定理1.5量E;为三阶不变张量。 证明在坐标变换(x1,x2,x3)→)(x1,x2,x3)下,新 坐标系的单位矢量,j,k可由公式(17用原来坐标系 的单位矢量讠,j,和来表示。容易验证等式 l112a13 i(j×k')=u2!22a2|=1. (1。22) 31 在等式(122)中交换矢量,y,k的位置,则得 2 +1,若(i,j为(1,2,3)的偶排列, n,u;2u,s=-1,若(,,)为(1,2,3)的奇排列, k1 wk2 u 0,在其余情形 (123) 现作和式: WiluimuinEImn. (1.24) 【;m;丌=1 因在任意两个下标相同的情况下,e1m,=0。故和式(124)由 6项组成,同时,每一项都是矩阵 (1。25) k 2 的不同行、不同列的三个元素的乘积,而被加项的符号和矩 阵(125)的行列式的对应项符号相同。由公式(123)—(1 25),就推出等式 19
+1,若(i,j)为偶排列, e;:=}-1,若(i,为奇排列, 其余情形 这就证明了定理。而张量e1;称为列维—齐维他(Lev Civita)符号 在下面的叙述中,凡有n个指标跑遍1,2,3的量,我们 都认为是n阶张量。 例8 a)AB,一二阶张量 b)e;kA1Bm—五阶张量y c)点e4,B.=(4Bs-AB2)=(4xB),一一阶张 ),2T-零阶张量(标量) 若T;}=T,;,则量T;称为二阶对称张量。而如果, T;=-T;则T;称为二阶反对称张量。 例如,置S,=∑ε;A,这里A为任一矢量,则由 的性质,S};=-S 定理16张量的对称性(反对称性)是不变的。即对称 (或反对称)张量在任何坐标系中都保持其对称(反对称)性。 证明设 T;=∑u;41n14t (1.26) T (1.27 在反对称张量的情形将(1.26)和(127)相加(在对称情形相 减)
T1;±T’;=∑u;1(Tk±T)。(128) 显然,等式(128)的左边恒等于零。此事本身就证明了,张 量的对称性(反对称性)在任一坐标系中都保持不变。 §3二阶张量的几何表示法 1.反对称张量因T;=-T;,故由等式T;= T;推出 T11=T22=Tss=0, 而对张量的非对角分量有: T21,T T 由此,一个反对称张量完全由三个独立的量{T1,T13, T23}所确定。因此,很自然地就把它与某个矢量联系起来。 反之,一坐标为Ak的矢量A,可构造反对称张量 Tii=o>ei ik-A 这里e;和第18页上的意义相同。 2.对称张量因在此时T;=T;故张量T共有6 个独立的分量:T1,T22,T,T12,T13,T23 这样的张量已不可能用矢量来表示,但我们可利用二阶 曲面的性质。大家知道,二阶曲面是由6个独立的参数决定 的,它的方程可写为 Ax+By+Cz2+Dxy Exz+eyz=1. 定理17任一非零二阶对称张量都唯一地对应了由下
面方程所确定的二阶曲面 ∑T =±1 (1.29) 附注:右边的符号与由张量的分量T;所组成的行列式 的符号相一致(稍后我们将指出,若detT,;=0,则张量 T;恒等于零)。量 det T;可表示为 TTT detITiiI=T21 T22 T T31 T32 T 6 ∑e;EtmT;T;mTk 1.29a) 因此,它是标量。符号规则是必须引进的,否则就会推出如 下的关系式:T,=-d,;和-x2-y2-z2=1。而这在实空 间内是不可能的。现转到定理的证明。 证明现证明方程(129)关于坐标旋转不变,即 士1 我们有: ;14;k21;k34 ∑T,;x,x, 曲面方程的不变性和(1.29a)式即证明了定理。 3.二阶任意张量二阶任意张量R;可唯一地表示成 对称和反对称张量之和 R,;=S;+T
这里S (R;-B,冫是反对称张量, (R;+R;)是对称张量 例9惯性张量。刚体运动时,动量矩等于 L=(×v)pd 在刚体转动时,利用(1.13)式,有 L=odτr×(×)〕 dτo|r|2-T(0·T)] 量 Ii;=pc|, -T; ri]dr=I, 叫做惯性张量。于是 dr|"|2a;-(2ro,)r;≡L 这里L;是动量矩在第讠坐标轴上的投影。在一般情况下,矢 量L与互不平行。在没有外力矩时,L=0。因此矢量L 固定,而矢量ω挠矢量L旋进。假定关于某轴的转动惯量用 公式 表出,这里S为到旋转轴的距离。特别,若挠Z轴,则S2= x2+ 于是成立如下定理。 定理1.8若l1(i=1,2,3)为某个轴的方向余弦,则关 23