(3)称C为半代数,如果它是半环,且∈C (4)称C为代数(或域),如果它对有限交及取余集运算封闭 (由此推知9∈C,0∈C,且C对有限并及差运算封闭) (5)称C为a代数,如果它对可列交及取余集运算封闭(由此 推知C对可列并及差运算封闭,且9∈C,0∈C (6)称C为单调类,如果它对单调序列极限封闭(即An∈ C,n≥1,An↑A或An↓A→A∈C (7)称C为类,如果它满足下列条件 (i)g∈C; (i)A,B∈C,BCA→A\B∈C; i)An∈C,n≥1,An↑A→A∈C 易知:σ-代数为入类,入类为单调类 19例设R为实直线(即丑=(-∞,∞)),令 C1={(-∞,]:a∈B},C2={(a,∞):a∈政}, C3={(a,刮:a≤b,a,b∈政}, 则C1,C2及C3为丌类,C1UC2UC3为半环,C1UC2UC3∪{B} 为半代数 习题 110(A△B)△C=A△(B△C, (A△B)nC=(AnC)△(B∩C) (A1UA2)△(B1UB2)c(A1△B1)U(A2△B2) 1.11(lim inf An) n(lim sup Bn)C limsup(AnnBn t→。 112对可列不交并封闭的代数为a-代数 113若C同时为代数和单调类或同时为丌类和入类,则C 为a-代数 114设C为半代数,则Cx∫为代数 115入类定义中的条件(i)及(i)等价于如下二条件:
(i)′A∈C→Ac∈C; i)A,B∈C,A∩B=0→AUB∈C. 1.16设C为一集类,且∈C,令 A;】∩ m,m≥1,A,B;∈C, 1<讠< 则gC,且9为半环.特别若C对有限并及有限交封闭,则 A∩Bc:A,B∈C}为半环 §2单调类定理(集合形式) 设{C::讠∈Ⅰ为9上一族集类,若每个集类C;对某种集 合运算封闭,则其交∩1C;亦然.于是对9上的任一非空集类C 存在包含C的最小a-代数、最小入类和最小单调类,我们分别 称之为由C生成的a-代数、类和单调类,并分别用a(C),A(C)和 m(C)记之,我们恒有m(C)cA(C)co(C).本节主要研究在什么 条件下有m(C)=a(C)或(C)=0(C) 21定理设C为一集类. (1)若C为代数,则m(C)=σ(C) (2)若C为一丌-类,则入(C)=a(C) 证(1)令 G1={A∈m(C):A∈m(),A∩B∈m(C),VB∈C}, 则Cc91,且1为单调类,故g1=m(C).令 g2={A∈m(C):AnB∈m(C),VB∈m(C)} 则由上所证91=m(C)知,Cc92.但92为单调类,故92=m(C 综上所证,我们有 A∈m(C)→A∈m(C);A,B∈m(C)→A∩B∈m(C), 5
即m(C)为一代数,从而m(C)为σ-代数(习题113),因此有 m(C)0().但相反的包含关系恒成立,故最终有mn(C)=0(C) (2)的证明类似,请读者自行完成 此定理称为单调类定理.它表明:为验证某σ-代数F中元 素有某种性质,只需验证:(1)有一生成F的代数(丌-类)C,其元 素有该性质;(2)有该性质的集合全体构成一单调类(相应地,入 类).而这后二者的验证往往比较容易.单调类定理是测度论中的 一个重要的证明工具.今后我们将陆续给出它的应用 作为定理21的一个简单推论,我们有单调类定理的如下更 有用的形式 22定理设C,F为两个集类,且CCF (1)若C为代数,且厂为单调类,则o(C)c; (2)若C为丌-类且厂为类,则σ(C)C 现在我们着手推广定理21,即寻找使m(C)=(C)或λ(C) (C)的充要条件.细心的读者可能已经看出:在定理21(1)的证 明中,只要C满足 A∈C→A°∈m(C);A,B∈C→A∩B∈m(C), 则定理结论仍成立.于是我们得到定理21的下述推广 23定理设C为一集类 (1)为要m(C)=0(C),必须且只需 A∈C→A°∈m(C);A,B∈C→A∩B∈m(C) (2)为要A(C)=o(C),必须且只需: A,B∈C→A∩B∈)(C) 由此定理,我们还可推得如下的 24定理设C为一集类 (1)为要m(C)=o(C),必须且只需: A∈C→A°∈m(C);A,B∈C→AUB∈m(C)
(2)为要A(C)=a(C),必须且只需: A,B∈C→AUB∈A(C 证令D={A°:A∈C},则由定理23,分别在(1)及 (2)的条件下推得m(D)=0(D)及A(D)=0(D).我们分别有 m(D)cm(C)(因Dcm()及A(D)=入(C)(请读者自行验证,故 定理中条件的充分性得证.条件的必要性是显然的 上述两个定理过于一般,实际难于应用,但它们的下述推论 是有用的(例如见下面的例26及定理63).需要指出:如果不首 先建立定理23及24,那么是不易发现定理25的 25定理设C为一集类若它满足下列条件之一,则有m(C) c (1)A,B∈C→A∩B∈C,A∈C→A∈C (2)A,B∈C→AUB∈C,A∈C→Ac∈Ca (关于记号C及C见1.6) 证若C对有限交封闭,则CCm(C;若C对有限并封闭, 则CCm(C).因此条件(1)及(2)分别蕴含定理23及24的(1) 中条件,定理得证 26例设X为一距离空间,F表示X中闭集全体,9表示 X中开集全体.显然有o(F)=o(9),我们称它为X的 Borel o-代 数,记为B(X)显然9及F分别满足定理25的条件(1)及(2),于 是我们有m(F)=m(9)=B(X)但这一结果并不能从定理21推 得.由此可见,我们将经典的单调类定理进行推广是有意义的 作为本节的结束,我们引进可分a-代数及原子概念 27定义设F为一σ-代数.称厂为可分的(或可数生成 的),如果存在F的一可数子类C,使得a(C)=f 注意:可分a代数的元素未必是可数多个 由习题116及114易知:若F可分,则存在一代数C,其元 素个数至多可数,使得o(C)=F
28定义设厂为上的一σ-代数.对任一∈g,令 ={B∈F:∈B},Au)=∩B, B∈ 称A(u)为含的原子 请读者证明下述结论: (1)设,u∈9则或者A()=A(u),或者A(u)nA()=0; (2)设F可分,C为生成F的可数代数.对任何w∈9,令 C={B∈C:∈B},则有 A)=∩B B∈c 习题 29设C为9上的一集类,AC9.令 AnC={AnB:B∈C} 这一记号以后常用到),并用OA(A∩C)表示A∩c(视为A上集类) 在A上生成的a-代数,则有 A(A∩C)=A∩o(C) 对m(C)、入(C)亦有类似结果 210设F为9上的一0代数,C={A1,A2,…}为92的 个可数划分(即An∩Am=0,n≠m,∑nAn=2),则对任何 B∈a(F∪C),存在Bn∈,n=1,2,…,使得 B=∑(Bn∩An) 211设C为一集类.则对任何A∈o(C),存在C的可数子类 D,使得A∈a(D). 8