[1 + 191192T1yn...1+2921291T2yn=1+kk.例题1.3.13证明：:::k=1....1+InynIEniTny2S1.4矩阵与方程组我们从矩阵的角度来重新思考线性方程组的求解问题.设A=（ai）mxn为系数矩阵，aEFnx1为解向量，beFmx1为非齐次项，即Ar=b.在研究这个之前，我们先研究齐次方程组Ar=0:例题1.4.1设rankA=r，如果r=n时，Ar=0只有零解；r<n时，它有非零解，且通解依赖于n-r个独立常数（也就是所谓的解空间维数为几一T)我们在求解方程组的时候，会发现可能有些方程会被其他的方程给“替代”，也就是它们能够被其他方程推导出来。使用初等变换的语言来讲，就是通过对系数矩阵作初等行变换，能够将一些行向量变为零向量，这些行对应的方程就是能被“替代”的方程，理解了这个之后，我们能够更好地理解矩阵秩的意义了：所谓矩阵的秩，刻画的是矩阵的行（列）向量之间能够被“替代的程度，把所有能被替代的行（列）向量拿掉之后，剩余的行（列）数就是矩阵的秩。那么既然A中有行无法被替代，那么它们作为系数矩阵，得到的齐次方程组的解自然就会被r个式子所决定.而n个未知元有n个自由度，被r个式子确定后自然就只剩下了n一r个自由度了，这样就解释了这个定理的由来，由这些观点，我们分别讨论非齐次方程解的存在性和结构定理例题1.4.2Az=b存在解的充要条件是rankA=rank(A,b).例题1.4.3设Ar=b存在解，rankA=r.当r=n时，解存在唯一；当r<n时，通解具有n-r个独立常数，且通解由对应齐次方程组的通解和非齐次方程组的特解叠加而成上述给出的是方程组解的存在性以及结构理论，如何来求解方程组？实际上，1.3节我们已经给出了答案，当时让大家阅读季炯生118页例1，它相当于针对矩阵方程AX=In，对（A,In）进行行变换的操作，在A变为I的时候，右侧的In就变为了A-1.如果我们把右侧的I.换为其他形状的矩阵，甚至比如一个列向量，仿照类似的做法，我们就能得到使用初等行变换求解线性方程组的方法，详情请参考李炯生140页例1例题1.4.2的结论可以推广到一般的矩阵方程中例题1.4.4设XEFnxP,BEFmxP。则AX=B存在解的充要条件是rankA=rank(A,B).针对方阵，我们还有一个常用的推论：例题1.4.5设AEFnxn，XEFnxP，则矩阵方程AX=0有非零解，当且仅当detA=0.想要理解好上述结论，除了学会推导证明，还要计算几个具体的例子，这些例子不难在李烦生、李尚志或者丘维声的书上找到，不在多，在覆盖面全，要尽可能找出适合各种情况的例子，在把它们个验证一遍，计算出它们的通解之后，与定理中描述的结果相比较，这对于这块的学习大有益处在本章最后，我们给出一道利用结构定理解答的题目，这有助于大家体会结构定理的妙用例题1.4.6设四元线性方程组的系数矩阵A的秩为3,(α;)=1是方程组的三个解，其中α1=(1,-2,-3,4)T,5α2一23=(2,0,0,8)T，求线性方程组的通解提示5α2-2a3-3a1是齐次方程组的通解.参考答案：1,-2,-3,4)T+t(-1,6,9,4)T
例题 1.3.13 证明: 1 + x1y1 x1y2 · · · x1yn x2y1 1 + x2y2 · · · x2yn . . . . . . . . . xny1 xny2 · · · 1 + xnyn = 1 +Xn k=1 xkyk. §1.4 矩阵与方程组 我们从矩阵的角度来重新思考线性方程组的求解问题. 设 A = (aij )m×n 为系数矩阵, x ∈ F n×1 为解向量, b ∈ F m×1 为非齐次项, 即 Ax = b. 在研究这个之前, 我们先研究齐次方程组 Ax = 0: 例题 1.4.1 设 rank A = r, 如果 r = n 时, Ax = 0 只有零解; r < n 时, 它有非零解, 且通解依赖于 n − r 个独 立常数 (也就是所谓的解空间维数为 n − r). 我们在求解方程组的时候, 会发现可能有些方程会被其他的方程给“替代”, 也就是它们能够被其他方程推 导出来. 使用初等变换的语言来讲, 就是通过对系数矩阵作初等行变换, 能够将一些行向量变为零向量, 这些行 对应的方程就是能被“替代”的方程. 