因此m=0,±1,±2,,,,±1,m称为磁量子数 表5.1Φ方程的解 复函数解 实函数解 <p(io) Φ1(中) √z exp(-io) cos,Φ1(9 n 2Φ2(中)=-=ex(2p) Φ2() 2p,Φ2() 2,中2(y) 本表列出的是当磁量子数取0、士1和士2值时,Φ方程的复函数解和实函数解。当m 为0时Φ函数为常数与中无关。 (2)⊙方程的解 l(+1) ⊙方程可整理成联带勒让德( Legendre)方程,采用级数解法,只有1取值为0,1,2, 及其他正整数时才有收敛的解。1称为角量子数,1必须≥|m|。e方程的解也称e 函数,它的形式由角量子数和磁量子数共同决定。 1=0,1,2,.,1≥|m|时才有收敛的解。 1称为角量子数
6 因此 m＝0，±1，±2，...±l, m 称为磁量子数。 表 5.1 Φ方程的解 m 复函数解 实函数解 0 0 ( ) 1 2 = 0 ( ) 1 2 = 1 1 ( ) 1 exp( ) 2 i = 1 ( ) 1 cos = ， 1 ( ) 1 sin = -1 1 ( ) 1 exp( ) 2 i = − − | 1|( ) 1 cos = − ， | 1|( ) 1 sin = − 2 2 ( ) 1 exp( 2 ) 2 i = 2 ( ) 1 cos 2 = ， 2 ( ) 1 sin 2 = -2 2 ( ) 1 exp( 2 ) 2 i = − − | 2|( ) 1 cos 2 = − ， | 2|( ) 1 sin 2 = − 本表列出的是当磁量子数取 0、±1 和±2 值时，Φ方程的复函数解和实函数解。当 m 为 0 时Φ函数为常数与 φ 无关。 (2) Θ方程的解 ( 1) sin sin sin 1 2 2 + = + − l l m d d d d Θ方程可整理成联带勒让德(Legendre)方程，采用级数解法，只有 l 取值为 0，1，2， 及其他正整数时才有收敛的解。l 称为角量子数，l 必须≥│m│。Θ方程的解也称Θ 函数，它的形式由角量子数和磁量子数共同决定。 l＝0，1，2，...， l≥│m│时才有收敛的解。 l 称为角量子数
表5.2⊙L.(0)函数 ⊙00(6) √2 √6 6 O20(6) √0 ±1 O24(0)=sin 8 cos 30(6) s20 4 O31(6)= B(5c0s20-1) O32() ±3 O3±3(6) 8 表中列出了1取值0,1,2和3时的⊙函数。可见当1值确定时,m还可以有不同的 取值,相应⊙函数也有不同的形式。需要注意的是当1和m均取0时,⊙函数为常数 与0无关 (3)R方程的解
7 表 5.2 Θl,m(θ)函数 L M Θl,m(θ) 0 0 0,0 1 ( ) 2 = 1 0 1,0 6 ( ) cos 2 = ±1 1, 1 3 ( ) sin 2 = 2 0 2 2,0 10 ( ) (3cos 1) 4 = − ±1 2, 1 15 ( ) sin cos 2 = ±2 2 2, 2 15 ( ) sin 4 = 3 0 2 3,0 3 14 5 ( ) ( cos cos ) 4 3 = − ±1 2 3, 1 42 ( ) sin (5cos 1) 8 = − ±2 2 3, 2 105 ( ) sin cos 4 = ±3 3 3, 3 70 ( ) sin 8 = 表中列出了 l 取值 0，1，2 和 3 时的Θ函数。可见当 l 值确定时，m 还可以有不同的 取值，相应Θ函数也有不同的形式。需要注意的是当 l 和 m 均取 0 时，Θ函数为常数 与 θ 无关。 (3) R 方程的解
) R (E-1)R=l(+1) R方程是联带拉盖尔( Laguerre)方程,R方程的解称为R函数也叫作联带拉盖尔函数。 R函数有收敛解的条件是n=1,2,3,.n必须≥1+1。我们将n称为主量子数 体系的能量也为与n有关的确定值。R函数由主量子数和角量子数共同决定,其解析式 是r的多项式,因此也称为径向波函数。 E h 表5.3R1(r)函数,p=2Zr/na R。()=2 R2)=4) (2-p)exp R21()= A23 %)(6-6p+p)exp(-2 R31(r)= 9√6 R32(r) 30(a 2 表中列出了n=1、2和3时的R函数。表中常数a是第一玻尔(Bohr)轨道半径,简称 h2 玻尔半径:a、=4丌p 52.9
8 2 2 2 2 ( ) ( 1) 1 2 r R E V R l l dr dR r dr d r + − = + R方程是联带拉盖尔(Laguerre)方程，R方程的解称为 R函数也叫作联带拉盖尔函数。 R 函数有收敛解的条件是 n＝1，2，3，... n 必须≥l＋1。我们将 n 称为主量子数。 体系的能量也为与 n 有关的确定值。R 函数由主量子数和角量子数共同决定,其解析式 是 r 的多项式，因此也称为径向波函数。 4 2 2 2 2 8 0 e Z E h n = − 表 5.3 Rn,l(r)函数，ρ＝2Zr/na0 表中列出了 n＝1、2 和 3 时的 R 函数。表中常数 a0是第一玻尔(Bohr)轨道半径，简称 玻尔半径: 2 0 2 2 52.9 4 e h a pm = = N L Rn,l(r) 1 0 3 2 1,0 0 ( ) 2 exp 2 Z R r a = − 2 0 1 3 2 2,0 0 1 ( ) (2 )exp 8 2 Z R r a = − − 3 2 2,1 0 1 ( ) exp 24 2 Z R r a = − 3 0 1 2 3 2 2 3,0 0 1 ( ) (6 6 )exp 243 2 Z R r a = − + − 3 2 2 3,1 0 1 ( ) (4 )exp 9 6 2 Z R r a = − − 3 2 2 3,2 0 1 ( ) exp 9 30 2 Z R r a = −