1)如果H是磁场矢量,则V·H=0.众所周知,磁荷 实际上是不存在的。 2)在静电场中,有方程·E=4,这里E是电场 矢量,ρ为电荷密度。电场的力线即电力线在电荷处或无穷 远处出发或终止 3.应力张量考虑一漫没在介质(固体的,液体的或气 体的)之中的物体。一般说来,作用于它的不只有形如Fdr 的力(重力或者作用于带电物体上的电场力),而且还有表面 力,因为物体的每一个表面元素和其周围介质是相互作用 的 设f;是作用在曲面元素dS上的力,且作用点在体积表 面的外侧。我们可假定(至少对充分小的面积)f;与曲面元素 的面积成正比 f;=∑T;dS 因f与dS是矢量,故量T;应该是二阶张量。此张量就 称为应力张量。这样一来,由高斯-奥斯特洛格拉德斯基定 理知,作用在物体上的合力就等于 Fdr+∑T;dS; oTi ) d F:tax (1.44a) 由此看出,表面力可用等价的体积力来代替〔在满足等式 (1.44a)的意义上〕。 由牛顿第二定律, (F)i=pa dt, (1.45) 34
这里a为加速度,p为物体的密度。因(1.45)对任意的体积 都成立,故得运动方程 OT a;=P;+ (1.46) 应力张量的物理意义是怎样的呢?命矢量dS平行于坐 标轴x1,则由等式 f:=TidS+Tds2 +T,, dss 推出 f =TudS, f2=Tuids, fa= tsds. 当矢量dS平行于坐标轴x2或xs时,也可得类似的 结果 f=Tlds, f,=T22ds, f3=Ta2ds, f1=T1sdS,f2=T2sdS,∫s= Ssds。 今选取坐标系的轴,使 T;;=λ13 则对矢量dS平行于x1轴的物体,有 ∫1=λ1dS,f2=f3=0 在这种情形,作用在物体上的力,是沿着x1轴的拉力 (41>0)或压力(λ1<0) 此外,当矢量dS为任意方向的情形,则物体处于剪应 力的作用下。 例14理想(无粘性)流体。作用在理想流体的任一表面 元素上的力,与该曲面相垂直。因此,对于理想流体,在任 坐标系中的应力张量均为 T=-Pδ 35
这里P为某个坐标的函数。因此由(1.46)式,任一质点的运 动方程为 F-VP 今计算加速度a。设U=0(,);又设当t=to时,r=T03 当l=tc+at时,γ=γc+vb,利用泰勒公式得 at=2(Ta÷06t,to+ot)-υ(To,t0)= +(υ3·V)υdt 02 )2) F-VP 4.静电场考虑安置在原点的点电荷e,电荷密度 G(T)用下式定义: 当r=0时 0,当r+0时 但 )dt=e (这里的积分区域取在包含原点的全空间上)。 6°(T)= 或 63()=6(x)8(y)d(z) 36
同时 (x;)=0,当x0: 8(x;)dx;=1(a,b>0)。 量d(x)称为狄拉克( Dirac)-函数。此函数不符合古典函 数的定义,但它可以表示成某个函数序列的极限,且这个序 列中的每个函数的图象的宽度逐渐减小,并向上面拉长,以 使得每条曲线与x轴所围成的面积等于1。例如 8(x)=lim f(x), 这里 f(x)= 引进了诸如狄拉克δ函数的符号以后,就给物理学家以将基 本粒子看作一个点来研究的可能性。 现回到我们所研究的例子。点电荷场的位势为 T 此时电场强度等于 E 矢量E的散度等于 /r/3x 3e 0.(当r0) 但在坐标原点微商运算没有定义。此时利用高斯一奥斯特洛 格拉德斯基定理: 37
v Edr=JE.ds-Jialrid2=4 re 左边的积分区域取在包围原点的球上。因此,如果 83() V·E=4xeδ3(r),或V2φ=4πe83(r) (147) 注意,对8函数的运算有怀疑的读者,可利用高斯分 布及极限过程,也能得到同样的结果。 现假定电荷分布的密度是任意的。给定分布密度的电位 可用下式表示: d (1.48) 将算子V2作用于(1.48)式,得 y2(r)=-{(r)4x83(r-y1)dr′,(1.49) 因由等式 -4兀δ3(γ) 推出 4兀63( ),(1。49a) 所以(1.49)显然成立。由δ函数的性质直接推出 f(r)83(T)dr=f(0) (1.50) 将(1.50)代入(1.49)的右边,就得电荷分布密度为任意时的 电位φ的方程: 4丌σ(