于此轴的转动惯量等于 l,,} 证明量∑l,;为标量,故可在任一坐标系中来计算 它。设所考虑的轴为Z轴,则(l1,l2,l3)变为(0,0,1),得 1,r;}1=J 2)dr ) S2d1 这就是所要证明的。 §4张量场 若3”个函数T12-n(x1,x2,x3)在空间(x1,x2,x3)中 的任一点处都成一张量,则这个3”个函数的全体就称为n 阶张量场。 1.n=0的情形为标量场,即坐标的函数中(T)。 例10点电荷势 (r) 量 x 是标量,故Φ(7)关于旋转不变。 2.n=1的情形矢量场A()一以矢量为自变量的 矢量函数。 24
例11点电荷场 定理1.9若T12-,(T)是n阶张量场,则量 0T12-n是(n+1)阶张量场。 证明首先注意,在转动x=∑u;x;下, T T dx x fin 由条件(1,1a)推出, 或 因此, 〔在等式(1.30)中,假定所有x;(ji)和x;(午都是固定 的现在很清楚,量00x;T2;,象(n+1)阶张量那样变 换,即 ax 而这种形式的分量个数等于3+1。这样,定理便得证。 现考虑由此定理得出的儿个推论: 0 推论1如果φ(T)是标量,则。x,是矢量的分量(i= 1,2,3),这个矢量称为场中(r)的梯度,它的分量一般记作 25
(Φ)乡b,〔gradΦ〕; 算子∨称为梯度算子(“纳伯拉”)。 推论2如果A为矢量,朝∑A x是标量,它称为 量A的散度。且记为 ∨·A=divA 推论3量 公o;≡(V×A);=(rotA) 0A1 (i=1,2,3)是矢量的分量。矢量V×A常称为旋度或涡度。 推论4量 dx △Φ≡V2 是标量,这个标量称为标量函数中的拉普拉斯( Laplace)。 推论5量 习ax4=(△4,=(2A) 是矢量分量,叫做矢量函数A的拉普拉斯。 今证明与上述诸量有关的几个恒等式的正确性。 恒等式1对任意A, V·(V×A)=0, (131) 证明我们有 ox A taik Ox: ax 02A 0x,0x 26
再改变求和下标,得 oaK i Ox ax ei 0x. d 证毕 恒等式2对任意的中, V×(Vφ)=0 (1。32) 证明和前面相类似, 〔V×(VΦ)).=Se;40x;0xk e xi oX i dx ax dx: ax 恒等式3 V×(×A)=(V·A) A (1。33) 证明印Vx(V×A);=∑e;-(V×A)h= 62A, ox;0. 但 et eiirEkIm=8it8im-dimdilt 因此 〔Y×(×A)〕 0x;0 a,a,4-2x1a · 27
显然 〔×(×A)〕, A)-V2 A 这就证明了恒等式(1.33)。 现讨论梯度的几何解释和物理意义。方程φ(x,y,2) = cons t是标量场Φ(x,y,z)的等位面。在原点的点电 荷的场的等电位面,可作为等位面的一个物理例子。不难看 出,这种曲面将是球面,因为 设E是矢量场(力场),若曲线上任意一点(x,y,2)处 的切线方向都与E在该点处的方向一致,则此曲线称为力线。 力线的无限小线素用ds表示。由力线的这个定义推出 d d E E 通常力场用正交曲线网的图象来表示。为了作图,可先画出 等位面,而力线沿着它的法向,同时力线的密度(在等位面 的单位面积上的力线数目)用下面规则来确定 力线的数目 (法向的)面积 E 为了解释这种作图方法的理由,尚需证明:力线正交于场 E 中的等位面。取d8为曲面 的无限小元素, 则 dφ=Vφds=-E·ds=0 显然,E⊥dS。这就是所要证明的。 例12在坐标原点的点电荷的静电场为 28