例5设3阶矩阵A的特征值为1,-1,2,求A+34-2E 解因为A的特征值都不为零,知A可逆,故 4=423=1×(-1)×2=-2 所以A+3A-2E=-2A-1+3A-2E 把上式记作p(A),则(4) 2 +3-2 故p(A)的特征值为: (1)=-1,q(-1)=-3(2)=3 于是 A+3A-2E=-1×(-3)×3=9
的特征值都不为零，知 可逆，故 例5 设3阶矩阵 A 的特征值为 1, 1,2 − ,求 ． * A A E + − 3 2 解 因为 A A * 1 A A A− = .而 1 2 3 A = = − = − 1 ( 1) 2 2 所以 * 1 A A E A A E 3 2 2 3 2 − + − = − + − 把上式记作 ( ) A ，则 2 ( ) 3 2 = − + − 故 ( ) A 的特征值为： (1) 1, ( 1) 3, (2) 3 = − − = − = 于是 * A A E + − = − − = 3 2 1 ( 3) 3 9
5.1.3特征向量的性质 性质1设是方阵A的一个特征值,x为对应的特征 向量若又有数,Ax=Ax,则A= 性质2设λ,2…是方阵A的互不相同的特征值,x 是对应于(=1,2…,m)的特征向量,则向量组 x2x2…,xn线性无关 即对应于互不相同特征值的特征向量线性无关
的互不相同的特征值， 5.1.3特征向量的性质 性质1 设 是方阵 A 的一个特征值， x 为对应的特征 向量,若又有数 , Ax x = ，则 = ; ． 性质2 设 1 2 , , , m 是方阵 A i x 是对应于 i ( 1,2, , ) i m = 的特征向量 ,则向量组 1 2 , , , m x x x 即对应于互不相同特征值的特征向量线性无关． 线性无关．
5.2相似矩阵 52.1相似矩阵的概念 定义2设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P使 P-lAP=B,则称B是A的相似矩阵,或称方阵 A与B相似,记作A=B 如A B P 有 07 PAP=B,从而A=B 即 52)(07
的相似矩阵，或称方阵 5.2 相似矩阵 定义2 设 A B, 都是 n 阶方阵，若有可逆矩阵 P ,使 1 P AP B − = ,则称 B 是 A A 与 B 相似，记作 A B. ． 3 4 2 0 4 1 , , 5 2 0 7 5 1 A B P − − = = = ，有 1 P AP B − = ，从而 A B ． 即 3 4 2 0 5 2 0 7 − ． 如 5.2.1 相似矩阵的概念
5.22相似矩阵的性质 性质1A=A(因为A=EAE) 性质2若A=B,则B=A 性质3若A=B,B=C,则A=C 性质4相似矩阵有相同的特征多项式,从而所有的特征 值都相同; 性质5设PAP=B是A与B的某个特征值,若x是 A的对应于的特征向量,则Px是B的对应于 λ的特征向量
的对应于 是 与 的某个特征值，若 5.2.2相似矩阵的性质 性质1 A A （因为 ; 1 A E AE) − = 性质2 若 A B, 则 B A; 性质3 若 A B B C , , 则 A C; 性质4 相似矩阵有相同的特征多项式,从而所有的特征 值都相同； 性质5 设 1 P AP B, − = 是 A B x 是 A 的特征向量，则 1 P − x B 的对应于 的特征向量．