第?章信号的时频表示与小波变换 第?章信号的时频表示与小波变换 71短时 Fourier变换与 Gabor变换 72小波变换 73离散小波变换的快速算法— Mallat算法 74常用小波函数 75小波变换的应用 BACI
第7章 信号的时频表示与小波变换 第7章 信号的时频表示与小波变换 7.1 短时Fourier变换与Gabor变换 7.2 小波变换 7.3 离散小波变换的快速算法——Mallat算法 7.4 常用小波函数 7.5 小波变换的应用
第?章信号的时频表示与小波变换 7.1短时 Fourier变换与 Gabor变换 满足傅里叶积分定理的信号()的傅里叶变换和逆变换定义为: le vir 7-) f(1)=-|F(g2)ecg (72 丌 为了了解信号的局部特征,人们最初想到的是通过预先加窗 的办法使频谱反映时间局部特征,通常称为短时 Fourier变换 (STFT)或加窗 Fourier变换(WFT)。以符号g(≠b)表示以b为 中心的窗函数g(0复共轭,记作Sa()=g(-b)eA (7-3
第7章 信号的时频表示与小波变换 7.1 短时Fourier变换与Gabor变换 满足傅里叶积分定理的信号f(t)的傅里叶变换和逆变换定义为: = = + − + − − f t F j e d F j f t e dt j t j t ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) (7-1) (7-2) 为了了解信号的局部特征，人们最初想到的是通过预先加窗 的办法使频谱反映时间局部特征，通常称为短时Fourier变换 （STFT）或加窗Fourier变换（WFT）。以符号g(t-b) 表示以b为 中心的窗函数g(t)的复共轭，记作 j t b S t g t b e 0 0 ( ) ( ) , − = − (7-3)
第?章信号的时频表示与小波变换 定义短时 Fourier变换(STFT)为 STFT /16, j 2)=(g(t-beedt=[f(sa, (odt (7-4) 时刻b的STFT是信号f(1)与可移动窗函数g(-b)乘积的 Fourier 变换。设窗函数g(1b)的有效宽度为D,由于窗函数过滤了作用 范围外的信号,因此在一定程度上可以反映信号在时间域 b-D,b+D的频谱信息。图7-1是窗口傅里叶变换的时 域示意图
第7章 信号的时频表示与小波变换 定义短时Fourier变换（STFT）为 STFT f b j f t g t b e dt f t S t dt b j t s + − + − − [ ]( , ) = ( ) ( − ) = ( ) ( ) 0 , (7-4) 时刻b的STFT是信号f(t)与可移动窗函数 g(t-b) 乘积的Fourier 变换。设窗函数g(t-b) 的有效宽度为Dt，由于窗函数过滤了作用 范围外的信号，因此在一定程度上可以反映信号在时间域 的频谱信息。 图 7 - 1 是窗口傅里叶变换的时 域示意图。 b − Dt b + Dt 2 1 , 2 1
第?章信号的时频表示与小波变换 f(og(t g()1 f() g(t-9 图71窗口 Fourier变换的时域示意图
第7章 信号的时频表示与小波变换 图7.1 窗口Fourier变换的时域示意图 f (t)g (t) b g (t) 1 g (t－ b) f (t) o t
第?章信号的时频表示与小波变换 设g(1)的傅里叶变换为G(jΩ),在复频域的有效宽度为Da b。ao()的傅里叶变换为GjΩ2jg)e-1990),根据 Parseval恒等式可 得 +0 [STFT J(6,jQ2)= f(g(t-ble /dt f2te[F(/G(/2-1gkg2(75) +0 也就是说,在时域范围内考察的是以b为中心,宽度为 b-D,b+D的局部信号信息;在频域范围内考察的是以g2 为中心,宽度为92-1D292+D的局部信息。换句话说, 2 2 经过加窗, Fourier变换保留了信号的时间特征
第7章 信号的时频表示与小波变换 设g(t)的傅里叶变换为G(jΩ), 在复频域的有效宽度为DΩ， 则 Sb , Ω0 (t)的傅里叶变换为G(jΩ-jΩ0 )e-j(Ω-Ω0)b ，根据Parseval恒等式可 得 = − = − + − − + − − e F j G j j e d STFT f b j f t g t b e dt j t j t j t s ( ) ( ) 2 1 [ ]( , ) ( ) ( ) 0 0 (7-5) 也就是说，在时域范围内考察的是以b为中心，宽度为 的局部信号信息; 在频域范围内考察的是以Ω0 为中心，宽度为 的局部信息。换句话说， 经过加窗，Fourier变换保留了信号的时间特征。 b − Dt b + Dt 2 1 , 2 1 − D + D 2 1 , 2 1 0 0