理解了这个之后, 我们能够更好地理解矩阵秩的意义了: 所谓矩阵的秩, 刻 画的是矩阵的行 (列) 向量之间能够被“替代”的程度, 把所有能被替代的行 (列) 向量拿掉之后, 剩余的行 (列) 数就是矩阵的秩. 那么既然 A 中有 r 行无法被替代, 那么它们作为系数矩阵, 得到的齐次方程组的解自然就会 被 r 个式子所决定. 而 n 个未知元有 n 个自由度, 被 r 个式子确定后自然就只剩下了 n − r 个自由度了, 这样 就解释了这个定理的由来. 由这些观点, 我们分别讨论非齐次方程解的存在性和结构定理: 例题 1.4.2 Ax = b 存在解的充要条件是 rank A = rank(A, b). 例题 1.4.3 设 Ax = b 存在解, rank A = r. 当 r = n 时, 解存在唯一; 当 r < n 时, 通解具有 n − r 个独立常 数, 且通解由对应齐次方程组的通解和非齐次方程组的特解叠加而成. 上述给出的是方程组解的存在性以及结构理论, 如何来求解方程组? 实际上, 1.3 节我们已经给出了答案, 当时让大家阅读李炯生 118 页例 1, 它相当于针对矩阵方程 AX = In, 对 (A, In) 进行行变换的操作, 在 A 变 为 In 的时候, 右侧的 In 就变为了 A−1 . 如果我们把右侧的 In 换为其他形状的矩阵, 甚至比如一个列向量, 仿 照类似的做法, 我们就能得到使用初等行变换求解线性方程组的方法, 详情请参考李炯生 140 页例 1. 例题 1.4.2 的结论可以推广到一般的矩阵方程中: 例题 1.4.4 设 X ∈ F n×p , B ∈ F m×p . 则 AX = B 存在解的充要条件是 rank A = rank(A, B). 针对方阵, 我们还有一个常用的推论: 例题 1.4.5 设 A ∈ F n×n, X ∈ F n×p , 则矩阵方程 AX = 0 有非零解, 当且仅当 det A = 0. 想要理解好上述结论, 除了学会推导证明, 还要计算几个具体的例子. 这些例子不难在李炯生、李尚志或者 丘维声的书上找到, 不在多, 在覆盖面全, 要尽可能找出适合各种情况的例子. 在把它们挨个验证一遍, 计算出 它们的通解之后, 与定理中描述的结果相比较, 这对于这块的学习大有益处. 在本章最后, 我们给出一道利用结构定理解答的题目, 这有助于大家体会结构定理的妙用. 例题 1.4.6 设四元线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 3, {αi} 3 i=1 是方程组的三个解, 其中 α1 = (1, −2, −3, 4)T , 5α2 − 2α3 = (2, 0, 0, 8)T . 求线性方程组的通解. 提示 5α2 − 2α3 − 3α1 是齐次方程组的通解. 参考答案: (1, −2, −3, 4)T + t(−1, 6, 9, −4)T
第2章乡线性空间与线性变换S2.1线性空间设V是一个非空集合，V的元素称为向量，F是一个数域，F上的元素称为数.再V上定义了加法运算α+βEV和数乘运算入EV,其中α,βEV,入EF.若这两种运算满足如下运算律：(A1)加法交换律Va,βeV,a+β=β+a(A2)加法结合律Vα,β,EV,(α+B)+=Q+(B+)(A3)加法有幺元30EV,VEV0+a=a(A4）加法有逆元VEV,EV,a+B=OVαE V,V,μ E F,X(μ) = (μ)a(M1）数乘结合律(M2）数乘有么元VαE V,la=a(D1）数乘对数的分配律VEV,V入,μEF,(+μ)a=a+μa(D2）数乘对向量的分配律Va,βEV,V>EF,A(α+B)=Aa+Ap则称代数结构（V.F.+）为线性空间，简称V是F上的线性空间取定一个数域K，设n是任意给定的一个正整数令K"={(ai,a2,，an）|aEK,i=1,2,.，n).我们称K"中两个元素：（a1,a2,，an）与（b1,b2,.…·，bn）相等，当且仅当a1=bi,a2=b2，…,an=bn.则显然，Kn是K上的线性空间对于给定的向量组1,α2,，αs，任给K中一组数ki,k2.……，ks，就可以得到一个向量kia1+k2a2+…+ksas，称这个向量是向量组a1,2，α的一个线性组合，其中k1,k2…，k。称为系数在K"中，给定向量组α1,α2,,αs，对于βEK"，如果存在K中一组数c1,C2,，Cs，使得β=cjaj，那么称β可以由a1,a2,，α。线性表出.数域Kj=1性质2.1：如果V是数域K上的线性空间，那么V的零元素是唯一的，性质2.2:如果V是数域K上的线性空间，而是线性空间V中的任意给定的一个元素，那么的逆元是唯一的.性质2.3：如果V是数域K上的线性空间，而u是线性空间V中的任意给定的一个元素，那么有0.U=0,k.0=0,VkEK,uv(-1) ·V = -0,成立.性质2.4：如果V是数域K上的线性空间，而u是线性空间V中的任意给定的一个元素，且kEK，并且假设k·=09
