中国水利水电出版社：《线性代数》课程讲稿（PPT课件）第05章 相似矩阵

对于特征值λ2=3,解方程(4-3E)x=0,由 A-3E= 得同解方程组 x 通解为 C2∈ X 基础解系为与2= 所以对应于A1=1的全部特征向量为 C,≠ 292(-2

对于特征值 2  = 3, 解方程 ( 3 ) A E − = x 0 ,由 得同解方程组 1 2 2 2 x x x x  = −   = 1 2 2 2 1 ( ) 1 x c c R x     −   =    通解为     一基础解系为 2 1 1   − =      所以对应于 1  =1 的全部特征向量为 2 2 2 c c  ( 0)  1 1 1 1 3 1 1 0 0 A E     − − − = →         − −

例3求矩阵4-1430的特征值与特征向量 1-21 1-元1 解|-E= 3- 00= (2-2) 43=(2-M1-x) 02 所以A有2重特征值4=2=1,有单特征值4=2 对于特征值λ1=2=1,解方程(4-E)x=0由 210 X A-E=-420→012得同解方程组1x2=-2x3 000 X=X 故得通解|x=c-2(G∈R)所以对应于特征值==1 的全部特征向量为c5=c(12-2)(≠0)

例3 求矩阵 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A   −   = −      的特征值与特征向量． 解 2 1 1 0 1 1 4 3 0 (2 ) (2 )(1 ) 4 3 1 0 2 A E          − − − − − = − − = − = − − − − − 所以 A 有2重特征值 1 2   = =1 ，有单特征值 3  = 2 对于特征值 1 2   = =1 ，解方程 ( ) A E− = x 0 2 1 0 1 0 1 4 2 0 0 1 2 1 0 1 0 0 0 A E     −     − = − →             ， 得同解方程组 1 3 2 3 3 3 2 x x x x x x  = −   = −   = 故得通解 1 2 1 1 3 1 2 ( ) 1 x x c c R x     −     = −              所以对应于特征值 1 2   = =1 的全部特征向量为 ( ) T 1 1 1 1 c c c  = −  1 2 2 ( 0) 由

对于特征值 解方程(4-2BX=图 310 100 A-2E=410→010 000 x1 x1 得同解方程组{x2=0故得通解x2|=c0(a∈R) x3 对应于特征值3=2的全部特征向量为 0 2=0(c2≠0)

对于特征值 3  = 2 ，解方程 ( 2 ) A E − = x 0 . 由 3 1 0 1 0 0 2 4 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 A E     −     − = − →             得同解方程组 1 2 3 3 0 0 x x x x  =   =   = 故得通解 1 2 2 2 3 0 0 ( ) 1 x x c c R x         =              对应于特征值 的全部特征向量为 2 2 2 0 0 ( 0) 1 c c     =        

51.2特征值的性质 性质1若阶方阵A=(an)的全部特征值为42 (k重特征值算作k个特征值)则: (1)+2+…+n=a1+a2+…+am (2)2…=|4 性质2设九是可逆方阵A的一个特征值,x为对应的特征 向量,且2≠0则是A1的一个特征值,x为对应 特征向量;

重特征值算作 阶方阵 是可逆方阵 5.1.2 特征值的性质 性质1 若 n ( ) A a = i j 的全部特征值为 1 2 , , ,   n （ k k 个特征值）则： 1 2 11 22 (1) , n nn    + + + = + + + a a a 1 2 (2) ;   n = A 性质2 设  A 的一个特征值， x 为对应的特征   0 1  是 1 A − 向量, 且 则 的一个特征值， x 为对应 特征向量;

性质3设元是方阵A的一个特征值,x为对应的特征 向量,n是一个正整数,则观”是的一个特征值, x为对应特征向量; 性质4设九是方阵A的一个特征值,x为对应的特征 向量,若p(4)=anE+a1A+…+anA 则0()=a+a+…+a,是q(4)的一个特征值, x为对应特征向量;

性质3 设  是方阵 A 的一个特征值， x 为对应的特征 n  是 n A 的一个特征值， x 为对应特征向量; 向量, n 是一个正整数, 则 性质4 设  是方阵 A 的一个特征值， x 为对应的特征 ( ) 0 1 是 n n     = + + + a a a 的一个特征值， x 为对应特征向量; 向量, 若 则 0 1 ( ) n  A a E a A a A = + + + n ( ) A