-第5快速傅里叶度换 第3章快速傅里叶变换 3,1引言 3.2直接计算DHT的问题及改进的途径 33按时间抽取(Dm)的基2-FFT算法 34按频率抽取(DIF)的基2-FFT算法 35N为复合数的FFT算法 36线性调频Z变换(Chip-Z变换)算法 3.7利用FFT分析时域连续信号频谱 38FFT的其他应用 BACI
第3章 快速傅里叶变换 第3章 快速傅里叶变换 3.1 引言 3.2 直接计算DFT的问题及改进的途径 3.3 按时间抽取（DIT）的基2-FFT算法 3.4 按频率抽取（DIF）的基2-FFT算法 3.5 N为复合数的FFT算法 3.6 线性调频Z变换（Chirp-Z变换）算法 3.7 利用FFT分析时域连续信号频谱 3.8 FFT的其他应用
-第3快速疼里叶变换一 31引言 快速傅里叶变换(FFT)并不是一种新的变换,而是离散傅里叶变换 (DFT)的一种快速算法。 由于有限长序列在其频域也可离散化为有限长序列(DFT),因此离散 傅里叶变换(DFT)在数字信号处理中是非常有用的。例如,在信号的频谱 分析、系统的分析、设计和实现中都会用到DFT的计算。但是,在相当长 的时间里,由于DFT的计算量太大,即使采用计算机也很难对问题进行实时 处理,所以并没有得到真正的运用。直到1965年首次发现了DFT运算的一种 快速算法以后,情况才发生了根本的变化。人们开始认识到DFT运算的一些 内在规律,从而很快地发展和完善了一套高速有效的运算方法,这就是现在 人们普遍称之为快速傅里叶变换(FFT)的算法。FFT出现后使DFT的运算 大大简化,运算时间一般可缩短一二个数量级之多,从而使DFT的运算在实 际中真正得到了广泛的应用
第3章 快速傅里叶变换 3.1 引 言 快速傅里叶变换（FFT）并不是一种新的变换， 而是离散傅里叶变换 （DFT）的一种快速算法。 由于有限长序列在其频域也可离散化为有限长序列（DFT），因此离散 傅里叶变换（DFT）在数字信号处理中是非常有用的。例如，在信号的频谱 分析、 系统的分析、 设计和实现中都会用到DFT的计算。 但是，在相当长 的时间里， 由于DFT的计算量太大，即使采用计算机也很难对问题进行实时 处理，所以并没有得到真正的运用。 直到1965年首次发现了DFT运算的一种 快速算法以后，情况才发生了根本的变化。人们开始认识到DFT运算的一些 内在规律，从而很快地发展和完善了一套高速有效的运算方法， 这就是现在 人们普遍称之为快速傅里叶变换（FFT）的算法。 FFT出现后使DFT的运算 大大简化，运算时间一般可缩短一二个数量级之多，从而使DFT的运算在实 际中真正得到了广泛的应用
-第5快速傅里叶度换 32直接计算DFT的问题及改进的途径 321直接计算DFT的运算量问题 设x(n)为N点有限长序列,其DFT为 X(k)=∑(nwk01,,M1 (3-1) 反变换(IDFT)为 N X(n)=∑X(k)Wn=0.1,…N1(32) k=0
第3章 快速傅里叶变换 3.2 直接计算DFT的问题及改进的途径 3.2.1 直接计算DFT的运算量问题 设x(n)为N点有限长序列，其DFT为 − = = 1 0 ( ) ( ) N n nk n WN X k x k=0, 1, …, N-1 （3-1） 反变换（IDFT）为 − = − = 1 0 ( ) 1 ( ) N k n k WN X k N X n n=0, 1, …, N-1 （3-2）
-第3快速疼里叶变换一 二者的差别只在于W的指数符号不同,以及差一个常数乘 因子1/N,所以IDFT与DFT具有相同的运算工作量。下面我们 只讨论DFT的运算量。 般来说,x(n)和W都是复数,X(k)也是复数,因此每计 算一个X(k)值,需要N次复数乘法和N-1次复数加法。而Ⅺ(k)一共 有N个点(k从0取到M-1),所以完成整个DFT运算总共需要M 次复数乘法及NN-1)次复数加法。在这些运算中乘法运算要比 加法运算复杂,需要的运算时间也多一些。因为复数运算实际 上是由实数运算来完成的,这时DFT运算式可写成
第3章 快速傅里叶变换 二者的差别只在于WN的指数符号不同，以及差一个常数乘 因子1/N，所以IDFT与DFT具有相同的运算工作量。 下面我们 只讨论DFT的运算量。 一般来说，x(n)和WN nk都是复数，X(k)也是复数，因此每计 算一个X(k)值，需要N次复数乘法和N-1次复数加法。而X(k)一共 有N个点（k从0取到N-1），所以完成整个DFT运算总共需要N2 次复数乘法及N(N-1)次复数加法。 在这些运算中乘法运算要比 加法运算复杂，需要的运算时间也多一些。因为复数运算实际 上是由实数运算来完成的， 这时DFT运算式可写成
-第5快速傅里叶度换 X(k)=2 x(n)WN 2IRe[x(n)1+jIm[x(n)I)(Re[W]+j Im[W I >Re[x(n)]Re[Wn]-Im[ x(n)Im[Wn] +j(Re[x(n)]Im[WN ]+Im[ x(n)]RelW D) (3-3) 由此可见,一次复数乘法需用四次实数乘法和二次实数加法; 次复数加法需二次实数加法。因而每运算一个X(k需4N次实 数乘法和2N+2(N-1)=2(2N-1)次实数加法。所以,整个DFT运算 总共需要4N次实数乘法和2N2N-)次实数加法
第3章 快速傅里叶变换 (Re[ ( )]Im[ ] Im[ ( )]Re[ ])} {Re[ ( )]Re[ ] Im[ ( )]Im[ ] ( ) ( ) {Re[ ( )] Im[ ( )]}{Re[ ] Im[ ]} 1 0 1 0 1 0 n k N n k N n k N N n n k N N n n k N n k N N n n k N j x n W x n W x n W x n W X k x n W x n j x n W j W + + = − = = + + − = − = − = （3-3） 由此可见，一次复数乘法需用四次实数乘法和二次实数加法； 一次复数加法需二次实数加法。 因而每运算一个X(k)需4N次实 数乘法和2N+2(N-1)=2(2N-1)次实数加法。 所以，整个DFT运算 总共需要4N2次实数乘法和2N(2N-1)次实数加法