在n维线性空间V取定一组基以后,V中元素将与n维向 量通过上式建立一一对应的关系。 尤其值得注意的是这种一一对应,确切地说是V与R间 的一一对应映射,保持了线性关系的不变,即 设 an是V的一组基,vy,。8∈V,它们在 a1,a2,…,an下的坐标分别为x=2和 设k,1为任意实数,那末ky+16在a1,a2“,n下 的坐标为: 哈工大数学系代数与几何教研室
kx+lbx’=k 反过来,V中坐标为kx+b=k 的元素 必定是ky+16。 这样,V中元素间的线性关系和它们的坐标向量的 线性关系完全相同,称这样的映射为同构映射 哈工大数学系代数与几何教研室
例9由所有二阶实方阵构成的实线性空间M2 中,考虑 10 01 00 00 12 00 若有实数k1,k2k3,k4使得 k1E1+k212+k3E21+k462=0 哈工大数学系代数与几何教研室
那末显然,只能有k1=k2=k3-k4=0,故 e1n,a2,2,2是线性无关的,而任 a b 77 c d/EM2x2 可表示为 7=aG1+bE12+ce21+dle2,因此M2是4维线性空 间,a1,612,B21B2是M2的一组基,n在这组基下 的坐标是x abcd 哈工大数学系代数与几何教研室
例10n元实系数线性方程组AX=0的解空间R(A)是实线性空 间,设A的秩为r<n,那末此方程组的基础解系有n-r个向量 51,52,5n,因此这个空间是n-r维的,51,52,…5n是R(A) 的一组基。 例11设∝1,C2…,m是数域P上的线性空间V中的一组向量, 考虑1,2,…,Cm的生成子空间: L(a1,a2,an)=(a=>ka,k∈P,=1…,m 哈工大数学系代数与几何教研室