在一般情形,矢量A×B的大小等于由矢量A和B所构成的 平行四边形的面积。特别地,×=0等等,以及 讠×j=配,配xj=-i,j×配=讠 例3有心力场内的动量矩守恒定律。设=(扑为 动点的径矢。如用F表示作用力,则由牛顿第二定律,F= mT(在矢量上面的点,今后都表示对时间t的微商) 如果矢量r和力F在任一时刻t都互相平行,则力F称 为有心力。重力,点电荷场内的静电力等都可以作为有心力 的例子。要证明的是,在有心力的情形,矢量P=m(P为 动量,m为物体的质量,υ为物体的速度)常位于某个固定 的平面内。今证明这个结论。 动点的径矢与其动量的矢量积叫做动量矩 五=y×p (1.9)两边对扌微商,得 卫+T×ρ 因动量矢与速度矢平行,故 ×p=0 而由牛顿第二定律,P=F;再由有心力的定义,便推得 因此, 0或L=cons 即在有心力的情形,动量矩是运动的积分(大小和方向守恒) 由(1.9)可看出,p总位于与L垂直,在空间中位置固定的
平面内。这就证明了我们的结论。 例4无限小角度转动。考虑绕z轴旋转。设= r()为质点在时刻t的径矢,为无限小时间间隔。在 时间内,质点的径矢绕z轴转过了小角度驷。因y<1, 故下列关系式成立 cos do≈1-(dq)2 2, sindo≈y-(q)a 1.10) 利用(1,10),可求出质点在转过8角后(时间a后)的坐 标 z(δt)=z(0), x(d)=x(0)-y(0)8+O(8q2),(1.11) y()=x(0)q+y(0)+O(82)。 这里O(q2)是(q)2的同级无穷小量。另一方面,当δt→0 时,在原点邻域内将x(1)和y(t)展开成泰勤( Taylor)级 数,并限取前二项,则有 x(ot)=x(0)+xot, (112) y(t)=y(0)+yt。 比较(1.11)和(1.12),就得 x()= y(t)= dop ot z(t)=0 今用记方向平行于旋转轴,大小等于的矢量。在我 10
们的情形, 因此 =OXT (1.13) 在(1.13)中所有的量都是矢量。因此,我们可以断言,这个 等式在任一坐标系中都是正确的。 在O为常量的情形,加速度a可用下式计算⑩: dt ((×y)=0 0×(×r) 如果矢量心与矢量r垂直,则 a|=|o|lo×1=lo|2ly|, 且a与矢量r方向相反。而 υ|={ω×γ}=ω‖T}, 所以 现研究空间质点沿某个 轨道运动的一般情形。假定 则τ为与质点轨道相切的单 位矢量(图6)将上式对微x 分,得 ①记号三表示对应的量在定义意义上相等 11
d v +2 但由等式·τ=1推出 即矢量τ与τ垂直。这样一来,加速度a可分解为切向加速 度和与它相垂直的法向加速度。引进单位矢量 N (1.14) 它与τ垂直。并称它为曲线y=r(t的法矢量。如果S为曲 线从任一固定点量起的弧长,则下面等式成立: sd /b1dτ,(S=|)(1,15) 由此 N i ds dt+to. Nlds 量 R dτ d s 称为曲线的曲率半径。R=∞(即dv/dS=0时的点称为曲 线的拐点。 现在我们能写 a=M/2 R 12
对于匀速圆周运动,这个公式便成为 U|2 γ」2 矢量N的方向用矢量dτ/dS的方向确定。 根据定义,速度矢量υ和加速度矢量a一样,位于由法 向和切向单位矢量所构成的平面内。 因法向和切向单位矢量平面在空间中的位置随着时间而 可能改变,于是速度和加速度给定了的质点轨道在一定程度 上仍是自由的。我们将取曲线的挠率作为合适的参量。下面 在计算自由加速度时,将利用挠率的概念。 法矢量和切矢量的矢量积b,叫做副法矢量: b=τ×N (116) 例如,若质点在平面内运动,则副法矢量为常量。 今用公式 db ds 定义曲线的挠率T,由图7看出,db1 b+db =d6,因为b=1,b与矢量τ与N的 平面垂直以及d0是这个平面的转动角。 有时我们还用下面的记号: 图7● R—曲线曲率(第,曲率), C db ds 曲线挠率(第二曲率) C=√C2+C2—全曲率。 微分(1.16),得 13