构造一个(相对简单的函数y=f(x)2通过全部节点即 f(x1)=y;(j=0,1,…n) 再用f(x)计算插值,即y=f(x 0 返回
6 构造一个(相对简单的)函数 y = f (x), 通过全部节点, 即 f (x ) y ( j 0,1, n) j = j = 再用 f (x) 计算插值，即 ( ). * * y = f x • • • • • 0 x 1 x n x 0 y 1 y ◆ * x * y 返回
拉朗日 grange)插值 已知函数八x)在n+1个点X0x12…x处的函数值为 y012yno求一n次多项式函数Pn(x),使其满足 Pn(x1)=y1=0,12,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下 P(x)=∑L(x) i=0 其中L(x)为次多项式: —X (x)= 0从X x1)…(x-X1)x-x 1+1 )…(x-xn) (X1-X0)(X1-X1)…(x1-X1)(x1-X1)…(X-X 称为拉格朗日插值基函数
称为拉格朗日插值基函数。 7 = = n i 0 n i i P (x) L (x) y 已知函数f(x)在n+1个点x0 ,x1 ,…,xn处的函数值为 y0 ,y1 ,…,yn 。求一n次多项式函数Pn (x)，使其满足： Pn (xi )=yi ,i=0,1,…,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下 其中Li (x) 为n次多项式： (x x )(x x ) (x x )(x x ) (x x ) (x x )(x x ) (x x )(x x ) (x x ) L (x) i 0 i 1 i i 1 i i 1 i n 0 1 i 1 i 1 n i − − − − − − − − − − = − + − + 拉格朗日(Lagrange)插值
拉朗日 grange,值 特别地: 两点一次(线性)插值多项式: X-x X-x 三点二次(_抛物)插值多项式: 2x)= x-x, x-x -xo.r-x2 x-X·(x-x1 b-) x)(x1-x2) y 直接验证可知Ln(x)满足插值条件
8 拉格朗日(Lagrange)插值 特别地: 两点一次(线性)插值多项式: ( ) 1 1 0 0 0 0 1 1 1 y x x x x y x x x x L x − − + − − = 三点二次(抛物)插值多项式: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 1 0 1 1 1 0 1 2 0 2 0 0 1 0 2 1 2 2 y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x L x − − − − + − − − − + − − − − = 直接验证可知,L (x)满足插值条件. n
例g(x)= 5≤x<5 2 1+x 采用拉格朗日多项式插值:选取不同插值 节点个数n+1.其中n为插值多项式的次数,当n 分别取2,4,6,8,10时,绘出插值结果图形 To Matlab Ich(larg1) 拉格朗日多项式插值的 这种振荡现叫 Runge现象 返叵
9 拉格朗日多项式插值的 这种振荡现象叫 Runge现象 , 5 5 1 1 ( ) 2 − + = x x g x 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值 节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n 分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形. 例 返回 To Matlab lch(larg1)
分段线性插值 0 X +1 X (x)=∑yl(x) =0 计算量与n无关 x,1≤x≤x n越大,误差越小, x-x X.≤x≤x 其它 n->oo n (x)=g(x),x0Sx≤xn
10 分段线性插值 − − − − = = + + + − − − = 0, 其它 , , ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 j j j j j j j j j j j n j n j j x x x x x x x x x x x x x x l x L x y l x 计算量与n无关; n越大，误差越小. n n n L x = g x x x x → 0 lim ( ) ( ), • • • • • • o x0 xj-1 xj xj+1 xn x y