第27讲、光子晶体 1、周期结构中波的传播 1.周期结构中波的传播 电导之迷(19世纪) 导体 电子波 2.一维光子晶体总有禁带 3.电子晶体和光子晶体比较 4.光子晶体的应用 电子平均自由程 专题7:波在周期性结构中的传播 pp:45.24132che体 体理学 电子平均自由程之迷19世纪) Boch定理给出了解释! 是体导体 ·量于力学→电子是波 ⑥团团 ·在周期性结构中传播的波没有散射 期 ⑥⊕@的倍 ·解的形式为Boch波 ·而且这个极其重要的结论 ·并不依于与具体的波动方程 电导率O量 电子平均自由程 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 波在周期结构中 电子晶体[v2+(ryr)=Ev(r) 电子晶体 电子满足的不含时的 Schroedinger方程 de broglie波 Schroedinger方程 原子排列→电子能:电绝缘体 周期性势场H(r)=(r+R) 平(r)是电子波函数 ◆格波、弹性波: Newton方程、弹性波波动方程 de broglie波长如果与R相当,电子波在周期性 弹性常数材料周期排列→声波频隙:声“绝缘体” 结构传播并不自由,受约束形成 Bloch波 光子晶体 本征值性质 Iwe方程 能量和波矢近似成二次抛物线关系,存在能 电磁介质材料排列→光子频隙:光“绝缘体 ·解为Bloc波的形式—调幅平面波 XX波:Xx方程? XX介质材料排列XX“绝缘体”、“滤波器”? M45.24132gche 是学 趣452413 binche物理学
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第27讲、光子晶体 1. 周期结构中波的传播 * 电子波 * 声波 * 光波 2. 一维光子晶体总有禁带 3. 电子晶体和光子晶体比较 4. 光子晶体的应用 专题7：波在周期性结构中的传播 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、周期结构中波的传播 • 电导之迷(19世纪) + + + + 导体 + e– e– r E r J = σ r 电流 E 电导率(测量) 电子平均自由程 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 电子平均自由程之迷(19世纪) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 晶体导体 自由程 是周期 的108倍 e– e– r E r J = σ r 电流 E 电导率(测量) 电子平均自由程 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 Bloch定理给出了解释！ • 量子力学Æ电子是波 • 在周期性结构中传播的波没有散射 * Bloch定理！ * 解的形式为Bloch波 • 而且这个极其重要的结论 * 并不依赖于与具体的波动方程！ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 波在周期结构中 • 电子晶体 * de Broglie波ÆScroedinger方程 * 原子排列Æ电子能隙：电绝缘体 • 声子晶体 * 格波、弹性波：Newton方程、弹性波波动方程 * 弹性常数材料周期排列Æ声波频隙： 声“绝缘体” • 光子晶体 * 电磁波：Maxwell方程 * 电磁介质材料排列Æ光子频隙：光“绝缘体” • XX晶体？ * XX波：XX方程？ * XX介质材料排列ÆXX “绝缘体” 、“滤波器” ？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 电子晶体 • 电子满足的不含时的Schroedinger方程 • 周期性势场V(r)= V(r+R) • Ψ(r)是电子波函数 • de Broglie波长如果与R相当，电子波在周期性 结构传播并不自由，受约束形成Bloch波 • 本征值性质 * 能量和波矢近似成二次抛物线关系，存在能隙 * 解为Bloch波的形式——调幅平面波 [− ∇ +V (r)]ψ () () r = Eψ r 2 ( ) () k r k k r r − ⋅ = i ψ u e
声子晶体(2+24)N(v→u)-NxV×u=-po2u 超声波禁带 ·不含时弹性波波动方程 PRL80,1208(1998) ·p是质量密度,A和川是Lame系数,u是位移 t2E+8 ·如果p,A和山也是空间位置r的周期函数, 其解也满足 Bloch定理 a有限制,形成频率隙,某些频率不能传播 pfr=p(r+R i(r)=i(r+R) u(r)=u(r+R) E+0 u,()=U,(re-k, U,(r)=U,(r+R) H2面Bm对删时出 the fint and seson hand 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 躁音禁带 光子晶体 Vx-VxH · Science289,1734 (2000 哇胶包着铅球 SC. 1.5cm G ·不含时的 Maxwel程,H也可以以E替代 ·频率与介电常数有关,与波失成线性关系 如介电常数位的周期函数:ar)=ar+R) ·受这个周期性介电常数的约束 效负弹性系数 ·方程为本征值方程 最楼尔壽樱 解也为Boch形式 ·并不是 Bragg散射 o有限制,形成频率隙,某些频率不能传播 而是局域共振结 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 电磁波传播、散射示意图 二维光子晶体示意图 … OOoOOO 散射 对于多数λ,入射束能没有散射地通过晶体 ·但对某些A-2a,不能通过:光子禁带 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 声子晶体 • 不含时弹性波波动方程 • ρ是质量密度，λ和μ是Lame系数，u是位移 矢量 • 如果ρ，λ和μ也是空间位置r的周期函数， * 其解也满足Bloch定理 ∗ ω有限制，形成频率隙，某些频率不能传播 ( )( ) u u u 2 λ + 2μ ∇ ∇ • − μ∇×∇× = −ρω ρ() ( ) () r = ρ r + R ，λ r = λ(r + R) () ( ) ，μ r = μ r + R , u () () () ( ) r r k r k r R k r k = k = + − ⋅ U e U U i ， http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 超声波禁带 • PRL 80, 1208 (1998) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 躁音禁带 • Science 289, 1734 (2000) • 硅胶包裹着铅球 * SC，a=1.5cm * 硬球软包裹层Æ 有效负弹性系数 * 晶格常数比带隙 波长小两个量级 • 并不是Bragg散射 * 而是局域共振结 构产生的频隙 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 光子晶体 • 不含时的Maxwell方程，H也可以以E替代 • 频率与介电常数有关，与波矢成线性关系 • 如介电常数ε是位置的周期函数： ε(r)= ε(r+R) • 受这个周期性介电常数的约束 * 方程为本征值方程 * 解也为Bloch形式 ∗ ω有限制，形成频率隙，某些频率不能传播 H H 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∇× ∇× = c ω ε http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 散射 电磁波传播、散射示意图 ( ) , ~ i t e k⋅r−ω E H λ π ω 2 k = / c = k http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 二维光子晶体示意图 • 对于多数λ，入射束能没有散射地通过晶体 • 但对某些λ~2a，不能通过：光子禁带 ( ) , ~ i t e k⋅r−ω E H λ π ω 2 k = / c = k ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • a
ID、2D、3D光子晶体示意图 三维光子晶体:完全禁带 APL77,3490(2000)上 12:1 丽鹏 ·带有光子禁带的光“绝鰾体 种p∥45.2413che國体学 体理学 制作过程示意图 自然界中的光子晶体 蝴蝶磨 PLante SoD 蛋白石 Dpea msi 45.24132che学 32-igche 体理学 Maxwel方程a(n:介电函数,有约束V.H=0 面心立方光子晶体结构 xE=-12B=1B·如果介电画 PRL63,1950(1989) ·球空气组成的人工 函数,则解 介电品体被实验观察 ⅴ×H =1E满足Bh定 到光子能带结构 H(x,) i-er) V×=V×H= 本征符 本征值本征态 种的45.24132he园体物学 趣452413 binche物理学
3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 1D、2D、3D光子晶体示意图 • 带有光子禁带的光“绝缘体” 1887 1987 2-D periodic in two directions 3-D periodic in three directions 1-D periodic in one direction http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 三维光子晶体：完全禁带 • APL 77, 3490 (2000) • ε = 12:1 I: rod layer II: hole layer http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 制作过程示意图 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 自然界中的光子晶体 蝴蝶翅膀 6.21µm 孔雀羽毛 蛋白石 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 Maxwell方程 • 如果介电函 数是周期性 函数，则解 满足Bloch定 理 r ∇ × r E = − 1 c ∂ ∂t r H = i ω c r H r ∇ × r H = ε 1 c ∂ ∂t r E + r J = i ω c ε r E ∇ × 1 ε ∇ × r H = ω c ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 r H 本征算符 本征值 本征态 ∇⋅ r ε(r)：介电函数，有约束 H = 0 r H ( r x ,t) = e i r k ⋅ r ( ) x −ωt r H r k ( r x ) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 面心立方光子晶体结构 • PRL 63, 1950 (1989) * 球—空气组成的人工 介电晶体被实验观察 到光子能带结构
没有贯通整个 Brillouin区频隙 2、一维光子晶体都有禁带(1887) PRL65,2646(1990) ·对于均匀介质(与自由 电子气好有一比) 频率与波矢成线性关系 *在U点和Wk轴, E(r,t=U(x)e(-) 整个 Brillouin区 s(r)ax ar' 种p∥45.2413che國体学 体理学 空晶格模型 微扰法看带隙 假定有周期性 如有一微扰介电画数:x)=1+4cos(2πxa) x)6(x+a) 对4>0,则cs(x)更靠近高介电常数中心,因 此频率较低 I/a 45.24112gche园体制学 邮452413 binche体理学 3、电子晶体和光子晶体比较 电子晶体和光子晶体比较 质球搜金刚石结构排列 ·强相互作用 无相互作用 ·名种近似 ·任何精度 1.数值实验离散时闻和空间 称性和守恒定律箔给可能的态和相互作用:能带 强相互作用:困滩向题 无相互作用/筒单问题 132-iche 学 趣452413 binche物理学
