《线性代数》课程教学资源（知识点）线性代数考研辅导讲义.pdf_P6-P10

S1.2行列式的定义与基本性质称（ijn）为n元排列，如果[ji：1≤i≤n)=[i：1≤i≤n]n元排列的全体记为Sn，显然[Sn=n!称排列（j1·jn）的逆序数为满足p<q且jp>jg的（p,q)的个数，记作(j.jn）.如果排列的逆序数为奇数，称之为奇排列，否则为偶排列．如果只交换排列中的两个数，称做了一次对换，容易验证，对换必定会改变排列的奇偶性。通过对换的概念，结合上述逆序数的定义，我们可以证明任何排列通过对换，变为(12··n）的对换次数不是固定的，但是对换次数奇偶性是固定的，且与排列的奇偶性相同.因此，定义排列的符号sgn(j1 jn)= (-1)r(i.jn).有了这些准备工作，我们定义n阶方阵A=（ai）的行列式：a1112.aina21a22a2n...Dsgn(i.. jn) IIakiedet A =[A| ==:..k=1(i.-jn)eSn[an1an22ann结合排列的性质，以及上述定义，我们能够得到行列式的按第i行（列也是可以的）展开：[A|=aijAijj=1a11....aina1.j-1a1.j+1::::ai-1,j-1ai-1,j+1ai-1,nai-1,1..:其中 Aij=(-1)i+i被称作i的代数余子式．将此展开式推ai+1.n...ai+1,j-1...ai+1,1ai+1.j+18目"目.：anlann...an.j-1..:an,j+1ir广到更一般的情况：定义A为A的第i1,.，i行和第j1.··j列的交叉元按照原来的顺序(31Jr排列而成的r阶方阵的行列式（这被称作A的一个r阶子式）我们有Laplace展开定理(i..i)Z(k+i).(ir+1 .. inZ[A| =(-1)A(k...kr)(kr+1...kn1ki<..r<n其中（i1...in）和（ki...kn）都是n元排列由上立刻推知几条常见的性质：上（下）三角方阵的行列式一定是对角元之积；准上（下）三角方阵的行列式也一定是对角块的行列式之积；如果某行（列）元素均为0,则行列式一定为0;|A|=[AT；某一行（列）如果拆成了两个行（列）向量之和，那么行列式的结果也一定等于该行（列）分别替换为两个行（列）向量得到的行列式之和；某一行（列）向量如果数乘上一个数，那么行列式的结果也会乘以该数，特别地，入A|=>"A：交换行列式的两行（列)，行列式会变为相反数；行列式的某一行（列）的若干倍加到另一行（列)，不改变行列式的值。那么矩阵乘法与行列式是否兼容呢？答案是对的，这就是Binet-Cauchy定理：设AEFnxm，BEFmxn如果n>m,则|AB|=0;如果n=m,则[AB|=A||Bl;如果n<m,则...k1...k[AB|=AF(ki.kn)(1n1<ki<...<kn<m如何更好地辅助记忆Binet-Cauchy定理呢？当n>m时，AB比A和B的尺寸都要大，看起来像是被稀释了一样，进而|AB|=0；而n<㎡时，AB比A和B的尺寸都要小，看起来被浓缩了，进而AB|不一定为

§1.2 行列式的定义与基本性质称 (j1 · · · jn) 为 n 元排列, 如果 {ji : 1 ⩽ i ⩽ n} = {i : 1 ⩽ i ⩽ n}. n 元排列的全体记为 Sn, 显然 |Sn| = n!. 称排列 (j1 · · · jn) 的逆序数为满足 p < q 且 jp > jq 的 (p, q) 的个数, 记作 τ (j1 · · · jn). 如果排列的逆序数为奇数, 称之为奇排列, 否则为偶排列. 如果只交换排列中的两个数, 称做了一次对换. 容易验证, 对换必定会改变排列的奇偶性. 通过对换的概念, 结合上述逆序数的定义, 我们可以证明任何排列通过对换, 变为 (12 · · · n) 的对换次数不是固定的, 但是对换次数奇偶性是固定的, 且与排列的奇偶性相同. 因此, 定义排列的符号 sgn(j1 · · · jn) = (−1)τ(j1···jn) . 有了这些准备工作, 我们定义 n 阶方阵 A = (aij ) 的行列式: det A = |A| = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann = X (j1···jn)∈Sn sgn(j1 · · · jn) Yn k=1 akjk . 