R2=0.538 (1)B的经济解释是什么？ (2)α和B的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话， 你可以给出可能的原因吗？ (3)对于拟合优度你有什么看法吗？ (4)检验是否每一个回归系数都与零显著不同（在1%水平下）。同时对零假设和备择假 设、检验统计值、其分布和自由度以及拒绝零假设的标准进行陈述。你的结论是什么？ 解答： (1)阝为收入的边际储蓄倾向，表示人均收入每增加1美元时人均储蓄的预期平均变 化量。 (2)由于收入为零时，家庭仍会有支出，可预期零收入时的平均储蓄为负，因此符 号应为负。储蓄是收入的一部分，且会随着收入的增加而增加，因此预期阝的符号为正。 实际的回归式中，B的符号为正，与预期的一致。但截距项为正，与预期不符。这可能是 由于模型的错误设定造成的。如家庭的人口数可能影响家庭的储蓄形为，省略该变量将对截 距项的估计产生影响：另一种可能就是线性设定可能不正确。 (3)拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力。模型中53.8%的拟合优度， 表明收入的变化可以解释储蓄中53.8%的变动。 (4)检验单个参数采用t检验，零假设为参数为零，备择假设为参数不为零。双变量 情形下，在零假设下t分布的自由度为n-2=36-2=34。由t分布表知，双侧1%下的临界值位 于2.750与2.704之间。斜率项计算的t值为0.067/0.011=6.09：截距项计算的t值为 384.105/151.105=2.54。可见斜率项计算的t值大于临界值，截距项小于临界值，因此拒绝 斜率项为零的假设，但不拒绝截距项为零的假设。 附录：一些理论结果的证明 1、令B,x和B,分别为Y对X回归和X对Y回归中的斜率，证明 BxBx =r2 其中r为X与Y之相的线性相关系数。 证明：容易知道，在上述两回归中斜率项分别为 6
6 2 R ＝0.538 （1） β 的经济解释是什么？ （2）α 和 β 的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话， 你可以给出可能的原因吗？ （3）对于拟合优度你有什么看法吗？ （4）检验是否每一个回归系数都与零显著不同（在 1%水平下）。同时对零假设和备择假 设、检验统计值、其分布和自由度以及拒绝零假设的标准进行陈述。你的结论是什么？ 解答： （1） β 为收入的边际储蓄倾向，表示人均收入每增加 1 美元时人均储蓄的预期平均变 化量。 （2）由于收入为零时，家庭仍会有支出，可预期零收入时的平均储蓄为负，因此α 符 号应为负。储蓄是收入的一部分，且会随着收入的增加而增加，因此预期 β 的符号为正。 实际的回归式中， β 的符号为正，与预期的一致。但截距项为正，与预期不符。这可能是 由于模型的错误设定造成的。如家庭的人口数可能影响家庭的储蓄形为，省略该变量将对截 距项的估计产生影响；另一种可能就是线性设定可能不正确。 （3）拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力。模型中 53.8%的拟合优度， 表明收入的变化可以解释储蓄中 53.8 %的变动。 （4）检验单个参数采用 t 检验，零假设为参数为零，备择假设为参数不为零。双变量 情形下，在零假设下 t 分布的自由度为 n-2=36-2=34。由 t 分布表知，双侧 1%下的临界值位 于 2.750 与 2.704 之间。斜率项计算的 t 值为 0.067/0.011=6.09；截距项计算的 t 值为 384.105/151.105=2.54。可见斜率项计算的 t 值大于临界值，截距项小于临界值，因此拒绝 斜率项为零的假设，但不拒绝截距项为零的假设。 附录：一些理论结果的证明 1、令 β YX ˆ 和 β XY ˆ 分别为Y 对 X 回归和 X 对Y 回归中的斜率，证明 ˆ ˆ 2 r β YX β XY = 其中r 为 X 与Y 之相的线性相关系数。 证明：容易知道，在上述两回归中斜率项分别为
于是 .·爱器是以 2、记样本回归模型为Y,=B。+月，X,+e,试证明： 1)估计的Y的均值等于实测的Y的均值：F=了 2)残差和为零，从而残差的均值为零：∑e,=0,e=0 3)残差项与X不相关：∑e,X,=0 4)残差项与估计的Y不相关： ∑e,i=0: 证明：1)由于 ,=B。+B,X,=(-B)+BX,=7+B,(X,-) 故 F=7+月∑(X,-X)=T 这里用到了∑x,=∑(X,-)=0 2)由一元回归中正规方程组中的第一个方程 ∑化，-B。-月X)=0 知： ∑e,=0, e=∑e,-0 3)由一元回归中正规方程组中的第二个方程 ∑g,-B。-B,X,)X,=0 知： ∑e,X,=0 4)由2)及3)易知 ∑e,-∑e,(。+月X)=B∑e,+B∑e,X=0 3、对一元线性回归模型Y,=阝。+阝，X,+4,试证明普通最小二乘估计量B在所有 线性无偏估计量中具有最小方差性。 1
