它的梯度等于 E 在两个点电荷系情形,它的等位面和 力线如图8所示。 §5高斯-奥斯特洛格拉德斯基定理及其应用 我们现在所要讲的定理,是矢量分析中最重要的定理之 它把n阶光滑张量场的面积分与(n+1)阶张量场的体积 分联系了起来。 定理1.10设给定了光滑张量场T iiii.(x,9x n),则下面的等式成立: dr 12-:ndS1,(1.34 这里dx是体积元素,dS(dS1,dS2,dS3)为沿着曲面的 外法线方向,长度在数值上等于曲面S的面积元素的面积的 矢量。 证明考虑任一由封闭曲面S所围成的体积。將这个 体积分割为若干个体积元素,使每个体积元素用立方体来逼 近时达到绐定的精确度。现对棱平行于坐标轴的立方体来证
明公式(1.34)。位于等式(1.34)左边的积分,对于立方体可 改写成下面的形状 a Tii2i];dx,dx2dx,+ 2i dx, dxadxat d: 3i2i3…ndx1dx2dx 3 I i21 odor x,dx3+ 3i2i3…in\;3 a ax (1。35) 由图9,显然 x1 dx d ITIi2iguindx2dx3-Tliaia-i,dx2dxs. ABCD BRGH 因除开ABCD和EFGH外,在其余的所有的边界上有dS1 0,故 dx d dS1.(1.36a) x1 类似可得 其2+dxz dxidx3=T: ds 1 34d3 dx d 30
C ds, (o, dx dxi> ds,(dx1,) 图9 将等式(1.36a,b,c)代入(1.35),得(1.34)。于是定理对任 体积元素∠V都成立。由此即可推出它对整个体积也成 立,因为沿着所有立方体表面的积分之和给出了包围整个体 积V的表面的积分;沿着立方体内侧的积分,由于相邻之面 的法线方向相反而相互抵消。定理证毕。 例13n=1的情形。对于n=1,量T是矢量的分量。 等式(1.34)可改写成 V·Fdr= div fdt=dF.dS F.ds (1.37) 即通过闭曲面的矢量流量等于该矢量散度的体积分。可以 讲,量divF代表了所给矢量场源的密度。关于矢量场的高 斯-奥斯特洛格拉德斯基( Gauss- OcrporpaIcK)定理 (1、37),在叙述中经常会碰到。 n=2的情形。有 Tds 考虑张量 3
(1.38) 现证明,在这种情形由髙斯-奥斯特洛格拉德斯基定理可推 出等式 a*i iii,dr=livia", d (1.39) (1.34)式的直接推论是 1mx…;dS;=T ds (1.40) 将(1.38)式进行微商后再求和,得 S T (1.41) 应用定理1.10于(141)的左边部分,得 dS,,(1,42) o: 由(1.41)和(1.42)推出 「T-,dS1=Ja8T 现在,(1.39)式就成为显然的事了。 现举例说明高斯-奥斯特洛格拉德斯基定理对某些物理 问题的应用。 1.不可压缩流体的连续性方程取密度为p,运动速 度为,体积为的流体。量a|pdr等于在体积内流体 质量的改变速率,而量∫dS为单位时间内流经物体的 边界S的流体质量。由质量守恒定律推出 32
ds=o 或 V·(oU)dr=0. (1.43) 因(1.43)对任意体积都成立,故 此即为不可压缩流体的连续性方程。 2.流量管如果在空间R的某个区域内V·A=0, 则该区域内矢量A的力线是不中断的。画出矢量A的力线, 并考虑与垂直于矢量A的面S和S2相交的力线的管。由高 斯-奥斯特洛格拉德斯基定理推出下面的恒等式: A·dS=A.dS+|A.dS 这里Sv是由力线管所围体积的全表面。因为矢量A与dS 正交,所以在管的侧面上的积分等于零。由定义,A·dS 是与S1相交的力线数目,而A·dS是与S2相交的力线 数目。因S1和S2可以取得任意小,力线必须是连续的 即必须或者是闭合,或者从-∞远处延伸到+∞远处。因 此,力线仅在V·A午0的那些点上出发或终止。今考虑特 殊情形。 33