举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字 滤波器的基本原理，着重讨论双线性变换法。 低通变换 通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤： 1)确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频 率{ωk}。 2)由变换关系将{ω}映射到模拟域，得出模拟 滤波器的临界频率值{Ωk}。 3)根据{Ωk}设计模拟滤波器的H(s) 4)把H,(s)变换成H(z)(数字滤波器系统函数)
一 ．低通变换 通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤： 1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频 率{ωk}。 2）由变换关系将{ωk}映射到模拟域，得出模拟 滤波器的临界频率值{Ωk}。 3）根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha(s) 4） 把Ha(s)变换成H(z)（数字滤波器系统函数） 举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字 滤波器的基本原理，着重讨论双线性变换法
创4.41设采样周期T=250us(f三4khz 设计一个三阶巴特沃滋LP滤波器，其3dB截止频率fc=1khz。分 别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。 解：a.脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接 按Q。=2πf。设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率2。 归一化的三阶巴特沃兹滤波器的传递函数为： 1 Ha(s)= 1+2s+2s2+s 以5/2。代替其归一化频率，得： H,(s)=1+2s12,)+2s1Q2+(s1Q.J
例4.4.1 设采样周期 , 设计一个三阶巴特沃兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1khz。分 别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。 解：a. 脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接 按Ω c =2πfc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率Ω c 归一化的三阶巴特沃兹 滤波器的传递函数为： 2 3 1 2 2 1 ( ) s s s Ha s + + + = 2 3 1 2( / ) 2( / ) ( / ) 1 ( ) c c c a s s s H s + + + = c s/ T 250 s( f 4khz) = s = 以 代替其归一化频率，得：
也可以查表得到。由手册中查出 巴特沃兹多项式的系数，之后以sQ 代替归一化频率，即得(s。 2。=2代入，就完 成了模拟滤波器的设计，但为简化运 算，减小误差积累，fc数值放到数字 滤波变换后代入
也可以查表得到。由手册中查出 巴特沃兹多项式的系数，之后以 代替归一化频率，即得 。 代入，就完 成了模拟滤波器的设计，但为简化运 算，减小误差积累，fc数值放到数字 滤波变换后代入。 Ha(s) c c = 2f c s/
为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根， 将上式写成部分分式结构： a()= Dc -Sc/3ello -2c/3e-jnl6 s+2cs+2c(1-j√3)/28+2c1+jW3)/2 对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式，有 A=2e,S1=-2e;A2=-2c/√5eπ/6 s2=-2.(1-j3)/2,4=-2c13r6,s=-2.1+jN3)12 将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数： 极点S
为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根， 将上式写成部分分式结构： (1 3)/ 2 / 3 (1 3)/ 2 / 3 ( ) / 6 / 6 s c j c e s c j c e s c c Ha s j j + + − + + − − + + = − /6 1 , 1 ; 2 / 3 j A = c s = −c A = −c e (1 3)/ 2; / 3 , 3 (1 3)/ 2 /6 2 3 s j A c e s j c j = −c − = − = − + − = − − = N i S T i e Z A H Z i 1 1 1 ( ) Si 对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式 ,有 将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数： 极点
并将2。=0。/T代入，得： @IT _+-(@.1V3)e6-(o.1V3Tem ④e。方 1-eo.1+/W/2Z 合并上式后两项，并将0。=2可T=0.5π 代入，计算得： =027 1.571 -1.571+0.5541Z 1-0.1905Z+0.2079Z-2
并将 代入，得： 合并上式后两项，并将 代入，计算得： (1 3)/ 2 1 / 6 (1 3)/ 2 1 / 6 1 1 ( / 3 ) 1 ( / 3 ) 1 / ( ) − + − − − − − − − − − + − − + − = e Z T e e Z T e e Z T H Z j j c j j C c c c c c = 2f c T = 0.5 − + − + + − = − − − − 1 2 1 1 1 0.1905 0.2079 1.571 0.5541 1 0.2079 1 1.571 ( ) Z Z Z T Z H Z c =c /T