平面图 极大平面图 筒单平面图的性质 非平贡图 K氏定理 对偶图 平面图的染色 作型 00●0000， 0000 00000 0000 0000000 000000000 欧拉公式 定理4.1.1：设G路平面连通图，则G的域的数目路 d=m-n+2. 证明：G路连通图，有支撑树T,它包含n-1条边，不产生回路，殊此 对T来说只有一个无限域。 。由于G路平面图，每加入一条余树边，它一定不与其使边相交，也 就路说一定路跨在另个域内部，把该区域分成两部分。 。加入G的一”+1条余树边，就生成了m一1+2个域 0Q0 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第四章：平面图与图的着色 6/47
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平面图 极大平面图 筒单平面图的性质 非平贡图 K氏定理 对偶图 平面图的染色 作型 00●0000,0000 00000 0000 0000000 000000000 欧拉公式 定理4.1.1：设G是平面连通图，则G的域的数目是 d=m-n+2. 证明：G是连通图，有支撑树T,它包含n-1条边，不产生回路，因此 对T来说只有一个无限域。 。由于G是平面图，每加入一条余树边，它一定不与其他边相交，也 就是说一定是跨在某个域内部，把该区域分成两部分。 ●加入G的m-n+1条余树边，就生成了m-n+2个域。 0Q0 刘肚文（上海交大-CS实验到） 图论第四章：平面图与图的着色 6/47
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平面图 极大平面图 筒单平氯图的性质 非平贡图 K氏定理 对偶图 平面图的染色 作业 000●000， 0000 00000 0000 0000000 000000000 欧拉公式的一般形式 推论4.1.1：若平面图G有k个连通利，则 n-m+d=k+1. 证明：平面图G有个连通州，则可以找到k个撑树，共有一条边 这时只有一个无限域： 。图G除了k个州撑树外还有加一(？一条边： 。每州一一边，度的数日增加一个，放共有州一以一一1个度 阳=州一u一+1 一伊平面@0 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第四章：平面图与图的着色 7147
➨→ã ✹➀➨→ã ④ü➨→ã✛✺➓ ➎➨→ã K➻➼♥ éóã ➨→ã✛✴Ú ❾➆ î✳ú➟✛➌❸✴➟ íØ4.1.1➭❡➨→ãG❦k❻ëÏ⑤➜❑ n − m + d = k + 1. ②➨➭➨→ãG❦k❻ëÏ⑤➜❑➀➧é✔k❻⑤➔ä➜✁❦n − k❫❃➜ ù➒➄❦➌❻➹⑩➁➯ ãGØ✡k❻⑤➔ä✠❸❦m − (n − k)❫❃➯ ③❭➌❫❃➜➁✛ê✽❖❭➌❻➜✙✁❦m − (n − k) + 1❻➁✧ ❂d = m − (n − k) + 1✧ íØ4.1.2➭é➌❸➨→ãG➜ð❦n − m + d ≥ 2. ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♦Ù:➨→ã❺ã✛❳Ú 7 / 47
平面图 极大平面图 筒单平氯图的性质 非平贡图 K氏定理 对偶围 平面图的染色 作型 000重000.0000 00000 0000 0000000 000000000 欧拉公式的一般形式 推论4.1.1：若平面图G有k个连通支，则 n-m+d=k+1. 证明：平面图G有k个连通支，则可以找到k个支撑树，共有-k条边， 这时只有一个无限域： 0图G除了k个支撑树外还有m一（一条边 。每加一条边，域的数目增加一个，故共有m一(：一)+1个域 即d=m一u一)+1 一伊平面圆 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第四章：平面图与图的着色 7/47
➨→ã ✹➀➨→ã ④ü➨→ã✛✺➓ ➎➨→ã K➻➼♥ éóã ➨→ã✛✴Ú ❾➆ î✳ú➟✛➌❸✴➟ íØ4.1.1➭❡➨→ãG❦k❻ëÏ⑤➜❑ n − m + d = k + 1. ②➨➭➨→ãG❦k❻ëÏ⑤➜❑➀➧é✔k❻⑤➔ä➜✁❦n − k❫❃➜ ù➒➄❦➌❻➹⑩➁➯ ãGØ✡k❻⑤➔ä✠❸❦m − (n − k)❫❃➯ ③❭➌❫❃➜➁✛ê✽❖❭➌❻➜✙✁❦m − (n − k) + 1❻➁✧ ❂d = m − (n − k) + 1✧ íØ4.1.2➭é➌❸➨→ãG➜ð❦n − m + d ≥ 2. ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♦Ù:➨→ã❺ã✛❳Ú 7 / 47
平面图 极大平面图 筒单平面图的性质 非平贡图 K氏定理 对偶图 平面图的染色 作型 000重000.0000 00000 0000 0000000 000000000 欧拉公式的一般形式 推论4.1.1：若平面图G有k个连通支，则 n-m+d=k+1. 证明：平面图G有k个连通支，则可以找到k个支撑树，共有-k条边， 这时只有一个无限域： ●图G除了k个支撑树外还有m-(n-k)条边： 。每加一条边，域的数目增加一个，故共有m一：一)+1个域 即d=m一一)+1 准论4,12：对一股平面图G,恒有一+22，▣，·g,无，2， 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第四章：平面图与图的着色 7/47
➨→ã ✹➀➨→ã ④ü➨→ã✛✺➓ ➎➨→ã K➻➼♥ éóã ➨→ã✛✴Ú ❾➆ î✳ú➟✛➌❸✴➟ íØ4.1.1➭❡➨→ãG❦k❻ëÏ⑤➜❑ n − m + d = k + 1. ②➨➭➨→ãG❦k❻ëÏ⑤➜❑➀➧é✔k❻⑤➔ä➜✁❦n − k❫❃➜ ù➒➄❦➌❻➹⑩➁➯ ãGØ✡k❻⑤➔ä✠❸❦m − (n − k)❫❃➯ ③❭➌❫❃➜➁✛ê✽❖❭➌❻➜✙✁❦m − (n − k) + 1❻➁✧ ❂d = m − (n − k) + 1✧ íØ4.1.2➭é➌❸➨→ãG➜ð❦n − m + d ≥ 2. ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♦Ù:➨→ã❺ã✛❳Ú 7 / 47