结合排列的性质, 以及上述定义, 我们能够得到行列式的按第 i 行 (列也是可以的) 展开: |A| = Xn j=1 aijAij , 其中 Aij = (−1)i+j a11 · · · a1,j−1 a1,j+1 · · · a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai−1,1 · · · ai−1,j−1 ai−1,j+1 · · · ai−1,n ai+1,1 · · · ai+1,j−1 ai+1,j+1 · · · ai+1,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 · · · an,j−1 an,j+1 · · · ann 被称作 aij 的代数余子式. 将此展开式推广到更一般的情况: 定义 A   i1 · · · ir j1 · · · jr   为 A 的第 i1, · · · , ir 行和第 j1, · · · , jr 列的交叉元按照原来的顺序排列而成的 r 阶方阵的行列式 (这被称作 A 的一个 r 阶子式). 我们有 Laplace 展开定理: |A| = X 1⩽k1<···kr⩽n (−1) ∑r l=1 (kl+il) A   i1 · · · ir k1 · · · kr   A   ir+1 · · · in kr+1 · · · kn   , 其中 (i1 · · ·in) 和 (k1 · · · kn) 都是 n 元排列. 由上立刻推知几条常见的性质: 上 (下) 三角方阵的行列式一定是对角元之积; 准上 (下) 三角方阵的行列式也一定是对角块的行列式之积; 如果某行 (列) 元素均为 0, 则行列式一定为 0; |A| = |AT |; 某一行 (列) 如果拆成了两个行 (列) 向量之和, 那么行列式的结果也一定等于该行 (列) 分别替换为两个行 (列) 向量得到的行列式之和; 某一行 (列) 向量如果数乘上一个数, 那么行列式的结果也会乘以该数, 特别地, |λA| = λ n|A|; 交换行列式的两行 (列), 行列式会变为相反数; 行列式的某一行 (列) 的若干倍加到另一行 (列), 不改变行列式的值. 那么矩阵乘法与行列式是否兼容呢? 答案是对的, 这就是 Binet-Cauchy 定理: 设 A ∈ F n×m, B ∈ F m×n. 如果 n > m, 则 |AB| = 0; 如果 n = m, 则 |AB| = |A||B|; 如果 n < m, 则 |AB| = X 1⩽k1<···<kn⩽m A   1 · · · n k1 · · · kn   B   k1 · · · kn 1 · · · n   . 如何更好地辅助记忆 Binet-Cauchy 定理呢? 当 n > m 时, AB 比 A 和 B 的尺寸都要大, 看起来像是被稀释了一样, 进而 |AB| = 0; 而 n < m 时, AB 比 A 和 B 的尺寸都要小, 看起来被浓缩了, 进而 |AB| 不一定为

0; n = m 时, |AB| = |A||B| 很自然, 这说明 det 是方阵乘法的同态. 上面提到的性质有的可以很容易地使用上述讨论直接证明, 有的可能在之后学习完初等矩阵、矩阵的秩之后才会理解地更透彻一些. 以上所有性质的证明在任何一本合格的线性代数教材上都能找到, 此处省略. 值得一提的是, 行列式有一个更加抽象的定义: n 维线性空间 F n 上的规范反对称 n 重线性函数. 它与我们的定义是完全等价的, 感兴趣的同学可以参考李炯生《线性代数》的 2.1、2.2 节. 例题 1.2.1 写出行列式 x 1 2 3 x x 1 2 2 3 x 1 x 2 3 x 中含 x 4 和 x 3 的项. 提示这道题考验你是否真正理解了行列式的定义. 例题 1.2.2 设 aij (x) 在 R 上可导, ∀1 ⩽ i, j ⩽ n, A(x) = |aij (x)|n×n, 记 Ai(x) 为 A(x) 的第 i 行求导, 其余不变组成的行列式. 证明: A′ (x) = Xn i=1 Ai(x). 提示按行展开, 再利用归纳法应该是可以的. 例题 1.2.3 n 元排列 (n,(n − 1), · · · 3, 2, 1) 是奇排列还是偶排列? 例题 1.2.4 计算 1 2 3 4 1 2 0 −5 3 −1 −1 0 1 0 1 2 . 很多时候, 所有行 (列) 的元素之和相同是一个很好利用的条件. 