第一章线性规划与单纯形法 §2 线性规划问题的标准型与解的概念 ⊙2.1线性规划的标准型 我们规定线性规划的标准型如下： maxZ=C xj+C2x2.+CnXn a11X1+a12x2+……+a1nXn=b1 a21X1+a22x2+……+a2nxn=b2 am1x1+a2x2+……+amXn=bm X1,X2 …,Xn≥0 通常称c(j1,2n)为价值系数，b(i=1,2,.m)为资源 系数；a为技术系数，或约束系数。在模型中它们是常数
第一章 线性规划与单纯形法 §2 线性规划问题的标准型与解的概念 2.1 线性规划的标准型 我们规定线性规划的标准型如下： maxZ=c1 x1 +c2 x2 +‥‥+cn xn a11x1 +a12x2 +‥‥+a1nxn ＝b1 a21x1 +a22x2 +‥‥+a2nxn ＝b2 …………………………… am1x1 +am2x2 +‥‥+amnxn ＝bm x1 ,x2 ,‥,xn≥0 通常称cj (j=1,2…n)为价值系数，bi（i=1,2,…m)为资源 系数；aij为技术系数，或约束系数。在模型中它们是常数
若记 X=(xj,x2...x)C=(c,c2...cn),b=(bi,b2...bm) A=(aij)nxn=(P1,P2...Pn) 则标准型亦可记作 maxZ=CX AX=b X≥0 或 max-c. ΣPxb X:≥0，j1,2.n
若记 X=（x1 ,x2…xn）T ,C=（c1 ,c2…cn）,b=（ b1,b2…bm）T A=（aij）n×n =（P1,P2…Pn） 则标准型亦可记作 maxZ= CX AX=b X≥0 或 maxZ= = n j j x 1 cj Σ Pjxj = b xj≥0, j=1,2…n
任何形式的线性规划都可以化为与其等价的标准形式。 (1)如果目标函数是minZ=cx,则可令Z=-Z,将目标函 数变为：maxZ=-cx (2)如果某约束条件为不等式：ai1x1+a2x2……+anxn≤bi 则在约束条件的左端加一个非负变量x+,称之为松弛变量， 即可变为等式： ailxtai2x2.tain Xni=bi 如果某约束条件为不等式：a1x1+a2x2+…+ainXn≥b; 则可在约束条件的左端减一个非负变量x+,称之为剩余变量 或松弛变量，即可变为等式：a1X1+a2x2+…+ainx,X+ib (3)如果x,没有非负限制，则可令x=x -x;”,其中x ≥0，代入目标函数及约束条件即可
任何形式的线性规划都可以化为与其等价的标准形式。 （1）如果目标函数是 minZ=cx，则可令 Z=-Z，将目标函 数变为：maxZ =-cx （2）如果某约束条件为不等式：ai1x1 +ai2x2 +‥‥+ainxn≤bi 则在约束条件的左端加一个非负变量xn+i,称之为松弛变量， 即可变为等式: ai1x1 +ai2x2 +‥‥+ainxn + xn+i =bi 如果某约束条件为不等式：ai1x1 +ai2x2 +‥‥+ainxn≥bi 则可在约束条件的左端减一个非负变量xn+i,称之为剩余变量 或松弛变量，即可变为等式: ai1x1 +ai2x2 +‥‥+ainxn -xn+i =bi （3）如果xj没有非负限制，则可令xj =xj ′ -xj″,其中xj ′ ， xj″ ≥0，代入目标函数及约束条件即可
例3将线性规划 minZ-3x1-X2 X1+x2≤1 X1-x2≥-1 X1≥0 化为标准型。 解： nLULn
例3 将线性规划 minZ=3x1 -x2 x1 +x2≤1 X1 -x2≥-1 x1≥0 化为标准型。 解：
。2.1线性规划解的概念 我们把决策变量的一组取值称为线性规划问题的一个解 满足约束条件的解称为可行解。所有可行解的集合称为可行 域。使目标函数达到最优的可行解称为最优解。 在上一节图解法中，我们求得例1问题的最优解是唯一的 但是线性规划问题的解还可能出现以下几种情况： (1)无穷多个最优解。若例1的目标函数变为maxZ=4x1+2x2 就会出现这种情况。见图1-1
2.1 线性规划解的概念 我们把决策变量的一组取值称为线性规划问题的一个解。 满足约束条件的解称为可行解。所有可行解的集合称为可行 域。使目标函数达到最优的可行解称为最优解。 在上一节图解法中，我们求得例1问题的最优解是唯一的， 但是线性规划问题的解还可能出现以下几种情况： （1）无穷多个最优解。若例1的目标函数变为maxZ=4x1+2x2， 就会出现这种情况。见图1-1