图1-6层流表征图 平均速度是最大流速的一半,n1 ,如图1-6所示。 湍流特征:流体质点杂乱无章,仅在管壁处存在速度梯度,速度分布服从尼古拉则的 七分之次方定律:“=2应用范围是Re=1.1×105,平均流速是最大流速的08 倍,l=0.8,如图1-7所示。 图1-7澈流表征图 1-5层流速度分布式的推导 R 图1-8速度分布推导图 如图1-8所示,在半径为R的管内,取半径为r,长为L的圆柱流体讨论。 作用于流体柱左端面的力为:p丌r2 作用于流体柱右端面的力为:-p2丌r2 流体柱外表面受的内摩擦力为:-F 由牛顿粘性定律得:F=,,而y=R F=u(2mL)
6 图 1-6 层流表征图 平均速度是最大流速的一半， max 2 1 u = u ，如图 1-6 所示。 湍流特征：流体质点杂乱无章，仅在管壁处存在速度梯度，速度分布服从尼古拉则的 七分之一次方定律： 7 1 max ÷ ø ö ç è æ = R y u ur 应用范围是 5 Re = 1.1´10 ，平均流速是最大流速的 0.8 倍， max u = 0.8u ，如图 1-7 所示。 图 1-7 湍流表征图 1-5 层流速度分布式的推导 图 1-8 速度分布推导图 如图 1-8 所示，在半径为 R 的管内，取半径为 r ，长为 L 的圆柱流体讨论。 作用于流体柱左端面的力为： 2 1 p p ×r 作用于流体柱右端面的力为： 2 2 - p p ×r 流体柱外表面受的内摩擦力为：― ' F 由牛顿粘性定律得： y R r y u F = A ,而 = - d ' d m ( ) r y y r F rL d d d d 2 ' - \ = - \ = m p
在稳定流动条件下,上述合力为零,得: (p1-p2 (p, -p,)r du P1-P2 2Lu 当r=R时,l=0;r=r时,u=u,积分式(1)得 PI-p PI-p p,-p2 r-R P-p 2L 2 4LH P1-P2R2II 4L4 R 0时,l=um P1-P2 代入式(2)得 u=1 (3) R 将式(3)作图,如图1-9所示。 图1-9层流速度分布示意图 1-6层流平均流速与最大流速 在层流条件下,平均速度与最大速度u的关系如何呢? 7
7 在稳定流动条件下，上述合力为零，得： ( ) ( ) p p r r u L r u p p r r L 1 2 2 1 2 d d 0 2 d d - p × + 2p × × m = Þ m = - - r r L p p u d 2 d 1 2 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - \ = - m ………………(1) 当 r = R 时，u = 0； r = r 时，u = u ，积分式(1) 得： r L p p u r R u r d 2 d 1 2 0 × - = - ò ò m r R r L p p u 2 2 2 1 2 × - \ = - m ( ) 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 4 R r L r R p p L p p - - = - × - = - m m ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ - - \ = 2 1 2 2 1 4 R r R L p p u m ……………(2) 当 r = 0 时 1 2 2 max max 4 R L p p u u u m - ， = ，\ = 代入式（2）得： ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ = - 2 max 1 R r u u ……………(3) 将式（3）作图，如图 1-9 所示。 图 1-9 层流速度分布示意图 1-6 层流平均流速与最大流速 在层流条件下，平均速度u 与最大速度 max u 的关系如何呢？
R 图1-10管内流体速度分布示意图 如图1-10所示,设管内流体由速度不等的几个圆筒形流体组合而成,以第i个圆筒形 流体来分析,该圆筒流体的流量为:△qn,=2mXM×l1 总流量为:q,=∑n=∑2xrAr1 当n→∞时,(即A取足够小,圆筒数量取足够多时)M→d q 7.lI l= q 由于u=un1 R/代入上积分得: R 2丌·rd 2 dr R)R R R R =maxR) 2(R 所以,在层流条件下,平均流速是最大流速的一半。 §2流体质量衡算—连续性方程 1-7连续性方程的导出 8
8 图 1-10 管内流体速度分布示意图 如图 1-10 所示，设管内流体由速度不等的几个圆筒形流体组合而成，以第i 个圆筒形 流体来分析，该圆筒流体的流量为： v i i i i Dq , = 2pr ´ Dr ´ u å å = = = D = × ×D × n i i i i n i qv qv i r r u 1 1 总流量为： , 2p n r r dr 当 ® ¥时，（即D i取足够小，圆筒数量取足够多时）D i ® ò \ = × × R v q u r r 0 2p d 2 0 2 2 d R u r r R q u R v p p p × × \ = = ò 由于 ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ = - 2 max 1 R r u u ， 代入上积分得： 2 0 2 max 1 2 d R r r R r u u R p p × × ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ - = ò 2 2 2 d 2 d d 1 d 2 ÷ ø ö ç è æ ÷× × Þ × = × ø ö ç è æ ÷ = ø ö ç è æ R r r r r R R R r R r Q p ÷ × ×p ø ö ç è æ \ × × = 2 2 2 d d R R r r r 2 0 2 2 2 max 1 d R R r R r u R u R p p ò ÷ ø ö ç è æ ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ - \ = max 0 2 4 max 2 1 2 1 u R r R r u R = ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ ÷ - ø ö ç è æ = 所以，在层流条件下，平均流速是最大流速的一半。 §2 流体质量衡算——连续性方程 1-7 连续性方程的导出
