平面图 极大平面图 筒单平面图的性质 非平贡图 K氏定理 对偶图 平面图的染色 作型 000重000.0000 00000 0000 0000000 000000000 欧拉公式的一般形式 推论4.1.1：若平面图G有k个连通支，则 n-m+d=k+1. 证明：平面图G有k个连通支，则可以找到k个支撑树，共有n-k条边， 这时只有一个无限域： ●图G除了k个支撑树外还有m-(n-k)条边： 。每加一条边，域的数目增加一个，故共有m-(n-)+1个域。 即d=m-(n-k)+1。 准论4.12：对一股平面图G,恒有一m+22,。,。,4,·=, 0a0 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第四章：平面图与图的着色 7/47
➨→ã ✹➀➨→ã ④ü➨→ã✛✺➓ ➎➨→ã K➻➼♥ éóã ➨→ã✛✴Ú ❾➆ î✳ú➟✛➌❸✴➟ íØ4.1.1➭❡➨→ãG❦k❻ëÏ⑤➜❑ n − m + d = k + 1. ②➨➭➨→ãG❦k❻ëÏ⑤➜❑➀➧é✔k❻⑤➔ä➜✁❦n − k❫❃➜ ù➒➄❦➌❻➹⑩➁➯ ãGØ✡k❻⑤➔ä✠❸❦m − (n − k)❫❃➯ ③❭➌❫❃➜➁✛ê✽❖❭➌❻➜✙✁❦m − (n − k) + 1❻➁✧ ❂d = m − (n − k) + 1✧ íØ4.1.2➭é➌❸➨→ãG➜ð❦n − m + d ≥ 2. ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♦Ù:➨→ã❺ã✛❳Ú 7 / 47
平面图 极大平面图 筒单平面图的性质 非平贡图 K氏定理 对偶图 平面图的染色 作型 000重000.0000 00000 0000 0000000 000000000 欧拉公式的一般形式 推论4.1.1：若平面图G有k个连通支，则 n-m+d=k+1. 证明：平面图G有k个连通支，则可以找到k个支撑树，共有-k条边， 这时只有一个无限域： ●图G除了k个支撑树外还有m-(n-k)条边： ●每加一条边，域的数目增加一个，故共有m-(n-+1个域。 即d=m-(n-k)+1o 推论4.1.2：对一般平面图G,恒有n-m+d≥2.。，g,,=, 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第四章：平面图田的着色 7/47
➨→ã ✹➀➨→ã ④ü➨→ã✛✺➓ ➎➨→ã K➻➼♥ éóã ➨→ã✛✴Ú ❾➆ î✳ú➟✛➌❸✴➟ íØ4.1.1➭❡➨→ãG❦k❻ëÏ⑤➜❑ n − m + d = k + 1. ②➨➭➨→ãG❦k❻ëÏ⑤➜❑➀➧é✔k❻⑤➔ä➜✁❦n − k❫❃➜ ù➒➄❦➌❻➹⑩➁➯ ãGØ✡k❻⑤➔ä✠❸❦m − (n − k)❫❃➯ ③❭➌❫❃➜➁✛ê✽❖❭➌❻➜✙✁❦m − (n − k) + 1❻➁✧ ❂d = m − (n − k) + 1✧ íØ4.1.2➭é➌❸➨→ãG➜ð❦n − m + d ≥ 2. ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♦Ù:➨→ã❺ã✛❳Ú 7 / 47
平面图 极大平面图 筒单平氯图的性质 非平面图 K氏定理 对偶图 平需图的染色 作亚 0000●00 0000 00000 0000 0000000 000000000 平面图的性质 引理4.1.2：平面图G(无论连通与否)的每个域的边界数至少是1，则 td≤2m. 证明：设G有个区域，每个域的边界数至少是设这个域的边界数 分别为，2，，a,则之行=1,2-0 。设G中有条割边 每条边界部与两个不同的反相都 国此+一+/2是G中的边界名数 刘胜利（上海交大-Cs实闷 图论第四章：平面图与图的着色 8/47