例题 1.2.5 证明: x a · · · a a x · · · a . . . . . . . . . . . . a a · · · x = [x + (n − 1)a](x − a) n−1 . 例题 1.2.6 证明: 1 2 3 · · · n − 1 n 2 3 4 · · · n 1 3 4 5 · · · 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . n 1 2 · · · n − 2 n − 1 = n(n + 1) 2 (−1) n(n−1) 2 n n−2 . 还有些时候, 需要利用行列式的特点, 把尽可能多的位置变为 0(打洞), 方便进一步地计算. 例题 1.2.7 证明: a1 b2 · · · bn c2 a2 . . . . . . cn an = Yn k=1 ak − Xn j=2 bj cj Y k̸=1,j ak

例题 1.2.8 证明: 1 3 3 · · · 3 3 2 3 · · · 3 . . . . . . . . . . . . 3 3 · · · n − 1 3 3 3 · · · 3 n =    −7, n = 2, 6(n − 3)!, n ⩾ 3. 有些问题可以使用归纳法, 尝试递归或求处关于阶数的递推式. 注意到行列式的本质是多项式, 一定是连续的, 因此在求含参数的行列式时, 参数的某些特殊情况是无需特别考察的, 只需用连续性取极限即可. 例题 1.2.9 证明: 2 cos θ 1 0 · · · 0 1 2 cos θ 1 · · · 0 0 1 2 cos θ · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 2 cos θ =    n + 1, θ = 0, sin(n + 1)θ sin θ , θ 6= 0. 例题 1.2.10 证明 Vandermonde 行列式: 1 1 · · · 1 x1 x2 · · · xn x 2 1 x 2 2 · · · x 2 n . . . . . . . . . x n−1 1 x n−1 2 · · · x n−1 n = Y 1⩽j<i⩽n (xi − xj ) 例题 1.2.11 证明友矩阵的行列式: x 0 · · · 0 an −1 x · · · 0 an−1 0 −1 · · · 0 . . . . . . . . . x a2 0 0 · · · −1 x + a1 = x n + Xn k=1 akx n−k . 不要忘记, Laplace 展开也是很好用的方法, 尤其是针对稀疏矩阵 (0 的个数很多的矩阵). 例题 1.2.12 证明: a1 b1 c1 d1 0 0 a2 b2 c2 d2 0 0 a3 b3 c3 d3 0 0 0 0 a1 b1 c1 d1 0 0 a2 b2 c2 d2 0 0 a3 b3 c3 d3 = AD − BC, 其中 A, B, C, D 依次是由   a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3   删掉第 1, 2, 3, 4 列得到的三阶行列式. 例题 1.2.13 设 A = (aij ), aij 对应的代数余子式为 Aij , 证明: Xn j=1 aijAkj = δik det A. 下面看一些综合性的题目. 例题 1.2.14 证明: c1 a2 a3 · · · an a1 c2 a3 · · · an a1 a2 c3 · · · an . . . . . . . . . . . . a1 a2 a3 · · · cn = Yn i=1 (ci − ai) +Xn j=1 aj Y i̸=j (ci − ai)

提示与我们按行（列）展开相反，加行（列）在某些题目中会收到奇效例题1.2.15证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为0；偶数阶反对称矩阵的所有元的代数余子式之和为0.Tan-112aia2an-1+)(-k)例题1.2.16证明：△,=a1ran-1a2...（信：:Ta122a3..提示把它看作关于工的多项式，你是否能尝试找出所有的根呢？行列式的计算题目纷繁复杂，上面只能介绍基本的一些方法，如何能够更加熟练，还要靠自己多下功夫S1.3可逆矩阵与初等变换我们把方阵AEFnxn的逆矩阵记作A-1，满足A-1A=AA-1=In：此时，我们称A是可逆矩阵.这样的话，我们就可以理解前面所讲的Fnxn是一个含么环的原因了.