第 2 章 线性空间与线性变换 §2.1 线性空间 设 V 是一个非空集合, V 的元素称为向量, F 是一个数域, F 上的元素称为数. 再 V 上定义了加法运算 α + β ∈ V 和数乘运算 λα ∈ V , 其中 α, β ∈ V, λ ∈ F. 若这两种运算满足如下运算律: (A1) 加法交换律 ∀α, β ∈ V, α + β = β + α (A2) 加法结合律 ∀α, β, γ ∈ V,(α + β) + γ = α + (β + γ) (A3) 加法有幺元 ∃0 ∈ V, ∀α ∈ V, 0 + α = α (A4) 加法有逆元 ∀α ∈ V, ∃β ∈ V, α + β = 0 (M1) 数乘结合律 ∀α ∈ V, ∀λ, µ ∈ F, λ(µα) = (λµ)α (M2) 数乘有幺元 ∀α ∈ V, 1α = α (D1) 数乘对数的分配律 ∀α ∈ V, ∀λ, µ ∈ F,(λ + µ)α = λα + µα (D2) 数乘对向量的分配律 ∀α, β ∈ V, ∀λ ∈ F, λ(α + β) = λα + λβ 则称代数结构 (V, F, +, ·) 为线性空间, 简称 V 是 F 上的线性空间. 取定一个数域 K, 设 n 是任意给定的一个正整数. 令 Kn = {(a1, a2, · · · , an) | ai ∈ K, i = 1, 2, · · · , n}. 我 们称 Kn 中两个元素: (a1, a2, · · · , an) 与 (b1, b2, · · · , bn) 相等, 当且仅当 a1 = b1, a2 = b2, · · · , an = bn. 则显 然, Kn 是 K 上的线性空间. 对于给定的向量组 α1, α2, · · · , αs, 任给 K 中一组数 k1, k2, · · · , ks, 就可以得到一个向量 k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs, 称这个向量是向量组 α1, α2, · · · , αs 的一个线性组合, 其中 k1, k2, · · · , ks 称为系数. 在 Kn 中, 给定向量组 α1, α2, · · · , αs, 对于 β ∈ Kn, 如果存在 K 中一组数 c1, c2, · · · , cs, 使得 β = Xs j=1 cjαj , 那么称 β 可以由 α1, α2, · · · , αs 线性表出. 数域 K 性质 2.1: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 那么 V 的零元素是唯一的. 性质 2.2: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而 v 是线性空间 V 中的任意给定的一个元素, 那么 v 的逆元是唯 一的. 性质 2.3: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而 v 是线性空间 V 中的任意给定的一个元素, 那么有 0 · v = 0, k · 0 = 0, (−1) · v = −v, ∀k ∈ K, v ∈ V 成立. 性质 2.4: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而 v 是线性空间 V 中的任意给定的一个元素, 且 k ∈ K, 并且假设 k · v = 0 9
