则， l12 . Lk1A1+Lk2A2+.+knAn= kn →第行 Qki Qk2 kn : Qn2 右端的行列式含有两个相同的行，值为0。 11
11 则， ak1Ai1 + ak 2Ai 2 ++ aknAin = n n nn k k kn k k kn n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 11 12 1 → 第i行 右端的行列式含有两个相同的行，值为0
综上，得公式 au41+a42++aA{0, ,（当k=i) (当k≠) aA,+04,+.+auA= D, (当1=》 0, （当1≠) 在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n一1)阶行列 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理 在理论上是重要的。 12
12 综上，得公式 ak1Ai1 + ak 2Ai 2 ++ aknAin = = ，（当 ） （当 ） k i D k i 0 , a1lA1 j + a2lA2 j ++ anl Anj = = ，（当 ） （当 ） l j D l j 0 , 在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理 在理论上是重要的
利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简 化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某 一行（列)化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开， 变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或 二阶行列式。 13
13 利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简 化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某 一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开, 变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或 二阶行列式
3 1 例1：计算行列式 -12 -5 1 3 -4 D= 2 0 1-1 1 -5 3 -3 5 1 -1 c,+(-2)c3 -11 3 C4+C3 .0.0 -5 -5 3 0 5 11 =(-1)3*3 -11 1 -1 -5 -5 0 14
14 例1: 计算行列式 1 5 3 3 2 0 1 1 5 1 3 4 3 1 1 2 − − − − − − D = 5 5 3 0 0 0 1 0 11 1 3 1 5 1 1 1 − − − − − ( ) 1 2 3 c + − c 4 3 c + c 5 5 0 11 1 1 5 1 1 ( 1) 3 3 − − = − − − +
+ -62 -6 =(- 2 -5-5 -5 -5 -82 =40. 0-5 例2：证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 1 1 X2 好 好 Πx,-x, (1) : ●： nzi>j21 n-
15 5 5 0 6 2 0 5 1 1 − − − 5 5 6 2 ( 1) 1 3 − − − = − + 0 5 8 2 − − = = 40. 2 1 r + r 例2: 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 − − − = = − 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 ( ). 1 1 1 n i j i j n n n n n n n x x x x x x x x x x x D (1)