例413求解两阶差分方程+2+y=t 解对应齐次方程的特征方程为x2+1=0其特征根为 12=土,对应齐次方程的通解为y ECr CoOS-t+C, sin-t 原方程有形如at+的特解。代入原方程求得 故原方程的通解为C,cost+C, sin-t+1t 在应用差分方程研究问题时,一般不需要求出方程的通解, 在给定初值后,通常可用计算机迭代求解,但我们常常需要 讨论解的稳定性。对差分方程415),若不论其对应齐次方程 的通解中任意常数C1…C如何取值,在t→+时总 有y→0,则称方程(714的解是稳定的否则称其解为不 稳定的根据通解的结构不难看出,齐次方程(415稳定的 充要条件为其所有特征根的模均小于1
例4.13 求解两阶差分方程 y y t t+2 + t = 解 对应齐次方程的特征方程为 1 0 2 + = ，其特征根为 = i 1,2 ，对应齐次方程的通解为 y C t C t t 2 sin 2 cos 1 2 = + 原方程有形如 at + 的特解。代入原方程求得 b 2 1 a = ， 2 1 b = − ，故原方程的通解为 2 1 2 1 2 sin 2 cos C1 t +C2 t + t − 在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解， 在给定初值后，通常可用 计算机迭代求解，但我们常常需要 讨论解的稳定性。对 差分方程(4.15),若不论其对应齐次方程 的通解中任意常 数C1 ,…,Cn如何取值 , 在 时总 有 ,则称方程 (7.14)的解是稳定 的,否则称其解为不 稳定 的.根据通解的结构不难看出 ,非齐次方程(4.15)稳定的 充要条件为其所有特征根的模均小 于1。 t → + → 0 t y
例414(市场经济的蛛网模型) 在自由竞争的市场经济中,商品的价格是由市场上该 商品的供应量决定的,供应量越大,价格就越低。另 一方面,生产者提供的商品数量又是由该商品的价格 决定的,价格上升将刺激生产者的生产积极性,导致 商品生产量的增加。反之,价格降低会影响生产者的 积极性,导致商品生产量的下降。 在市场经济中,对每一商品事实上存在着两个不同的 函数: (1)供应函数x=fP),它是价格P的单增函数,其曲 线称为供应曲线。 (2)需求函数x=g(P),它是价格P的单降函数,其 曲线称为需求曲线,供应曲线与需求曲线的 形状如图所示
例4.14（市场经济的蛛网模 型） 在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该 商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另 一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格 决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致 商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的 积极性，导致商品生产量的下降。 在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的 函数： （1）供应函数x=f(P)，它是价格P的单增函数，其曲 线称为供应曲线。 （2）需求函数x=g(P)，它是价格P的单降函数，其 曲线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的 形状如图所示
记时段初市场上的供应量(即上 ①供应曲线 时段的生产量为x,市场上0 该商品的价格为P,。商品成交的 0 价格是由需求曲线决定的,即卩P2 P=8(x, 需求曲线 随着t→+qM将趋于平衡点M 即商品量将趋于平衡量κ,价格 将趋于平衡价格P。图中的箭线 反映了在市场经济下该商品的供 X1 X2 Xo 应量与价格的发展趋势。 但是,如果供应曲线和需求曲 3 线呈图①中的形状,则平衡点 M是不稳定的,M将越来越远 离平衡点。 X
记t时段初市场上的供应量 (即上 一时段的生产量)为xt ，市场上 该商品的价格为Pt 。商品成交的 价格是由需求曲线决定的，即 ( ) 1 Pt g xt − = 随着 t → + ,Mt将趋于平衡点M* , 即商品量将趋于平衡量x * ,价格 将趋于平衡价格P * 。图中的箭线 反映了在市场经济下该商品的供 应量与价格的发展趋势。 x o P P0 P2 P* P1 x x1 x x2 x0 * 需求曲线 供应曲线 M0 M2 M1 M* ① P o M3 M2 M1 ② 但是，如果供应曲线和需求曲 线呈图①中的形状，则平衡点 M*是不稳定的，Mt将越来越远 离平衡点