成立，则有k=0,oru=0一个向量组[a,i=1中的每一个向量都可以被另一个向量组[ba]=1线性表出，则称向量组[a;]j=1可以被向量组[bk]=1线性表出.性质2.5：如果V是数域K上的线性空间，而u是线性空间V中的任意给定的一个元素，那么向量线性相关的充要条件是U=0性质2.6:如果V是数域K上的线性空间，而（uj]j=1是线性空间V中的任意给定的一个向量组，那么向量组[uj}i=1线性相关的充要条件是存在一个向量Us,1≤s≤r，使得1Zhiu+ZhijskeKUg=j=1j=s+1成立.性质2.7:如果V是数域K上的线性空间，而【u,}i=1是线性空间V中的任意给定的一个向量组，如果（u,}i=1线性无关，且能被（uj)j=1线性表出，那么不等式r≤s成立性质2.8:如果V是数域K上的线性空间，而[ui}i=1，【u]i=1是线性空间V中的任意给定的两个向量组，如果这两个向量组都是线性无关的。且能相互被对方线性表出（即这两个向量组是等价的），那么s=T成立性质2.9:如果V是数域K上的线性空间，而[uj]j=1是线性空间V中的任意给定的一个向量组，uEV,如果uj]j=1线性无关，但向量组ui]i=iU【u]线性相关，那么u可以被向量组【i]i=1线性表出，且表示方法唯一，如果数域K上的线性空间V中有n个线性无关的向量[bj]"=1，但是没有更多数量的线性无关的向量，那么V就被称为n 维的,且称(bj]i=1为V的一组基,设uEV,于是向量组[bj]i=iU[u] 线性相关,因此向量可以被基[b,}=1线性表出，形如u=aj·bj,aiEK；如果在数域K上的线性空间V中可以找到任j=1意多个线性无关的向量，那么称V是无限维的[aj=1是被和基[b;]i=1唯一确定的，这组数就称为在基[b,}=1下的坐标性质2.10:如果数域K上的线性空间V中有n个线性无关的向量b;]"=1且V中任意一个向量都可以用它们线性表出，那么V是n维的，且向量组[bi]i=1就是线性空间V的一组基例题2.1.0：令Q(w)=a+bwa,bEQl.w-+w+1=0(1）证明它对于通常的加法和复数域乘法构成Q-线性空间：(2)求它的一组基：(3)a,-Vi是否在其中?并求w,,-Vi的秩.例题2.1.1：在K4中,设a1=(1,1,1,1)T,α2=(1,1,1,0)T,a3=(1,1,0,0)T,a4=(1,0,0,0)T,α=(2,-1,3,4)，求α在基1,α2,α3,α4下的坐标。例题2.1.2：设V是由复数组成的无穷数列[an}=a1,a2,"，an，]的全体组成的集合，定义V中任意两个数列的加法[an]+[bn]=[an+bn】以及数乘^[an]=[\an】之后成为成为复数域C上的线性空间.(1)求证：V中满足条件an=an=1+an=2的全体数列组成的V的子空间W.W的维数是多少？(2)对任意(a1,a2)EC2,定义a(a1,a2)=[a1,a2,..,an,.)EW.求证a是C2到W的同构映射(3）求证：W在存在一组由等比数列组成的基M
成立, 则有 k = 0, or v = 0 一个向量组 {aj} r j=1 中的每一个向量都可以被另一个向量组 {bk} s k=1 线性表出, 则称向量组 {aj} r j=1 可以被向 量组 {bk} s k=1 线性表出. 性质 2.5: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而 v 是线性空间 V 中的任意给定的一个元素, 那么向量 v 线性相 关的充要条件是 v = 0 性质 2.6: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而 {vj} r j=1 是线性空间 V 中的任意给定的一个向量组, 那么向量组 {vj} r j=1 线性相关的充要条件是存在一个向量 vs, 1 ⩽ s ⩽ r, 使得 vs = Xs−1 j=1 kj · vj + Xr j=s+1 kj · vj , kj ∈ K 成立. 性质 2.7: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而 {vj} r j=1 是线性空间 V 中的任意给定的一个向量组, 如果 {vj} r j=1 线性无关, 且能被 {uj} s j=1 线性表出, 那么不等式 r ⩽ s 成立. 性质 2.8: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而 {vj} r j=1, {uj} s j=1 是线性空间 V 中的任意给定的两个向量组, 如 果这两个向量组都是线性无关的. 