7 ∑ ∑= 2 ˆ i i i YX x x y β ， ∑ ∑= 2 ˆ i i i XY y x y β 于是 ( ) 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ r x y x y y x y x x y i i i i i i i i i i YX XY = = = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ β β 2、记样本回归模型为 i i i Y = + X + e 0 1 ˆ ˆ β β ，试证明： 1）估计的Y 的均值等于实测的Y 的均值：Yˆ = Y 2）残差和为零，从而残差的均值为零：∑ = 0 i e ，e = 0 3）残差项与 X 不相关：∑ei Xi = 0 4）残差项与估计的Y 不相关： ∑ei Yˆ i = 0； 证明：1）由于 ( ) ˆ ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ ˆ Yi = β 0 + β1Xi = Y − β1X + β1Xi = Y + β1 Xi − X 故 Y Y Xi X Y n = + ∑( − ) = ˆ ˆ 1 β1 这里用到了∑x = ∑(X − X ) = 0 i i 2）由一元回归中正规方程组中的第一个方程 ∑ − − ) = 0 ˆ ˆ (Yi β 0 β1Xi 知： ∑ = 0 i e ， 0 1 = ∑ i = n e e 3）由一元回归中正规方程组中的第二个方程 ∑ − − ) = 0 ˆ ˆ (Yi β 0 β1Xi Xi 知： ∑ei Xi = 0 4）由 2）及 3）易知 0 ˆ ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ ∑ei Yi = ∑ei β 0 + β1Xi = β 0∑ei + β1∑ei Xi = 3、对一元线性回归模型Yi = β 0 + β1Xi + µi ，试证明普通最小二乘估计量 1 β ˆ 在所有 线性无偏估计量中具有最小方差性
证：设B是其他方法得到的关于B,的线性无偏估计量： B=∑cY, 其中，c,=k,+d,d,为不全为零的常数，于是 E(B)=E(∑cY)=∑c,E(Y)=∑c,(B。+BX,)=B∑c,+B∑cX, 由B的无偏性，即E(月)=B,可知： B∑c,+B∑cX,=B 已知∑c,=0，从而∑c,X,=1 月的方差var()=var(∑c,Y)=∑var(Y,)=∑cvar(4,)=∑co =∑k+d,)产o2=∑o2+∑do2+2o2∑kd 由于∑k,d=∑k,(c,-k)=∑kc,-∑k 京-8：2-女0 故 aa)=∑5o+∑4o20+oΣ4=vaa)+g∑4 因为 ∑d≥0 所以 var(B)≥var(B) 当d,=0,(i=1,2…,n)等号成立，此时，C,=k,B就是OLS估计量B。 人、试证明一元线性回归模型随机扰动项“的方差。2的无偏估计量为后_∑g n-2 证：给定一组样本{X,Y,},容易写出模型Y,=阝。+PX,+4,的离差形式为： y:=Bx,+(4-回) 根据样本回归函数的离差形式： =Bx 易知 8
8 证：设 * 1 β ˆ 是其他方法得到的关于 β1的线性无偏估计量： = ∑ i Yi c * 1 β ˆ 其中， i i di c = k + ， i d 为不全为零的常数，于是 = ∑ i i = ∑ i i = ∑ i + i = ∑ i + ∑ i Xi E E c Y c E Y c X c c 0 1 0 1 * 1 ) ( ) ( ) ( ) ˆ (β β β β β 由 * 1 β ˆ 的无偏性，即 1 * 1 ) ˆ E(β = β 可知： β 0∑ i + β1∑ i Xi = β1 c c 已知 ∑ = 0 i c ， 从而 ∑ = 1 i Xi c * 1 β ˆ 的方差 = ∑ = ∑ = ∑ = ∑ * 2 2 2 2 1 ) var( ) var( ) var( ) ˆ var(β ci Yi ci Yi ci µ i ci σ =∑ i + i = ∑ i +∑ i + ∑ i i k d k d k d 2 2 2 2 2 2 2 ( ) σ σ σ 2σ 由于 ∑ = ∑ − = ∑ −∑ 2 ( ) i i i i i i i i k d k c k k c k = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − = − = − − = 0 1 1 2 2 2 2 2 2 i i i i i i i i i i i x x k x X c X c c k x x 故 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = + = + = + 2 2 1 2 2 2 2 * 2 2 2 2 1 ) ˆ var( 1 ) ˆ var( i i i i i d d x β k σ d σ σ σ β σ 因为 ∑ ≥ 0 2 i d 所以 ) ˆ ) var( ˆ var( 1 * β1 ≥ β 当 di = 0 ，（i = 1,2, n ）等号成立，此时， i i c = k ， * 1 β ˆ 就是 OLS 估计量 1 β ˆ 。 