212设C为一集类,则对任何A∈m(C),存在B∈C,使得 B3A(提示:令9表示具有所说性质的集合A全体,证明9为 单调类) 213设C为一集类,则下列二条件等价: 1)A(C)=m(C); (2)A∈C→m(C);A,B∈C,A∩B=0→AUB∈m(C) 214设C为一集类.如果 A,B∈C→AUB∈C, 则有入(C)=(C)(提示:利用习题1.14) §3测度与非负集函数 学过实分析的人都知道: Lebesgue测度是线段长度概念的延 伸(或更一般地,是欧氏空间中面积或体积概念的延伸)下面我 们将要引入的测度概念则是 Lebesgue测度的抽象化 31定义设于为92上的一a-代数,称序偶(2,)为 可测空间,F中的元称为F可测集.设为定义于F取值于 R+=[0,o]的函数.如果山(0)=0且μ有可数可加性或a-可 加性,即 An∈Fn≥1,An∩Am=,n≠m→ (∑A)=∑似An), n=1 则称μ为9上的(或(2,F)上的)测度 设μ为可测空间(9,F)上的测度,称三元组(32,F,)为测 度空间.若山(92)<∞,则称为有限测度,并称(2,F,1)为有限 测度空间.若(2)=1,则称为概率测度,并称(3,,1)为概 率空间.若存在An∈,n≥1,使得∪nAn=92且使p(An)<∞ 对一切n≥1成立(由15知,可取(An)为9的一个划分)则称 μ为a有限测度,并称(9,F,μ为a-有限测度空间
设(9,,1)为一测度空间.若A∈,且(A)=0,称A为 零测集.如果任何μ零测集的子集皆属于称厂关于是完 备的,称(2,F,1)为完备测度空间 为了下节研究测度的扩张的需要,我们引进一般的非负集函 数的概念.设C为任一集类.定义于C取值于R+的函数称为C 上的非负集函数.在下面的定义叙述中,我们总约定￠∈C,且非 负集函数μ满足(0)=0及单调性 A,B∈C,ACB→μ(A)≤μ(B) 32定义设为C上非负集函数 (1)称H为有限可加的,如果对一切n≥2, A;∈n1≤i≤n,A∈c→∑A)=∑(A (2)称为a可加的,如果 ∈c,12,∑A∈C→(∑A)=∑(4 (3)称为半σ可加的,如果 A∈c;A∈c,i≥1,且Ac∪A2→(A)≤∑(A1) (4)称μ从下连续,如果 An∈C,An↑A∈C→(A)=limp(An) n→ 5)称μ从上连续,如果 An∈C,An↓A∈C且μ(A1)<00→(A)=lim(An)
(6)称μ在6处连续,如果 An∈C,An↓,且(A1)<∞→lim(An)=0. 7)称μ在C上有限,如果对一切A∈C,有(A)<∞ (8)称在C上口有限如果对任一A∈C,存在An∈C,n≥1, 使得 ACUAn,且(An)<∞对一切n成立 这些概念都是可以“顾名思义”的,读者很容易记住它们 下一定理概括了测度的最基本性质 33定理设μ为可测空间()上一测度,则μ从下连续 且从上连续(从而也在处连续).此外,μ有单调性及如下的可 减性 A,B∈J,ACB,且μ(B)<∞→风(B\A)=p(B)-H(A) 证单调性及可减性是显然的由可减性及从下连续性立刻推 得从上连续性,只需证μ的从下连续性.设An∈F,m≥1,An↑A. 为证lim(An)=(A),不妨设Ⅶn≥1,有(An)<∞o,则有 n→ μ(An+1\An)=瓜(An+1)-队(An) 由于A=U2An=A1U∑=1(An+1\An),故有 H(4)=以(A1)+∑(A (An川=limμ(An) 几→ 下一定理推广了定理33的结论 34定理设C为一代数,μ为C上的一有限可加非负集函 数,则μ有单调性及可减性.此外,μ为σ可加台从下连续 →μ从上连续→H在⑩处连续.若进一步(9)<∞,则上述诸 条件等价
证设μ从下连续,往证μ为a-可加的.令An∈C,n≥1, 且∑A=1An∈C,则Bn=∑m=1An∈C,且Bn↑∑m1An,于是 由的有限可加性及从下连续性得 (∑A)=m(∑4)=im∑HAn)=∑(A) 1 这表明μ有σ可加性.其余结论显然(参见上一定理的证明 下一引理将使我们在许多场合把与a-有限测度有关的问题归 结为与概率测度有关的问题 35引理设μ为可测空间(32,)上的一a有限测度.若 (92)>0,令{An,n≥1}为9的一个可数划分,使得Ⅵm,An∈F, 且0<μ(An)<∞,置 u(A)= ∑ μ(A∩A u(A A∈F, 则以为(g2,万)上的一概率测度,此外有v(A)=0兮风(A)=0,并 且对任何A∈F,有 (4)=∑2(A∩A)(A (32) 证只需证(32,其余结论显然.在(31)中令A∩Am代替 A,得 (AnAm)=L(AnAm 2mu(Am) 由此立得(32) 习题 36设μ为半环C上的一有限可加非负函数,则μ有单调性 及可减性·此外,设An∈C,n21,A∈c,且∑ An CA,则有 m=11(An)≤(A)
37设(,<)为一定向集,(u1,i∈D)为a-代数F上的一族 测度,满足j→≤令 (A)=supH(A),A∈F, 则μ为厂上的测度 38设(2,,1)为一测度空间,μ(92)<∞,C为生成F的 个代数,则对任何A∈,我们有 H(A)=sup{μ(B):B∈C6,BcA}=inf{μ(B):B∈C,B>A} (提示:令9表示厂中使上式成立的集A全体,证明g为单调 类,再利用单调类定理) 39设(2,F,山)为一有限测度空间,C为生成F的一个代 数.若A∈F,则ve>0,存在B∈c,使得山(A△B)<e(提示: 利用习题38) §4外测度与测度的扩张 本节研究如何把一半环C上的一a-可加非负集函数扩张成 为a-代数a(C)上的测度,通常采用的方法是外测度方法 41定义令A(92)表示!的所有子集(包括空集)所构成的 集类,设μ为A(3)上的一非负集函数(约定(0)=0).如果μ满 足如下的次σ-可加性 AnC92n21→(UA)≤∑(An, 则称μ为9上的一外测度 下一定理是测度扩张的基础 42定理设为9上的一外测度.令 L={Acs:VDc9,有山(D)=μ(AnD)+μ(A°∩D)},(4.1)