且能相互被对方线性表出 (即这两个向量组是等价的), 那么 s = r 成立. 性质 2.9: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而 {vj} r j=1 是线性空间 V 中的任意给定的一个向量组, u ∈ V , 如 果 {vj} r j=1 线性无关, 但向量组 {vj} r j=1 ∪ {u} 线性相关, 那么 u 可以被向量组 {vj} r j=1 线性表出, 且表示方法 唯一. 如果数域 K 上的线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量 {bj} n j=1, 但是没有更多数量的线性无关的向量, 那么 V 就被称为 n 维的, 且称 {bj} n j=1 为 V 的一组基, 设 v ∈ V , 于是向量组 {bj} n j=1 ∪ {v} 线性相关, 因此向 量 v 可以被基 {bj} n j=1 线性表出, 形如 v = Xn j=1 aj · bj , aj ∈ K; 如果在数域 K 上的线性空间 V 中可以找到任 意多个线性无关的向量, 那么称 V 是无限维的. {aj} n j=1 是被 v 和基 {bj} n j=1 唯一确定的, 这组数就称为 v 在基 {bj} n j=1 下的坐标. 性质 2.10: 如果数域 K 上的线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量 {bj} n j=1, 且 V 中任意一个向量都可以用它 们线性表出, 那么 V 是 n 维的, 且向量组 {bj} n j=1 就是线性空间 V 的一组基. 例题 2.1.0 : 令 Q(ω) := {a + bω | a, b ∈ Q}, ω2 + ω + 1 = 0 (1) 证明它对于通常的加法和复数域乘法构成 Q-线性空间; (2) 求它的一组基; (3)ω, ¯ − √ 3i 是否在其中? 并求 ω, ω, ¯ − √ 3i 的秩. 例题 2.1.1 : 在 K4 中, 设 α1 = (1, 1, 1, 1)T , α2 = (1, 1, 1, 0)T , α3 = (1, 1, 0, 0)T , α4 = (1, 0, 0, 0)T , α = (2, −1, 3, 4)T , 求 α 在基 α1, α2, α3, α4 下的坐标. 例题 2.1.2 : 设 V 是由复数组成的无穷数列 {an} = {a1, a2, · · · , an, · · · } 的全体组成的集合, 定义 V 中任意 两个数列的加法 {an} + {bn} = {an + bn} 以及数乘 λ{an} = {λan} 之后成为成为复数域 C 上的线性空间. (1) 求证: V 中满足条件 an = an−1 + an−2 的全体数列组成的 V 的子空间 W.W 的维数是多少? (2) 对任意 (a1, a2) ∈ C 2 , 定义 σ(a1, a2) = {a1, a2, · · · , an, · · · } ∈ W. 求证 σ 是 C 2 到 W 的同构映射. (3) 求证: W 在存在一组由等比数列组成的基 M
(4)设数列Fn)满足条件Fi=1,F2=1且Fn=Fn-1+Fn-2，求[Fn)在基M下的坐标，并由此求出[Fn}的通项公式.例题2.1.3：设R+是所有的正实数组成的集合，对任意a,bER+，定义a④b=ab,对任意aER+和入ER定义入?a=a(1)验证R+按上述定义的加法和数乘构成一个线性空间.(2)证明R+与R这两个线性空间同构，并求出所有同构例题2.1.4：判断几何空间R2=[(a,y)|,yER)对于通常的向量加法和如下定义的数乘运算：A(r,y)=(Ar,y), V(r,y)ER2,AER是否构成实数域上的线性空间？为什么？例题2.1.5：设非空集合V={(a+ib,c+id)/a,b,c,dER)对于通常的加法和数乘在复数域C和实数域R上构成的线性空间分别为Vc和VB，试求dim(Vc)，dim(VR)例题2.1.6：设Vi,V2是数域K上的线性空间，记Vi × V2 = [(α1, a2) /ai E Vi,α2 E V2)对任意(αi,a2),(βi,β2)EVi×V2,及任意kEK,规定k(a1,a2)=(ka1,ka2)(1)证明：Vi×V2关于以上运算构成数域K上的线性空间；(2)己知dimVi=m,dimV2=n，求dim(Vi×V2)例题2.1.7：设V是数域K上的线性空间，Q1,Q2,α3,4是V中的线性无关向量组，求由向量组α1+Q2,Q2+Q3,Q3+α4,α4+Q1生成的线性子空间W的一个基以及W的维数.