解法：a0,上改m0 (⑥→0时，上0,9m上不定，取子列天=2则n→∞时 00 另取子列火 2m+号 →时02号 故m不存在。 注在求极限时，一看自变量的变化过程，二看函数的变化趋势，准确判断极限类型， 正确使用重要极限公式，充分利用有界量与无穷小的乘积仍为无穷小这一性质，对解题将大 有帮助。 例14求下列极限： 0: 1+sinx-cosx (2)画1+mm-C心m,其中p为常数且p+0: 分析极限若为号型，且含有三角函数或反三角函数，可尝试运用重要极限 tim sin1 解0帮法1运用面要凝限回兰1 in ins nsco) sinx.2sin -limx cosx 2 解法3运用洛必达法则，则 为-四子 -g四- 2x 错误解答X→0时。mx-m,故回=册-0. 错解分析错误原因在于错误地使用了等价代换.tanx-sinx并不与x-x等价，而是
解法 2 x → 时， 1 0 x → ． 1 1 sin x x ．故 1 1 lim sin x→ x x = 0 ． （6） x → 0 时， 1 x → ． 1 sin x 不定．取子列 1 2 n x n = ，则 n → 时 0 n x → ， 1 1 sin 0 n n x x = ． 另取子列 1 2 2 n y n = + ，则 n → 时， 0 n y → ， 1 1 sin 2 2 n n n y y = + → ． 故 0 1 1 lim sin x→ x x 不存在． 注 在求极限时，一看自变量的变化过程，二看函数的变化趋势，准确判断极限类型， 正确使用重要极限公式，充分利用有界量与无穷小的乘积仍为无穷小这一性质，对解题将大 有帮助． 例 14 求下列极限： （1） 3 0 tan sin lim x x x → x − ； （2） 0 1 sin cos lim 1 sin cos x x x → px px + − + − ，其中 p 为常数且 p 0 ； （3） 0 1 cos lim (1 cos ) x x x x → + − − ． 分析 极限若为 0 0 型，且含有三角函数或反三角函数，可尝试运用重要极限 0 sin lim 1 x x → x = ． 解 （1）解法 1 运用重要极限 0 sin lim 1 x x → x = ． 3 0 tan sin lim x x x → x − = 3 0 tan (1 cos ) lim x x x → x − = 2 3 0 sin 2sin 2 lim cos x x x → x x = 2 0 sin sin 1 2 lim ( ) 2cos 2 x x x → x x x = 1 2 ． 解法 2 3 0 tan sin lim x x x → x − = 3 0 tan (1 cos ) lim x x x → x − = 2 3 0 2 lim x x x → x = 1 2 ． 解法 3 运用洛必达法则，则 3 0 tan sin lim x x x → x − = 2 2 0 sec cos lim x 3 x x → x − = 3 2 2 0 1 cos lim 3 cos x x → x x − = 3 2 0 1 1 cos lim 3 x x → x − = 2 0 1 3cos ( sin ) lim 3 2 x x x → x − − = 2 0 1 cos sin lim 2 x x x → x = 1 2 ． 错误解答 x → 0 时， tan sin x x x ，故 3 0 tan sin lim x x x → x − = 3 0 lim x x x → x − = 0 ． 错解分析 错误原因在于错误地使用了等价代换． tan sin x x − 并不与 x x − 等价，而是
与号等价。在极限的和差运算中要慎重使用等价代换，一定要确保所做代换是等价代换。 2)解法1运用重要极限mx1。 sinx1-cosx 1+sinx-cosx +snm-cOsP“sm匹，-cosp匹 2sinx simpp+ px x -ling =1+0=1 sin匹 p+0 p 2 2 法2利用无穷小的等价换0时血一1-0X一 sinx 1-cosx 之，平 .m+细子 1+0=1 (px)p+0 p' 四受+烟子 解法3利用a-B-B=a+o(a). 由于当x→0时，X-snx,1-c0x-乏从而有 sinx)sin)-co) x+o(x)+5+o5) “m+om++o) p+,4p+00+0 ling 1+0+0+0-1
与 3 2 x 等价．在极限的和差运算中要慎重使用等价代换，一定要确保所做代换是等价代换． （2）解法 1 运用重要极限 0 sin lim 1 x x → x = ． 0 1 sin cos lim 1 sin cos x x x → px px + − + − = 0 sin 1 cos limx sin 1 cos x x x x px px x x → − + − + = 2 0 2 2sin sin 2 lim 2sin sin 2 x x x x x px px p px x → + + = 2 0 2 2 sin sin 2 ( ) 2 2 lim sin sin 2 ( ) 2 2 x x x x x x px px p x p px px → + + = 1 0 p 0 + + = 1 p ． 解法 2 利用无穷小的等价替换： x → 0 时， sin x x ， 2 1 cos 2 x − x ． 0 1 sin cos lim 1 sin cos x x x → px px + − + − = 0 sin 1 cos limx sin 1 cos x x x x px px x x → − + − + = 0 0 0 0 sin 1 cos lim lim sin 1 cos lim lim x x x x x x x x px px x x → → → → − + − + = 2 0 0 2 0 0 2 lim lim ( ) 2 lim lim x x x x x x x x px px x x → → → → + + = 1 0 p 0 + + = 1 p ． 解法 3 利用 = + o( ) ． 由于当 x → 0 时， x x sin ， 2 1 cos 2 x − x 从而有 sin ( ) x x o x = + ，sin ( ) px px o px = + ， 2 2 2 ( ) 1 cos ( ) 2 2 px p x − = + px o ． 0 1 sin cos lim 1 sin cos x x x → px px + − + − = 2 2 2 2 2 2 0 ( ) ( ) 2 2 lim ( ) ( ) 2 2 x x x x o x o p x p x px o px o → + + + + + + = 2 2 2 0 2 ( ) ( ) 2 1 2 lim ( ) ( ) 2 2 x x o o x x x x p x o o px p x p x x → + + + + + + = 1 0 0 0 1 p p 000 +++ = +++ ．