记GLn(F）为F上所有n阶可逆矩阵全体，那么它是Fnxn的单位群。由于群中元素的逆是唯一的，因此逆矩阵如果存在总是唯一的，并且逆矩阵的逆矩阵是本身.矩阵的逆是保持数乘的：（A)-1=-1A-1；矩阵的逆也有穿脱原理：（AB)-1=B-1A-1；矩阵的逆和共轭、转置都是可交换的(A= (-1)A例题1.3.1已知A是方阵，A=0.证明：Z>M！(台可)j=0提示可以直接计算验证。不过想想，为什么是这种形式呢？你是否能联想到某个函数的Taylor级数？那么矩阵是否可以定义指数函数呢？这些我们后面会讨论(A11A21... AnA12 a22.. An2，其中Ai为aii的那么，如何具体地计算逆矩阵呢？定义A的伴随矩阵A*=：AinA2n...Ann代数余子式。容易发现：AA*=A*A=[A|In，因此A-1=元4.直接利用伴随矩阵的构造，我们能够证明：A可逆当且仅当IAI≠0.不仅如此，结合逆矩阵的定义和例题1.2.13，我们还可以得到著名的Cramer法则设 AeGLn(F),be Fnx1,则线性方程组 Az=b 存在唯一解 =A-1b,满足的第k个分量为号，其中=AI，为把A的第k列换成b的矩阵的行列式，这个法则直观地给出了如何求解满秩方程组的算法，从数值的角度来看，它的运算复杂度为O(n!)，这显然是不可接受的，但是它具有深刻的理论意义例题1.3.2验证伴随矩阵的几条性质：（1)(^A)*=\n-1A*；(2)（AB)*=B*A*；(3)（A*)*=|A|n-2A.称以下三种操作为对矩阵的初等行变换：（1）交换第i，j行；（2)把第j行的入倍加到第i行；（3)第i行乘以非零的入倍.易知，上述情况分别相当于把下述矩阵乘到被操作矩阵的左侧：（1)Pij=In-Eu-Ej+Eij+Eji；(2)Ti(Λ)=In+入Ei，(3)D(入)=In+(\-1r)Ei这些矩阵被称为初等矩阵.通过转置可知，初等列变换是相当于矩阵右侧乘以对应的初等矩阵，这个规律被称为"行左列右之所以定义初等变换的概念，是因为这些变换正好对应我们求解线性方程组的必要操作：（1）调整方程、变量位置；（2）加减消元；(3）乘以倍数.这也是研究矩阵理论的重要原因之一。而通过求解方程组的过程，以及初等行（列）变换等价于在左（右）侧乘初等矩阵的结论，我们能够总结出李炯生118页例1求逆矩阵的方法.如

提示与我们按行 (列) 展开相反, 加行 (列) 在某些题目中会收到奇效. 例题 1.2.15 证明: 奇数阶反对称矩阵的行列式为 0; 偶数阶反对称矩阵的所有元的代数余子式之和为 0. 例题 1.2.16 证明: ∆n = x a1 a2 · · · an−1 a1 x a2 · · · an−1 a1 a2 x · · · an−1 . . . . . . . . . . . . a1 a2 a3 · · · x = x + nX−1 k=1 ak ! nY−1 k=1 (x − ak). 提示把它看作关于 x 的多项式, 你是否能尝试找出所有的根呢? 行列式的计算题目纷繁复杂, 上面只能介绍基本的一些方法, 如何能够更加熟练, 还要靠自己多下功夫. §1.3 可逆矩阵与初等变换我们把方阵 A ∈ F n×n 的逆矩阵记作 A−1 , 满足 A−1A = AA−1 = In. 此时, 我们称 A 是可逆矩阵. 这样的话, 我们就可以理解前面所讲的 F n×n 是一个含幺环的原因了. 记 GLn(F) 为 F 上所有 n 阶可逆矩阵全体, 那么它是 F n×n 的单位群. 由于群中元素的逆是唯一的, 因此逆矩阵如果存在总是唯一的, 并且逆矩阵的逆矩阵是本身. 矩阵的逆是保持数乘的: (λA) −1 = λ −1A−1 ; 矩阵的逆也有穿脱原理: (AB) −1 = B−1A−1 ; 矩阵的逆和共轭、转置都是可交换的. 例题 1.3.1 已知 A 是方阵, Ak = 0. 证明:   k X−1 j=0 Aj j!   −1 = k X−1 j=0 (−1)jAj j! . 提示可以直接计算验证. 不过想想, 为什么是这种形式呢? 你是否能联想到某个函数的 Taylor 级数? 那么矩阵是否可以定义指数函数呢? 这些我们后面会讨论. 那么, 如何具体地计算逆矩阵呢? 定义 A 的伴随矩阵 A∗ =   A11 A21 · · · An1 A12 a22 · · · An2 . . . . . . . . . A1n A2n · · · Ann   , 其中 Aij 为 aij 的代数余子式. 