 一 ， ” 。 。 ‘ “ 可 知 塑 ‘， 。 一 ” · · 于 乓如若不然 ， 则存在 “ ， 使鳃 ，助 一 “ ” ， 则恤 以 一 ” 推 出矛盾 · 由于 气 零测集 臼 浊 夕。 一 。 ， 故有 。兜，， ，。 ，一 · 。 助 ， 黔 悠，， ，。 ，一 全 代 户 ， 夕。 伟 从而方程 的平凡解是 随机渐近稳定 的 定 理 随机指 数稳定性 定理 设存在 满足 下 列 条 件 的 函 数 ， ， 且 对某 。 和 单 调 增 函 数 恤 ， 有 ‘ ，妙 ‘ 。 白妙 ‘ 一 。 伽 ， 。 之 。 ， 厂班刃 ， 则方程 的平凡解是 随机指数稳定 的 证 由引理 知 ， 。 。 ，。 卜 · 。 。 丁一 。 一 ，。 由 一 】卜 · 二 不 等式可 得 ， 。 ‘ · 。 。 一 二 · ，。 一 再 由 上 鞍 不 等 式 知 ， · 。 一 。 二 · 二 以 间 由于 · 单调 增且 二 ， 故 若 回 。 ， 则 川 住 于 是 有 可 川， ， 、一 ￡飞 、 讨 一 、 ， 、一二 ￡、冬 二 。 ‘ 。， ， 、、 。 。 、 、 一二 一 。 、 ， ， 一 ’ 一 一 口 令牛 一 从￡ ， 则 有 可 沙 二 。 冬 从￡ 。 。 一 ， 故方 程 的平凡解 是 随机指 数稳定 的 一 ￡ 、 ’ 一 ‘ 】 ， ’ ’ 」 、 ， 一 。 · 、 ， ， · ， 一 ， 一 定 理 伽 一 稳定性 定理 设存在 函数吃 回 尹 ‘ 妙 ‘ 叼川 尹， ，， 气之 伽 ‘ ， ‘ 沟 ， 则 方程 的平凡解是 一 稳定 的 故 证 由引理 知 · 。 才 夕。 一。 ‘ 夕 夕。 尸 ‘ 庆 ， 夕。 ‘ 帐。 ，。 ， 妙 面 ， 肠 ，。 ‘ 伽 。 ， 砂 。 气 少。 尸