门相关知识点第2幸离散傅里叶变换 由式(2-1)可见,复指数序列e(n)对k呈现周期性,周期也 为N。也就是说,离散傅里叶级数的谐波成分只有N个独立量,这 是和连续傅里叶级数的不同之处(后者有无穷多个谐波成分), 因而对离散傅里叶级数,只能取k=0到N-1的N个独立谐波分量, 不然就会产生二义性。因而x(n)可展成如下的离散傅里叶级数, (n)=∑X(k)eN (2-2) k=0 式中,求和号前所乘的系数1是习惯上已经采用的常数,X(k) 是k次谐波的系数
第2章 离散傅里叶变换 由式（2-1）可见，复指数序列ek (n)对k呈现周期性，周期也 为N。也就是说, 离散傅里叶级数的谐波成分只有N个独立量，这 是和连续傅里叶级数的不同之处（后者有无穷多个谐波成分）， 因而对离散傅里叶级数，只能取k=0 到N-1的N个独立谐波分量， 不然就会产生二义性。因而 可展成如下的离散傅里叶级数， 即 ( ) ~ x n − = = 1 0 2 ( ) 1 ~ ( ) ~ N k kn N j X k e N x n （2-2） 式中，求和号前所乘的系数1/N是习惯上已经采用的常数， 是k次谐波的系数。 ( ) ~ X k
门相关知识点第2幸离散傅里叶变换 下面我们来求解系数X(k),这要利用复正弦序列的正交特性,即 2丌 e N 2丌 e 1r=mN,m.整数 0其他r (2-3) 2丌 将式(22)两端同乘以,-Nm,然后从n=0到N-1的一个 周期内求和,则得到
第2章 离散傅里叶变换 下面我们来求解系数 ( ) ，这要利用复正弦序列的正交特性，即 ~ X k = − − = − = 0 1 1 1 1 1 2 2 1 0 2 r N j r N N j N n r n N j e e N e N r=mN, m为整数 其他r （2-3） 将式（2-2）两端同乘以 ，然后从n=0 到N-1的一个 周期内求和，则得到 rn N j e 2 −
门相关知识点第2幸离散傅里叶变换 ∑(n)e N ∑∑R(k)e 2 ∑X(k)∑e k=0 X(r) 把r换成k可得 X(k)=∑ x(ne (2-4) 这就是求=0到N1的N个谐波系数X(k)的公式。同时看出X(k) 也是一个以N为周期的周期序列,即
第2章 离散傅里叶变换 ( ) ~ 1 ( ) ~ ( ) 1 ~ ( ) ~ 1 0 ( ) 1 2 0 ( ) 1 2 0 1 0 1 0 2 X r e N X k X k e N x n e N n k r n N j N k k r n N j N k N n N n r n N j = = = − = − − = − − = − = − = − 把r换成k可得 − = − = 1 0 2 ( ) ~ ( ) ~ N n kn N j X k x n e （2-4） 这就是求k=0 到N-1的N个谐波系数 的公式。同时看出 也是一个以N为周期的周期序列，即 ( ) ~ X k ( ) ~ X k
门相关知识点第2幸离散傅里叶变换 -j(k+mN)n k X(+mN)=∑(n)2 ∑(n)eN=Y(k) n=0 这和离散傅里叶级数只有M个不同的系数X(k)的说法是一致 的。可以看出,时域周期序列x(m)的离散傅里叶级数在频域(即 其系数X(k)也是一个周期序列。因而X(k)与(n)是频域与时域 的一个周期序列对,式(22)与式(24)一起可看作是一对相 互表达周期序列的离散傅里叶级数(DFS)对 为了表示方便,常常利用复数量W来写这两个式子。W定 义为 (2-5)
第2章 离散傅里叶变换 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ 1 2 0 1 0 ( ) 2 X k mN x n e x n e X k kn N j N n N n k mN n N j + = = = − − = − = − + 这和离散傅里叶级数只有N个不同的系数 的说法是一致 的。可以看出，时域周期序列 的离散傅里叶级数在频域（即 其系数 也是一个周期序列。因而 与 的一个周期序列对， 式（2-2）与式（2-4）一起可看作是一对相 互表达周期序列的离散傅里叶级数（DFS）对。 为了表示方便，常常利用复数量WN来写这两个式子。WN定 义为 ( ) ~ X k ( ) ~ x n ( ) ~ X k ( ) ~ X k ( ) ~ x n N j N W e 2 − = （2-5）
门想关如识点第2幸离散傅里叶音, 使用,式(2-4)及式(22)可表 为 R(k)=DFS[(m=∑x(n)eN=∑x(n)W (2-6) k x(n)=IDFS[X(k)]=2X(k)e N N ∑X(k)W(27) k=0 k=0 式中,DFS[·]表示离散傅里叶级数正变换,IDFS[·]表示 离散傅里叶级数反变换 从上面看出,只要知道周期序列一个周期的内容,其他的 内容也都知道了。所以,这种无限长序列实际上只有一个周期 中的N个序列值有信息。因而周期序列和有限长序列有着本质 的联系
第2章 离散傅里叶变换 使用WN， 式（2-4）及式（2-2）可表示为: n k N N k n k N j N k n k N N n n k N j N n X k W N X k e N x n IDFS X k X k DFS x n x n e x n W − − = − = − = − − = = = = = = = ( ) 1 ~ ( ) 1 ~ ( )] ~ ( ) [ ~ ( ) ~ ( ) ~ ( )] ~ ( ) [ ~ 1 0 1 2 0 1 0 1 2 0 （2-6） （2-7） 式中，DFS［·］表示离散傅里叶级数正变换，IDFS［·］表示 离散傅里叶级数反变换。 从上面看出，只要知道周期序列一个周期的内容，其他的 内容也都知道了。 所以，这种无限长序列实际上只有一个周期 中的N个序列值有信息。 因而周期序列和有限长序列有着本质 的联系