例题2.1.8：设V为数域K上的有限维线性空间，且V只有平凡子空间.问V的维数是多少？例题2.1.9：设α1,α2..，αr和β1,β2，·.·，β。是Kn中的两个线性无关向量组，证明：子空间L(ai,a2,...,ar)nL(B1,β2,...,βs)的维数等于齐次线性方程组101.+202+.+r0r+y11+y2B2+..+2B=0的解空间的维数.S2.2子空间与直和与商空间设U是数域K上的线性空间V的非空向量集合.如果U对于线性空间V的向量加法和纯量与向量的乘法是封闭的,即对任意α,βEU,α+βEU,并且对任意入EF,αEU,入QEU,则称U为域K上的线性空间V的子空间[O]和V是线性空间V的两个平凡子空间，其它V的子空间称为V的真子空间设I是下标集合，[V：VEI是数域K上线性空间V的子空间集合.V中所有属于每个子空间Vv,VEI的向量的集合称为所有子空间Vv,VEI的交，记为V性质2.11：数域K上线性空间V的非空子集W对于V的两种运算也构成数域K上的线性空间，那么W将是V的线性子空间性质2.12：任何一个线性子空间的位数不会超过整个线性空间的维数在线性空间中，由单个的零向量所构成的子集合叫做零子空间：包含某个向量组的所有子空间的交（显然是最小子空间）称为整个向量组生成的子空间
(4) 设数列 {Fn} 满足条件 F1 = 1, F2 = 1 且 Fn = Fn−1 + Fn−2, 求 {Fn} 在基 M 下的坐标, 并由此求出 {Fn} 的通项公式. 例题 2.1.3 : 设 R + 是所有的正实数组成的集合, 对任意 a, b ∈ R +, 定义 a ⊕ b = ab, 对任意 a ∈ R + 和 λ ∈ R 定义 λ ⊗ a = a λ (1) 验证 R + 按上述定义的加法和数乘构成一个线性空间. (2) 证明 R + 与 R 这两个线性空间同构, 并求出所有同构. 例题 2.1.4 : 判断几何空间 R2 = {(x, y) | x, y ∈ R} 对于通常的向量加法和如下定义的数乘运算: λ ⊗ (x, y) = (λx, y), ∀(x, y) ∈ R 2 , λ ∈ R 是否构成实数域上的线性空间? 为什么? 例题 2.1.5 : 设非空集合 V = {(a + ib, c + id) | a, b, c, d ∈ R} 对于通常的加法和数乘在复数域 C 和实数域 R 上构成的线性空间分别为 VC 和 VB, 试求 dim (VC), dim (VR). 例题 2.1.6 : 设 V1, V2 是数域 K 上的线性空间, 记 V1 × V2 = {(α1, α2) | α1 ∈ V1, α2 ∈ V2} 对任意 (α1, α2),(β1, β2) ∈ V1 × V2, 及任意 k ∈ K, 规定 k(α1, α2) = (kα1, kα2) (1) 证明 : V1 × V2 关于以上 运算构成数域 K 上的线性空间 ; (2) 己知 dim V1 = m, dim V2 = n, 求 dim (V1 × V2) 例题 2.1.7 : 设 V 是数域 K 上的线性空间 , α1, α2, α3, α4 是 V 中的线性无关向量组, 求由向量组 α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, α4 + α1 生成的线性子空间 W 的一个基以及 W 的维数. 例题 2.1.8 : 设 V 为数域 K 上的有限维线性空间, 且 V 只有平凡子空间. 问 V 的维数是多少? 例题 2.1.9 : 设 α1, α2, · · · , αr 和 β1, β2, · · · , βs 是 Kn 中的两个线性无关向量组, 证明: 子空间 L(α1, α2, · · · , αr) ∩ L(β1, β2, · · · , βs) 的维数等于齐次线性方程组 x1α1. + x2α2 + · · · + xrαr + y1β1 + y2β2 + · · · + γ2βs = 0 的解空间的维数. §2.2 子空间与直和与商空间 设 U 是数域 K 上的线性空间 V 的非空向量集合. 