b=τ×N+τ×N 但矢量r平行于矢量N,因此,τ×N=0,所以 b=r×N 因b·b=1,故b×b=0。这样矢量b就和矢量b与τ垂 直,从而就知矢量b和矢量N平行。 定理1.2全曲率等于矢量dN/dS的模: C dN ds 证明在矢量积(1.16)内进行循环交换,就给出 N=bx 将(1.17)对S微分,得 ds=as×r+b×aS (1。18) 其次,由(1.15)和(1.14)容易看出,矢量N平行于dr/dS 所以矢量b×dτ/dS与矢量τ垂直。现在很明显,矢量 b×dτ/dS平行于矢量τ。此外 dτ 1 (119) ds ds 类似地可证,矢量(db/dS)×τ平行于b,而 db db d s (1。20) ds 在等式(1.18)右边部分内是两个互相垂直的矢量。因 此,由(1.19)和(1.20)即可推得定理的结论: dN d s
§2张量代数 许多从物理观点来看非常重要的量,既不是矢量也不是 标量。作为例子,我们引进与物体转动惯量有关的量x;x; 当物体转动时,此量按下式变换: wi ui 1 uI 引入张量的概念。如果每个笛卡尔坐标系都有3个数 712-;(这里12,…i,各自跑过值1,2,3)与之对应,且 这些数当由一个笛卡尔坐标系变到另一个时按规律 T:=∑un;an1 1a/2"1 (1.21) 变换,则这3个数全体就称为三维空间中的一个n阶张量, 这里u;是过渡到新坐标系的矩阵。现考虑几个张量的例子。 例5n=1。一阶张量有31=3个分量T;(i=1,2,3)。 它由公式 T=∑u;T;(=1,2,3) 进行变换。由此即知,一阶张量是矢量。 例6n=0。推广张量的定义。零阶张量,它有一个分 量S(3°=1),从一个笛卡尔坐标系变到另一个时,它不变: S 例7n=2.二阶张量有32=9个分量。它们中的任一 个都按下面的公式变换: 15
T ∑u;t;Fk 如果一个张量的分量从一个坐标系过渡到另一个坐标系 时不变,则这个张量就称为不变的。例如,δ;就是一个二 阶不变张量: u14;t6 定理1.3如果T2…,是n阶张量,则量 314 6,,T iti2…i 是n-2阶张量 证明显然,量H;34有32个分量。要说明的是 在坐标系变换下,分量H134-;中的每一个是怎样改变的。 H 习8 1121112 =2,2 2 t 其次,利用(1.1a)式,这一串等式可按下面的方式继续下 去 7112 ·4 由此可见,量H;3x-n按(1.21)变化,即它是(n-2)阶张 量 16
定理1.4若S,2-是n阶张量的分量,T;31-;是 m阶张量的分量。则量 1112…;n 是(m+n)阶张量的分量。 这个张量称为张量S和T的积。 证明所给张量的分量,在坐标系旋转时按下面的方式 变换: u S k1·k2……ik i12"nt112,“,1i2121;nml12-1m 因此量S121n·T1-m和(m+n)阶张量的分量一样 地变换,即 S i1i2"in·1i1i2…i r1k1"4 S 1J2“】t 例如,如果A;和B是矢量A和B的分量,则AB;就 是二阶张量的分量。 现考虑量d;A,B;。前面(定理1.3)我们已指出,如果 T,;2-;是n阶张量,则量∑0,12T12-1n是(n-2)阶张 量。由此推出量 习6,14B,=4,B,=A,B 是零阶张量,即标量。 将张量的分量乘以δ1,然后对i1、i2求和的运算,叫 17
做张量的收缩。 这样,量T 6,.T 是张量T 的收缩。张量可对其任意两个下标收缩。注意,一个n阶张 量按不同对的下标收缩,一般说来,得到的是不同的(n-2) 阶张量 特别,若 T,≡A.B.C 则 i2>. 6;:T (A·B)C 39 ;,,T A,(B·C) 收缩是张量分析中的基本运算之一。前已指出,T; δ;是二阶不变张量。现在我们研究三阶不变张量的一个重 要例子。先引进下面的定义。 在排列(1,2,3)中两个符号的位置对调,叫做对换。 一个排列(i1,i2,is),如果需经偶数次对换才能变成排列 (1,2,3),就称为偶排列,否则就称为奇排列。例如, (2,1,3)一一奇排列, (2,3,1)——偶排列。 现命 若(i,,k)为偶排列, 1,若(i,,A)为奇排列, 0,若i,j,并非都不同