数 A·B 4 B 称为两矢量A和B的数量积A·B。数量积是关于坐标系旋 转的不变量。事实上,利用公式(1.1)得 24 A;;1B1= A:B 64.B=21,B 在坐标系作转动时不变的量,叫做标量。于是A·B是 标量。显然,A·A=∑A。数(A.A)2称为矢量A的 模(或长度),并记之为|A|。特别是,如果A=T,则 1A|=|yi=√x2+x2+x 今选取坐标系,使得轴x1顺着矢量A的方向,而矢量 B则在平面x1x2内(图4),于是 A=(A,0,0) B=(B cos 0, B sin 0, 0) A·B=|A||B|cosθ, 这里θ是矢量A和B之间的夹 角。因A·B是标量,故这个 等式在任意坐标系中都仍适 合。特别地,如果A·B=0 且A和B都不为零,则矢量 A和B垂直
例2能量守恒。由牛顿第二定律 F=ma=mdv d (1.3) 这里m为物体质量,F为作用于该物体上的力,U为速度。 在等式(1.3)两边点乘,则得 dυ F·=mdt du dt 2 即 F· 这里v为矢量v的模。特别,如果F=0,则 2 0,即 7 = const 2 这是能量守恒定律的一种形式。 定理1·1假定有一个法则,使在每一坐标系中都能给 出三个数(A1,A2,A3),如果此法则对所有矢量B= (B1,B2,B3),都能使量∑AB;为标量,则量A=(A1, A2,A3)为矢量。 证明在坐标系转动下,矢量B的坐标按公式(12)变 成 B;=∑";B;(i=1,2,3) 设在转动时,(A1,A2,A3)变成(Ai1,A2,A3)
我们需证 A;=∑u;A;(i=1,2,3) 但由假设 AB=∑AB 所以 2AB,=SA:习u,B,=(;4)B 因矢量B是任意给定的,故 l4;AH;(j=1,2,3) 将(1.4)乘以u;且对j求和,考虑到(1.2),就得 2,21;,A A 14;;h; 6;kx=A;(i=1,2,3), 这就是所要证明的。 现考虑某个直角坐标系。设=(1,0,0),J=(0,1,0) k=(0,0,1)为此坐标系中的三个单位矢量。则 元·=jj=k·k=1, j=j·k=k 这些关系显示了单位矢量之间是相互垂直的。在这个坐标系 中,矢量A=(A1,A2,A3)可表示为 A=A1i+A2i+Ask (1.5)
将坐标轴旋转。原坐标系中的单位矢量在新坐标系中的 坐标为 31 t12,u22;a32), k:( 假定=(1,0,0),=(0,1,0),k=(0,0,1) 是新坐标系(x1,x2,x3)中的单位矢量。则由(12)和(1.5 式 i=u1i'+ua21j'+u3,k' =t4 12j′+t32k′, k=u13i'+u23j'+u33k 显然·=1,·=0等等。因此 ·L=u21+u2+u3 ·j=u112+u212+u31l32=0 我们又得到了(1.1),并顺便说明了它们的起源。注意, 由前面的结论从(1.4)式可推出,新坐标系中的单位矢量可 用下面的方式由原坐标系中的单位矢量表出 i=u1+u123j+u13k j'=u21i+u223+u2 3k k 它+u32j+"sk 有两个矢量A和B,若置 A×B=(A2B3-A3B2,A3B1-A1B3, aB-4.B 则可构造第三个矢量。下面将验证,A×B确是矢量。为 7
此,利用定理1.1。即要证明,对所有矢量C,(AxB)·C 是标量。容易验证, A1 A2, A (AxB)·C=B,B2B C, C, C 位于(18)式右边的行列式,等于由矢量A,B和C所构成的 平行六面体的体积。显然,体积关于旋转是不变的。而这对 任一矢量C都是正确的,故由 AxB 定理(1.1)知,AxB确实是 矢量。这个矢量称为矢量A和 B的矢量积。 现在来确定矢量A×B的 方向和大小。为此目的,我们 选取坐标轴,使得矢量A顺 着的方向,而矢量B位于订 图5。 平面内(图5)。于是在此坐标 系内 A=(A,0,0 B=(Bcos6,Bsinθ,0), A×B=(0,0,|A||B|sin6), 6=文(A,B)=A和B之间的夹角。 因此 1AxB|=|A||Bl|sinθl 矢量A和B与量A×B垂直。矢量A,B和A×B构成右 旋三矢量。易知,如果矢量A与B平行,则A×B=0;而