容易发现: AA∗ = A∗A = |A|In, 因此 A−1 = 1 |A| A ∗ . 直接利用伴随矩阵的构造, 我们能够证明: A 可逆当且仅当 |A| 6= 0. 不仅如此, 结合逆矩阵的定义和例题 1.2.13, 我们还可以得到著名的 Cramer 法则: 设 A ∈ GLn(F), b ∈ F n×1 , 则线性方程组 Ax = b 存在唯一解 x = A−1 b, 满足 x 的第 k 个分量为 δk δ , 其中 δ = |A|, δk 为把 A 的第 k 列换成 b 的矩阵的行列式. 这个法则直观地给出了如何求解满秩方程组的算法, 从数值的角度来看, 它的运算复杂度为 O(n!), 这显然是不可接受的, 但是它具有深刻的理论意义. 例题 1.3.2 验证伴随矩阵的几条性质: (1) (λA) ∗ = λ n−1A∗ ; (2) (AB) ∗ = B∗A∗ ; (3) (A∗ ) ∗ = |A| n−2A. 称以下三种操作为对矩阵的初等行变换: (1) 交换第 i, j 行; (2) 把第 j 行的 λ 倍加到第 i 行; (3) 第 i 行乘以非零的 λ 倍. 易知, 上述情况分别相当于把下述矩阵乘到被操作矩阵的左侧: (1) Pij = In−Eii−Ejj+Eij+Eji, (2) Tij (λ) = In + λEij , (3) Di(λ) = In + (λ − 1F )Eii. 这些矩阵被称为初等矩阵. 通过转置可知, 初等列变换是相当于矩阵右侧乘以对应的初等矩阵, 这个规律被称为“行左列右”. 之所以定义初等变换的概念, 是因为这些变换正好对应我们求解线性方程组的必要操作: (1) 调整方程、变量位置; (2) 加减消元; (3) 乘以倍数. 这也是研究矩阵理论的重要原因之一. 而通过求解方程组的过程, 以及初等行 (列) 变换等价于在左 (右) 侧乘初等矩阵的结论, 我们能够总结出李炯生 118 页例 1 求逆矩阵的方法. 如

果把其中右侧的单位矩阵替换为一般矩阵，做类似操作之后，可以直接求解矩阵方程AX=B我们尝试研究分块矩阵的初等变换.给出几道例题：例题1.3.3(Schur公式)设AEGLm(F),BEFmxn,CEFnxm,DEFnxn.证明：AB=-|A|D-CA-BIJCDA-B例题1.3.4设A,BECnxn.证明：=A+iBA-iBBA李炯生118页例1建议大家仔细阅读，从中不难发现：任何可逆矩阵可以表示为有限个初等矩阵乘积对于一般的矩阵AEFmxn，我们允许你同时使用行、列初等变换，在有限次操作之后，总可以将A变换为(1.0)(1,0)的形状。定义r=rankA为矩阵A的秩，矩阵为A的相抵标准型.这里要解释一下所谓(00)00的相抵：设A,BEFmxn，称A与B相抵，如果存在PeGLm(F), QEGLn(F),使得B=PAQ(Ir0所谓相抵标准型，指的是所有的矩阵都可以唯一相抵与型矩阵，换句话说，相抵是一个等价关系，00它按照秩，把所有矩阵分成了若干等价类，同一等价类中的所有矩阵之间两两相抵。因此，两个矩阵相抵，当且仅当二者形状一样且秩相等，在第三章，大家还会接触到相似标准型的概念：请尝试证明如下几条秩的性质例题1.3.5矩阵的秩正好是它的所有非零子式的最高阶数.例题1.3.6AEFmxn，证明：rankA≤min[m,n).特别地，不等式取等时，我们称A是满秩的例题1.3.7AEFmxn，BEFnxp，证明：rank(AB)≤rankA.取等一定说明B满秩吗？(A0)≥rankA+rankB.特别地，当C=0时，不等式取等.例题1.3.8证明：rank(CB例题1.3.9证明：rank(A,B)≤rankA+rankB.例题1.3.10设AEFnxn，证明：(1)如果A满秩，则A*满秩；(2）如果rankA=n-1,则rankA*=l;(3)如果rankA≤n-2,则A*=0.例题1.3.11设AEFmxn，rankA=r.证明：存在两个满秩矩阵PEFmxrQEFrxn，使得A=PQ上述例题的证明只要使用秩的概念、初等变换即可，留给大家作为练习.例题1.3.11是满秩分解定理.下面介绍著名的Frobenius秩不等式：设AEFmxn，BEFnxp,CEFpxg,则rankAB+rankBC-rankB≤rankABC.大家可以尝试自己想一想证明方法，如果未能成功，请参考李炯生130页.令B=In，得到Sylvester秩不等式rankA+rankC-n≤rankAC上述两个秩不等式在一些秩不等式的证明题中会有巧妙的运用，此处不再赞述，秩不等式的证明，也需要大家花功夫做一些题目，来巩固提升自己对于秩的性质的运用能力在本节的最后，我们讨论一个重要的行列式恒等式，它是使用分块矩阵的初等变换证明的例题1.3.12设AEFmxn,BeFnxm,>eF.证明：^"det(^Im-AB)=)mdet(入In-BA)(ImA)提示仿照Schur公式的证明，对进行两种方式初等变换BIn例题1.3.12的结论如果灵活运用，在一些行列式的计算中会有简便许多

