E包H厄 §2对偶理论 本节将深一步讨论线性规划的对偶问题的性质。 性质1（对称性）对偶问题(D)的对偶是原问题 (L) 卫HI2
§2 对偶理论 本节将深一步讨论线性规划的对偶问题的性质。 性质1（对称性）对偶问题（D）的对偶是原问题（L）
EH厄一G 性质2若原问题第个约束为等式，则其对偶问题中 第个变量为自由变量；反之，若原问题的第个变量是自 由变量，则其对偶问题的第个约束为等式。 卫HI2
性质2 若原问题第i个约束为等式，则其对偶问题中 第i个变量为自由变量；反之，若原问题的第j个变量是自 由变量，则其对偶问题的第j个约束为等式
线性规划的原问题与对偶问题的变换规则表： 原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题） 目标函数maxZ 目标函数minW 价值系数 资源系数 资源系数 价值系数 行约束的个数为m 对偶变量的个数为m 第个行约束取“≤” 第i个变量y:≥0 第个行约束取“=” 第个变量y无限制 原变量的个数为n 行约束的个数为n 第j个变量x≥0 第j个行约束取“≥” 第k个变量x无限制 第k个行约束取“=” H2
线性规划的原问题与对偶问题的变换规则表： 原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题） 目标函数 maxZ 价值系数 资源系数 目标函数 minW 资源系数 价值系数 行约束的个数为m 第i个行约束取“≤” 第ι个行约束取“＝” 对偶变量的个数为m 第i个变量yi ≥0 第ι个变量yι无限制 原变量的个数为n 第j个变量xj ≥0 第k个变量xk无限制 行约束的个数为n 第j个行约束取“≥” 第k个行约束取“＝
E包GH厄 例1写出下面线性规划的对偶规划 minZ=2x+x2-4X3 原问题即 2X1+3x2+x3 ≥1 minZ=2x+x2-4X3 3x1-x2+x3≤4 2x1+3x2+x3≥1 X1 +x3=3 -3x+X2-X3≥-4 X1,X2≥0 X1 +x33 其对偶为：maxW-y1-4y2+3y3 X1,X2≥0 2y13y2+y3≤2 3y1+y2 ≤1 y1-y2+y3 三-4 y1,y2≥0 HI口
例1 写出下面线性规划的对偶规划 minZ=2x1+ x2 -4x3 2x1+3x2 +x3 ≥1 3x1 - x2 +x3 ≤4 x1 +x3 =3 x1 ,x2≥0 原问题即 minZ=2x1+ x2 -4x3 2x1+3x2 +x3 ≥1 -3x1+ x2 -x3 ≥-4 x1 +x3 =3 x1 ,x 其对偶为：maxW=y1 -4y2+3y3 2≥0 2y1 - 3y2 +y3 ≤2 3y1+ y2 ≤1 y1 - y2 +y3 =-4 y1 ,y2≥0
E包GHDG 线性规划原问题与其对偶问题不仅具有形式上的对 称性，而且它们的解之间也具有紧密的联系。 性质3（弱对偶性）设X,Y分别是原问题(L)和对 偶问题(D)的任一可行解，则CX≤Yb 卫HI
线性规划原问题与其对偶问题不仅具有形式上的对 称性，而且它们的解之间也具有紧密的联系。 性质3（弱对偶性） 设X,Y分别是原问题（L）和对 偶问题（D）的任一可行解，则CX≤Yb