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 没有贯通整个Brillouin区频隙 • PRL 65, 2646 (1990) * 在Brillouin区的大 部分区域有赝频隙 * 在U点和W-K轴， 有简并，没有贯通 整个Brillouin区 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 2、一维光子晶体都有禁带(1887) • 对于均匀介质（与自由 电子气好有一比） * 频率与波矢成线性关系 ε 1 ω k 0 ε ω ck = ( ) 2 2 2 2 2 t E x E x c ∂ ∂ = ∂ ∂ ε ( ) () i(kx t) k E x t U x e −ω , = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 空晶格模型 • 假定有周期性 ε(x) = ε(x+a) * 折叠 e + π a x , e − π a x → cos π a x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ , sin π a x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ k ω -π/a 0 π/a ε 1 ε ω ck = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 微扰法看带隙 • 如有一微扰介电函数：ε(x) = 1+ Δ cos(2π x/a) • 对 Δ > 0，则cos(x)更靠近高介电常数中心，因 此频率较低 • 对 Δ << 1， Δω / ω∼ Δ / 2 禁带 ω 0 π/a sin π a x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ cos π a x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ a ε 1 ε 2 ε 1 ε 2 ε 1 ε 2 ε 1 ε 2 ε 1 ε 2 ε 1 ε 2 x = 0 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 3、电子晶体和光子晶体比较 原子按金刚石结构排列 电子能量 周期性介质 Bloch 波: 能带结构 介质球按金刚石结构排列 光子频率 强相互作用：困难问题 无相互作用：简单问题 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 电子晶体和光子晶体比较 • 电子 • 强相互作用 * 难以描写 * 各种近似 • 光子 • 无相互作用 * 容易描写 * 任何精度 1. 数值实验——离散时间和空间 2. 用对称性和守恒定律描绘可能的态和相互作用：能带 结构
电子和光子本征值问题 禁带原因 电子 光子 Hermitian本征值问题 解正交归一并满足变分原理 电子 光子 ·动能加势能取极小·动能除势能取极小 非线性本征值问题·简单线性问题 线性矩阵 关,必须自治选代求 *已有很多计算方法 高能带与低能带正交,低能带全占据,高低能带分离 振荡高动能或低介电常数(高势能) 厄密矩阵=实数本征能和频率,罔期牲= Bloch's定理 p:∥4.24I32che 心学 体理学 4、光子晶体的应用 高性能反射镜 利用频隙 ·如用无吸收材料制成的光子晶体,几乎100%反 反射镜、过滤器 射某种频率的入射光 偏振器、开关 金属? ·利用靠近频带边界的效应:群速为零或为负 在很大的频率范围内反射,但红外和光学波段有很 大的吸收 负有效质量 负折射:超校镜,起透镜 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 高效分光量 负折射光子晶体 thanee prorarrasson rough Wiae angte Spare 负折射率 聚焦 OoO 种∥45.24132kdhe园体物学 趣452413 binche物理学
5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 电子和光子本征值问题 • 电子 • 非线性本征值问题 * V与电荷密度|ψ| 2有 关，必须自洽迭代求 解 • 光子 • 简单线性问题 * 线性矩阵 * 已有很多计算方法 − h2 2m ∇2 + V ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ψ = Eψ ∇ × 1 ε ∇ × r H = ω c ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 r H 厄密矩阵= 实数本征能量和频率, … 周期性= Bloch’s定理… http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 禁带原因 电子 • 动能加势能取极小 光子 • 动能除势能取极小 • Hermitian本征值问题 * 解正交归一并满足变分原理 ω2 = minr E ∇ × r E 2 ∫ ε r E 2 ∫ c 2 • 高能带与低能带正交，低能带全占据，高低能带分离 • 振荡(高动能)或低介电常数 ε (高势能) E = min(T +V ) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 4、光子晶体的应用 • 利用频隙 * 反射镜、过滤器 * 偏振器、开关、 * 放大器、棱镜、… • 利用靠近频带边界的效应：群速为零或为负 * 光波导 * 光聚焦器 * 负群速、负有效质量 * 负折射：超棱镜，超透镜 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 高性能反射镜 • 如用无吸收材料制成的光子晶体，几乎100%反 射某种频率的入射光 * 可制作高性能天线 • 金属？ * 在很大的频率范围内反射，但红外和光学波段有很 大的吸收 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 高效分光器 J. Opt. Soc. Am. B 18, 162 (2001) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 负折射光子晶体 PRB 62, 10696 (2000) 负折射率 聚焦 二维棒