➨→ã ✹➀➨→ã ④ü➨→ã✛✺➓ ➎➨→ã K➻➼♥ éóã ➨→ã✛✴Ú ❾➆ ➨→ã✛✺➓ Ú♥4.1.2➭➨→ãG(➹ØëÏ❺➘)✛③❻➁✛❃✳ê➊✟➫t➜❑ td ≤ 2m. ②➨➭ ✗G❦d❻➠➁➜③❻➁✛❃✳ê➊✟➫t➭✗ùd❻➁✛❃✳ê ➞❖➃t1, t2, · · · , td➜❑ti ≥ t(i = 1, 2, · · · d)✧ ✗G➙❦w❫⑧❃✧ ③❫❃✳Ñ❺ü❻ØÓ✛➁❷✙✧ Ï❞(t1 + t2 + · · · + td)/2➫G➙✛❃✳♦ê✧ ❑m = w + (t1 + t2 + · · · + td)/2✚✔2m ≥ 2w + td➜↕➧2m ≥ td✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♦Ù:➨→ã❺ã✛❳Ú 8 / 47
平面图 极大平面图 筒单平面图的性质 非平贡图 K氏定理 对偶图 平面图的染色 作亚 0000●000000 00000 0000 0000000 000000000 平面图的性质 引理4.1.2：平面图G(无论连通与否)的每个域的边界数至验是1，则 td≤2m. 证平：设G有d个区域，每个域的边界数至验是1：设这d个域的边界数 分别为t1,2,…,td,则t≥t(i=1,2,…d)如 。设G中有条割边 。每条边界都与两个世同的域相邻 因此(1+位++)/2是G中的边界总数 刘肚利（上海交大-CS实验到 图论第四章：平面图与图的着色 8/47
➨→ã ✹➀➨→ã ④ü➨→ã✛✺➓ ➎➨→ã K➻➼♥ éóã ➨→ã✛✴Ú ❾➆ ➨→ã✛✺➓ Ú♥4.1.2➭➨→ãG(➹ØëÏ❺➘)✛③❻➁✛❃✳ê➊✟➫t➜❑ td ≤ 2m. ②➨➭ ✗G❦d❻➠➁➜③❻➁✛❃✳ê➊✟➫t➭✗ùd❻➁✛❃✳ê ➞❖➃t1, t2, · · · , td➜❑ti ≥ t(i = 1, 2, · · · d)✧ ✗G➙❦w❫⑧❃✧ ③❫❃✳Ñ❺ü❻ØÓ✛➁❷✙✧ Ï❞(t1 + t2 + · · · + td)/2➫G➙✛❃✳♦ê✧ ❑m = w + (t1 + t2 + · · · + td)/2✚✔2m ≥ 2w + td➜↕➧2m ≥ td✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♦Ù:➨→ã❺ã✛❳Ú 8 / 47
平面图 极大平面图 筒单平面图的性质 非平贡图 K氏定理 对偶图 平面图的染色 作亚 0000●000000 00000 0000 0000000 000000000 平面图的性质 引理4.1.2：平面图G(无论连通与否)的每个域的边界数至少是1，则 td≤2m. 证明：设G有d个区域，每个域的边界数至少是1：设这d个域的边界数 分别为11,2，…，td,则t≥(i=1,2,…d)。 ●设G中有w条割边。 。每条边界都：两个不同的域相部 床此(1+但+·：+)/2是G中的边界总数 。则m=w+11+12+·+)/2得到2m之2w+1山所以2m之1d 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第四章：平面图与图的着色 8/47
➨→ã ✹➀➨→ã ④ü➨→ã✛✺➓ ➎➨→ã K➻➼♥ éóã ➨→ã✛✴Ú ❾➆ ➨→ã✛✺➓ Ú♥4.1.2➭➨→ãG(➹ØëÏ❺➘)✛③❻➁✛❃✳ê➊✟➫t➜❑ td ≤ 2m. ②➨➭ ✗G❦d❻➠➁➜③❻➁✛❃✳ê➊✟➫t➭✗ùd❻➁✛❃✳ê ➞❖➃t1, t2, · · · , td➜❑ti ≥ t(i = 1, 2, · · · d)✧ ✗G➙❦w❫⑧❃✧ ③❫❃✳Ñ❺ü❻ØÓ✛➁❷✙✧ Ï❞(t1 + t2 + · · · + td)/2➫G➙✛❃✳♦ê✧ ❑m = w + (t1 + t2 + · · · + td)/2✚✔2m ≥ 2w + td➜↕➧2m ≥ td✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♦Ù:➨→ã❺ã✛❳Ú 8 / 47