图1-11连续性方程推导图 如图1-1所示,此导管由直径为d1d2,d3的三段直管所组成,流体流速为a1,u2,l3 我们取从截面1-1到截面22的范围作流体的质量衡算。 稳定流动qm=qn2kg·s q,!‘P1=q,2·P p2 由于液体是不可压缩的,所以P1=P2 l1d2=l2d2;同理可得:u1d2=2d2 l1d12=l2d2=ud2=常数 式(D)()称为不可压缩流体的稳定流动的连续性方程。 §3流体能量衡算—柏努利方程 1-8柏努利方程的导出 u2,P2 W 加热器 泵 W 基准面 图1-12柏努利方程推导图 如图1-12所示,设有mkg流体由1-截面流至2-2截面,流体流速分别为a12和2; 9
9 图 1-11 连续性方程推导图 如图 1-11 所示，此导管由直径为 1 2 3 d , d , d 的三段直管所组成，流体流速为 1 2 3 u ,u ,u 。 我们取从截面 1-1 到截面 2-2 的范围作流体的质量衡算。 稳定流动 1 ,1 ,2 kg s - = × qm qn ………………(I) 3 1 3 ,1 1 ,2 2 m s kg m - - × r = × r × ´ × qv qv ； 2 2 1 2 2 2 1 1 4 4 r p r p u × d × = u × d × 由于液体是不可压缩的，所以 r1 = r 2 \u1 d1 2 = u2 d2 2 ；同理可得： 2 3 3 2 1 1 u d = u d \ = = = 2 3 3 2 2 2 2 1 1 u d u d u d 常数 ……………(II) 式(I)(II) 称为不可压缩流体的稳定流动的连续性方程。 §3 流体能量衡算——柏努利方程 1-8 柏努利方程的导出 图 1-12 柏努利方程推导图 如图 1-12 所示，设有 m kg 流体由 1-1 截面流至 2-2 截面，流体流速分别为 1 u 和 2 u ；
流体具有的压强分别为p和P2。我们对1-1和22范围的流体作能量衡算 (1)势能—先取基准面。在11和22截面所具有的势能分别为:mg=1和mg2 其单位是:kgm·s.m→J (2)动能—在1-1和22截面具有的动能分别为: 和 2’共单位是: kg·m2·s2→J (3)压强能——压强能在普通物理中讲得不多。压强具不具有能量?生活中许多例 子可以说明。液压吊车,就是利用高压油(流体)推动活塞来做功的,其动力就是高压油 泵;洒水车,就是利用高压水清扫路面的;工厂中用高压空气清扫车间等等。这都是高压 流体释放能量的例子。 又例如我们为自行车内胎充气,我们通过对打气筒的活塞做功,使常压空气充到内胎 中,变成加压空气。这就是说,为了使流体具有高的压强,必须对流体做功,这是流体吸 收能量的例子 12 图1-13压强能的表达形式 压强能的表达形式如何呢?如图113所示,要将压强为P2,质量为m[kg]的流体 推出系统之外,做了多少功呢? 推力为:F=P2A N·m.m2→N 流体走过的距离为:l 所以做功为:F.1=P4m=mp 此即为mkg的流体在22截面具有的压强能。于是,在1-1和2-2截面,mkg流体 具有的压强能分别为:"和",其单位是:J (4)热能—外界对每千克流体提供的热能为QJ·kg。则mkg流体由外界获 得的热量为mQJ 10
10 流体具有的压强分别为 1 p 和 2 p 。我们对 1-1 和 2-2 范围的流体作能量衡算。 （1） 势能——先取基准面。在 1-1 和 2-2 截面所具有的势能分别为：mgz1和 mgz2 。 其单位是： kg m s m J × × -2 × Þ （2） 动能——在 1-1 和 2-2 截面具有的动能分别为： 2 2 2 2 2 mu1 mu 和 ，其单位是： kg m s J × 2 × -2 Þ （3） 压强能——压强能在普通物理中讲得不多。压强具不具有能量？生活中许多例 子可以说明。液压吊车，就是利用高压油（流体）推动活塞来做功的，其动力就是高压油 泵；洒水车，就是利用高压水清扫路面的；工厂中用高压空气清扫车间等等。这都是高压 流体释放能量的例子。 又例如我们为自行车内胎充气，我们通过对打气筒的活塞做功，使常压空气充到内胎 中，变成加压空气。这就是说，为了使流体具有高的压强，必须对流体做功，这是流体吸 收能量的例子。 图 1-13 压强能的表达形式 压强能的表达形式如何呢？如图 1-13 所示，要将压强为 2 p ，质量为 m [kg]的流体 推出系统之外，做了多少功呢？ N m m N 2 2 推力为：F = p2 × A × - × Þ 流体走过的距离为： m m m kg kg 2 3 Þ × = A m l r 所以做功为： N m J 2 = 2 × Þ × × = r r mp A p A m F l 此即为 m kg 的流体在 2-2 截面具有的压强能。于是，在 1-1 和 2-2 截面， m kg 流体 具有的压强能分别为： r r mp1 和 mp2 ，其单位是： J （4） 热能——外界对每千克流体提供的热能为 1 J kg - × Qe 。则 m kg 流体由外界获 得的热量为 J mQe