如果 U 对于线性空间 V 的向量加法和纯量与向量的 乘法是封闭的, 即对任意 α, β ∈ U, α + β ∈ U, 并且对任意 λ ∈ F, α ∈ U, λα ∈ U, 则称 U 为域 K 上的线性空 间 V 的子空间. {0} 和 V 是线性空间 V 的两个平凡子空间, 其它 V 的子空间称为 V 的真子空间. 设 I 是下标集合, {Vν : ν ∈ I} 是数域 K 上线性空间 V 的子空间集合. V 中所有属于每个子空间 Vν, ν ∈ I 的 向量的集合称为所有子空间 Vν, ν ∈ I 的交, 记为 \ ν∈I Vν 性质 2.11: 数域 K 上线性空间 V 的非空子集 W 对于 V 的两种运算也构成数域 K 上的线性空间, 那么 W 将 是 V 的线性子空间. 性质 2.12: 任何一个线性子空间的位数不会超过整个线性空间的维数. 在线性空间中, 由单个的零向量所构成的子集合叫做零子空间; 包含某个向量组的所有子空间的交（显然 是最小子空间）称为整个向量组生成的子空间
一个向量组的秩是指它的一个极大无关组的向量数性质2.13：两个向量组生成相同的线性子空间的充分必要条件是这两个向量组等价性质2.14:已知[β}=1是一个向量组，则有dim(spank[B))j=1)=rank(β;)=1成立性质2.15:设U是数域K上的n维线性空间V的一个m维子空间，向量组(β,}-=1是U的一组基，那么，这组向量必定可扩充为整个空间的基，也就是说，在V中必定可以找到n一m个向量【β}=m+1，使得向量组[β;]=1 是 V 的一组基.性质2.16：子空间们的交依旧是子空间设Vi和V2是数域K上的线性空间V的子空间，所有能表示成i+u2uiEViU2EV2，的向量组成的集合，称为Vi与V2的和，记作Vi+V2.事实上，所有同时包含Vi,V2的线性空间的交就是Vi+V2性质2.17:设Vi和V2是数域K上的线性空间V的子空间，那么Vi+V2是线性空间V的子空间性质2.18:设Vi,V2,W是K上线性空间V的子空间，且WCViWCV2，那么WCVinV2成立性质2.19:设ViVz和W是数域K上的线性空间V的子空间，且ViCW,V2CW那么Vi+V2CW成立性质2.20：设V1与V2是数域K上的线性空间V的子空间，那么以下三个观点等价：i.Vi C V2;ii.Vin V2=Vi;ii.Vi+V2=V2性质2.21:如果说Vi,V2是数域K上的线性空间V的两个子空间，那么dimVi+dimV2=dimVinVz+dim(Vi+V2)成立性质2.22:Vi和V2是数域K上的n维线性空间V的两个子空间，如果不等式dimVi+dimV2>n成立，那么Vi,V2必含有非零的公共向量设Vi和V2是数域K上n维线性空间V的子空间.如果VinV2=[0],则子空间Vi+Vz称为Vi与V2的直和，记作ViV2性质2.23:Vi和V2是数域K上的线性空间V的子空间.i+U2=0,uiEViU2EV给出了零向量的一个分解.则Vi+V2是直和的充分必要条件是U1+V2=0,U1EVi,U2EV2.只有在U1=0,2=0的条件下成立性质2.24:Vi，V2是数域K上线性空间V的子空间.则Vi+V2是直和当且仅当VuEVi+V2,U=U1+V2UiEVi,V2EV2,这种分解是唯一的性质2.25:Vi和V2是数域K上的线性空间V的子空间，W=Vi+V2，则，W=Vi@V2当且仅当dimW=dimVi+dimV2性质2.26:设[uj]j=1和[wk}=1是数域K上的线性空间V的两个向量组，那么spank(1,2,...,Un-1,Un,Wi,w2,...,Wm)= spank(i,V2,...,n-1,Un)+spank(Wi, W2,...,Wm)成立.性质2.27:设Vi是数域K上的线性空间V的子空间，那么在线性空间V中一定存在一个子空间V2，使得Vi@V2=V成立我们称上面的V2是V关于子空间Vi的商空间，记作V/Vi设[V)i=1是数域K上的线性空间V的子空间，是线性空间V,中任意一个向量，式j=1u=Zuj,where u, eVj,j=1,2,..,sj=1