4、 试证明一元线性回归模型随机扰动项µ 的方差 2 σ 的无偏估计量为 2 ˆ 2 2 − = ∑ n ei σ 。 证：给定一组样本{ Xi Yi , }，容易写出模型Yi = β 0 + β1Xi + µi 的离差形式为： ( ) yi = β1 xi + µ i − µ 根据样本回归函数的离差形式： i i y x1 ˆ ˆ = β 易知
e3-2y,-,)2 =2(B,-B)x,+(4,-) =2(B-B)2x+2(B-B)x,(4,-)+(4,-四)2) =B-月，)2x+(4-m)2-22(2k4,)x,(4-m) -2(B,-B)2x+2(4,-可)2-22x,4,k4,+2x,k,4 =XR-Ax+24,-m2-22x4,2 x4 因为 ∑A-)x=∑am)=g E∑(4，-m2=E(∑4-2π∑4，+m=E(∑4-m2)=n-l1)o2 器… ∑了 所以 E(∑e)=o2+(n-10o2-2o2=(n-2)o2 从而 E2)=2 n-2 对一元线性回归模型Y=A+AX+4,试证明CoA,)=一分。一 证： Cov(B。,B)=E(B。-B(B,-B)=E(B。-EB)(B-E(B) =E(辽-B,x-(了-XE(B)(B-E(B,) =-E(B,-E(B)B,-E(B) =-E(B,-E(B,)》2=-xvar(B) 9
9 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 ) ( ) 2 ˆ ( ) ( ) 2 2 ˆ ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ˆ ) ( ) ( ) ) ˆ ) 2( ˆ (( ) ( )) ˆ (( ( ˆ ) i x x x x x x k x k x k x x x x e y y i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i Σ Σ = Σ − + Σ − − Σ = Σ − + Σ − − Σ Σ + Σ Σ = Σ − + Σ − − Σ Σ − = Σ − + − − + − = Σ − + − Σ = Σ − µ β β µ µ µ β β µ µ µ µ µ µ β β µ µ µ µ µ β β β β µ µ µ µ β β µ µ 因为 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 ) ˆ ) var( ˆ ( σ σ β − β = β = = ∑ ∑ ∑ ∑ i i i i x x E x x ∑ − = ∑ − ∑ + = ∑ − = − 2 2 2 2 2 E (µ i µ) E( µ i 2µ µ i nµ) E( µ i nµ ) (n 1)σ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) σ µ µµ µ = + = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ≠ i i j i i i i j j i i i x x x x E x x E 所以 2 2 2 2 2 E(∑ei ) = σ + (n −1)σ − 2σ = (n − 2)σ 从而 2 2 ) 2 ( = σ − Σ n e E i 5、 对一元线性回归模型Yi = β 0 + β1Xi + µi ，试证明 ∑ = − 2 2 0 1 ) ˆ , ˆ ( i x X Cov σ β β 。 证： ∑ = − = − − = − = − − − = − − − − = − − = − − 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 ) ˆ )) var( ˆ ( ˆ ( )) ˆ ))( ( ˆ ( ˆ ( )) ˆ )))( ( ˆ ( ( ˆ ( )) ˆ ))( ( ˆ ( ˆ ) ( ˆ )( ˆ ) ( ˆ , ˆ ( i x X XE E X XE E E E Y X Y XE E Cov E E E E σ β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β