性质7.2设V是数域P上的线性空间,如果V 的非空子集合W对于V的加法和乘法运算是封闭 的,则W是V的一个子空间 证显然,我们只要证明基本律(3),(4) 在W中成立即可。对va∈W,由于0eP,而 1=0-1∈P,故有0=0∈和-a=(-1)a∈v。 下面是一些子空间的例子 例4线性空间V的仅含零向量的子集合是V 的一个子空间,常称零子空间;V本身也是V的 个子空间,常称为全空间。 哈工大数学系代数与几何教研室
例5n元实系数线性方程组AX=0的解集合:R(4)是Rn 的一个子空间,常称为A的解空间 证(1)若5,2∈R(4则A1=0,A52=0 故A(51+2)=A51+A2=0 即51+2∈R(4),R(4关于加法运算是封闭的 (2)对k∈R,E∈R(4)有 A(k2)=k(42)=k0=0, 因此k∈R(4),R(4)关于数乘运算是封闭的 综上(1),(2)知R(4是R的一个子空间 哈工大数学系代数与几何教研室
例6三维向量集合 A=(x,x2x3)x3=0} B=(x,x2x)x1+x2+x3=0 都是线性空间R3的子空间。 例7函数集合{f(x)∈C[a,b]f(a)=0 是线性空间C[a,b]的子空间 例8n阶上三角实矩阵集合、下三角实矩阵集 合和实对角矩阵集合都是由所有n阶方阵构成的 线性空间Mm的子空间大数学系代数与几何教研室
7.2线性空间的维数、基与坐标 7.2.1线性相关和线性无关 定义7.2设V是数域P上的线性空间 an是V 中m个向量,若存在P中不全为零的数k1,k2,…,kn使得 k1a1+k2a2+…+knn=0.,则称a1,a2…,an线性相关,否则 称 ,an线性无关 7.2.2维数、基与坐标 定义7.3设V是数域P上的线性空间, an是V 中n个线性无关的向量,若V中任一向量a均可以由 a1,a2…,an线性表示,则称线性空间v是n维线性空间,记 为dimV=n,而称a1,a2…,an是V的一组基。 哈工大数学系代数与几何教研室
7.2.3维数、基与坐标 定义7.4设V是数域P上的线性空间, 是V中n个线性无关的向量,若V中任一向量α均 可以由a1,a…,a线性表示,则称线性空间V是n维 线性空间,记为dimV=n,而称a,a2、an是V的 组基 定义7.5设a1,a2…,an是n维线性空间W的一组 基,vy∈V,且有y=xa1+x2ax2+…+xan则称 x=2为在基a12,…,an下的坐标。 哈工大数学系代数与几何教研室