一个向量组的秩是指它的一个极大无关组的向量数. 性质 2.13: 两个向量组生成相同的线性子空间的充分必要条件是这两个向量组等价. 性质 2.14: 已知 {βj} n j=1 是一个向量组, 则有 dim(spanK{βj} n j=1) = rank{βj} n j=1 成立. 性质 2.15: 设 U 是数域 K 上的 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间, 向量组 {βj} m j=1 是 U 的一组基, 那么, 这组向量必定可扩充为整个空间的基, 也就是说, 在 V 中必定可以找到 n − m 个向量 {βk} n k=m+1, 使得向量组 {βi} n i=1 是 V 的一组基. 性质 2.16: 子空间们的交依旧是子空间. 设 V1 和 V2 是数域 K 上的线性空间 V 的子空间, 所有能表示成 v1 + v2, v1 ∈ V1, v2 ∈ V2, 的向量组成的 集合, 称为 V1 与 V2 的和, 记作 V1 + V2. 事实上, 所有同时包含 V1, V2 的线性空间的交就是 V1 + V2. 性质 2.17: 设 V1 和 V2 是数域 K 上的线性空间 V 的子空间, 那么 V1 + V2 是线性空间 V 的子空间. 性质 2.18: 设 V1, V2, W 是 K 上线性空间 V 的子空间, 且 W ⊂ V1, W ⊂ V2, 那么 W ⊂ V1 ∩ V2 成立. 性质 2.19: 设 V1, V2 和 W 是数域 K 上的线性空间 V 的子空间, 且 V1 ⊂ W, V2 ⊂ W, 那么 V1 + V2 ⊂ W 成立. 性质 2.20: 设 V1 与 V2 是数域 K 上的线性空间 V 的子空间, 那么以下三个观点等价: i. V1 ⊂ V2; ii. V1 ∩ V2 = V1; iii. V1 + V2 = V2 性质 2.21: 如果说 V1, V2 是数域 K 上的线性空间 V 的两个子空间, 那么 dim V1 + dim V2 = dim V1 ∩ V2 + dim(V1 + V2) 成立. 性质 2.22: V1 和 V2 是数域 K 上的 n 维线性空间 V 的两个子空间, 如果不等式 dim V1 + dim V2 > n 成立, 那 么 V1, V2 必含有非零的公共向量. 设 V1 和 V2 是数域 K 上 n 维线性空间 V 的子空间. 如果 V1 ∩ V2 = {0}, 则子空间 V1 + V2 称为 V1 与 V2 的直和, 记作 V1 ⊕ V2. 性质 2.23: V1 和 V2 是数域 K 上的线性空间 V 的子空间.v1 + v2 = 0, v1 ∈ V1, v2 ∈ V2 给出了零向量的一个分 解. 则 V1 + V2 是直和的充分必要条件是 v1 + v2 = 0, v1 ∈ V1, v2 ∈ V2. 只有在 v1 = 0, v2 = 0 的条件下成立. 性质 2.24: V1, V2 是数域 K 上线性空间 V 的子空间. 则 V1 + V2 是直和当且仅当 ∀v ∈ V1 + V2, v = v1 + v2, v1 ∈ V1, v2 ∈ V2, 这种分解是唯一的. 性质 2.25: V1 和 V2 是数域 K 上的线性空间 V 的子空间, W = V1 + V2, 则, W = V1 ⊕ V2 当且仅当 dim W = dim V1 + dim V2. 性质 2.26: 设 {vj} n j=1 和 {wk} m k=1 是数域 K 上的线性空间 V 的两个向量组, 那么 spanK(v1, v2, · · · , vn−1, vn, w1, w2, · · · , wm) = spanK(v1, v2, · · · , vn−1, vn) + spanK(w1, w2, · · · , wm) 成立. 性质 2.27: 设 V1 是数域 K 上的线性空间 V 的子空间, 那么在线性空间 V 中一定存在一个子空间 V2, 使得 V1 ⊕ V2 = V 成立. 我们称上面的 V2 是 V 关于子空间 V1 的商空间, 记作 V /V1. 设 {Vj} s j=1 是数域 K 上的线性空间 V 的子空间, v 是线性空间 Xs j=1 Vj 中任意一个向量, 式 v = Xs j=1 vj , where vj ∈ Vj , j = 1, 2, · · · , s