果把其中右侧的单位矩阵替换为一般矩阵, 做类似操作之后, 可以直接求解矩阵方程 AX = B. 我们尝试研究分块矩阵的初等变换. 给出几道例题: 例题 1.3.3 (Schur 公式) 设 A ∈ GLm(F), B ∈ F m×n, C ∈ F n×m, D ∈ F n×n. 证明: A B C D = |A||D − CA−1B|. 例题 1.3.4 设 A, B ∈ C n×n. 证明: A −B B A = |A + iB||A − iB|. 李炯生 118 页例 1 建议大家仔细阅读, 从中不难发现: 任何可逆矩阵可以表示为有限个初等矩阵乘积. 对于一般的矩阵 A ∈ F m×n  , 我们允许你同时使用行、列初等变换, 在有限次操作之后, 总可以将 A 变换为  Ir 0 0 0   的形状. 定义 r = rank A 为矩阵 A 的秩, 矩阵   Ir 0 0 0   为 A 的相抵标准型. 这里要解释一下所谓的相抵: 设 A, B ∈ F m×n, 称 A 与 B 相抵, 如果存在 P ∈ GLm(F), Q ∈ GLn(F), 使得 B = P AQ. 所谓相抵标准型, 指的是所有的矩阵都可以唯一相抵与   Ir 0 0 0   型矩阵, 换句话说, 相抵是一个等价关系, 它按照秩, 把所有矩阵分成了若干等价类, 同一等价类中的所有矩阵之间两两相抵. 因此, 两个矩阵相抵, 当且仅当二者形状一样且秩相等. 在第三章, 大家还会接触到相似标准型的概念. 请尝试证明如下几条秩的性质: 例题 1.3.5 矩阵的秩正好是它的所有非零子式的最高阶数. 例题 1.3.6 A ∈ F m×n, 证明: rank A ⩽ min{m, n}. 特别地, 不等式取等时, 我们称 A 是满秩的. 例题 1.3.7 A ∈ F m×n, B ∈ F n×p , 证明: rank(AB) ⩽ rank A. 取等一定说明 B 满秩吗? 例题 1.3.8 证明: rank   A 0 C B   ⩾ rank A + rank B. 特别地, 当 C = 0 时, 不等式取等. 例题 1.3.9 证明: rank(A, B) ⩽ rank A + rank B. 例题 1.3.10 设 A ∈ F n×n, 证明: (1) 如果 A 满秩, 则 A∗ 满秩; (2) 如果 rank A = n − 1, 则 rank A∗ = 1; (3) 如果 rank A ⩽ n − 2, 则 A∗ = 0. 例题 1.3.11 设 A ∈ F m×n, rank A = r. 证明: 存在两个满秩矩阵 P ∈ F m×r , Q ∈ F r×n, 使得 A = P Q. 上述例题的证明只要使用秩的概念、初等变换即可, 留给大家作为练习. 例题 1.3.11 是满秩分解定理. 下面介绍著名的 Frobenius 秩不等式: 设 A ∈ F m×n, B ∈ F n×p , C ∈ F p×q , 则 rank AB + rank BC − rank B ⩽ rank ABC. 大家可以尝试自己想一想证明方法, 如果未能成功, 请参考李炯生 130 页. 令 B = In, 得到 Sylvester 秩不等式: rank A + rank C − n ⩽ rank AC. 上述两个秩不等式在一些秩不等式的证明题中会有巧妙的运用, 此处不再赘述. 秩不等式的证明, 也需要大家花功夫做一些题目, 来巩固提升自己对于秩的性质的运用能力. 在本节的最后, 我们讨论一个重要的行列式恒等式, 它是使用分块矩阵的初等变换证明的. 例题 1.3.12 设 A ∈ F m×n, B ∈ F n×m, λ ∈ F. 证明: λ n det(λIm − AB) = λ m det(λIn − BA). 提示仿照 Schur 公式的证明, 对   Im A B In   进行两种方式初等变换. 例题 1.3.12 的结论如果灵活运用, 在一些行列式的计算中会有简便许多