复旦大学：《固体物理学》课程f教学资源（讲稿）第29讲 晶格振动谱的实验测量

第29讲、晶格振动谱的实验测量 1、声子态密度频谱密度 1.声于态密度频谱密度 ·定义:频率在~0+da的dsdk 2.确定振动谱的实验方法 振动模式(格波)激为 p()da,p(a)即声于 晶格振动总结 态密度 与电子态密度相似,奇点 的性质也相似 种:∥45.24324kche國体学 政中4524l3-iche 体理学 Debye近似的声子态密度 Einstein近似的声子态密度 · Debve近似 g)=v, · Einstein近似的频率是常数,与波失无关,所 所以 3NS 们45.24132che回体学 趣452413 binche体理学 打法 2、确定振动谱的实验方 中子性质 色散关系(q) 中子仅与核有相互作用,可以毫无困难地穿透 ·使用中于能量:0.01V数量级,与声于的能量 中子非弹性散射 >吸收或发射声子 相同数量级 ·这样能量的中子的德布洛依波长几个埃,与晶 格常数同数量级 为什么中子 种的45.24132he园你物学 424l3iche物理学

1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第29讲、晶格振动谱的实验测量 1. 声子态密度——频谱密度 2. 确定振动谱的实验方法 3. 例题 4. 晶格振动总结 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、声子态密度——频谱密度 • 定义：频率在ω~ω+dω的 振动模式(格波)数为 ρ(ω)dω，ρ(ω)即声子 态密度 • 与电子态密度相似，奇点 的性质也相似 ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∇ = − = q q q l l l V dS d V π ω δ ω ω π ρ ω 3 3 2 2 () () ( ) ( ) ∑ ∑∫ ∇ = = l l l l V dS π ω q ρ ω ρ ω 3 2 kx ky kz dSdk http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 Debye近似的声子态密度 • Debye近似 ( ) q v q ω = p • 所以 ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > < = D 3 D 2 2 0, , 2 3 ω ω ω ω ω ρ ω π p v V http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 Einstein近似的声子态密度 • Einstein近似的频率是常数，与波矢无关，所 以 ( )( ) ρ Einstein ω = 3Nδ ω −ωEinstein http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 2、确定振动谱的实验方法 色散关系ω(q) 中子非弹性散射 吸收或发射声子 为什么中子？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 中子性质 • 中子仅与核有相互作用，可以毫无困难地穿透 晶体 • 使用中子能量：0.01eV数量级，与声子的能量 相同数量级 • 这样能量的中子的德布洛依波长几个埃，与晶 格常数同数量级

中子和声子相互作用 如果入射中子能量为零,或很小可忽略(冷中子 散射),则守恒关系为 能量守恒 +吸收声子 蚤然不能发射声子,但可能吸收 激发声子 =ho(p)一个声于,对任何声子,至少有 个解 动量守恒P=p土加q+K选择侧格夫K使 ·真实情况入射中子能量不为零 (q)o(q+K)一布里渊 在第 守恒关系现为P_±h P 种:∥45.24324kche國体学 中45 E(hk+h△k)-E(hk)=ho(△k) ·入射中子能量不为零 ·中于散射铅(面 改写守恒关系,将前图平移k,再向下平移E(hk) 心立方)的振动 交点即解,得到一些分裂的k值,得到频率 心圆 实验中,改变入射能量、角度,探测中子方 空心国和叉分 向,就可以得到完整的频谱 别是三次测量 的结果,引自 可以看到在 Gamm到X轴 上,两个横向 模是简并的 趣452413 binche体理学 中子散射铝(面心 光子受声子的非弹性散射 立方)的声子谱 ·可见光吸收或发射声子而被散射,能量变化很 引自J.Yare 小,但是现代技术还是可以测量的 Lattice Dynamics Pergamon, New York,i 频率和波夫分别为,k的光子入射 参与散射的声子的频率和波失分别 ·注意两个横向模在 q,散射光子的频率和波夫分别为 Gamm到X点简并 在昌体中,光的波矢是真空中的n倍, 光子波矢改变很小近似等腰三角形 动量和能量守衡给出 种的45.24132he园你物学 424l3iche物理学

2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 p'= p ± hq + hK ( ) q p p = ± hω 2m 2m ' 2 2 中子和声子相互作用 能量守恒 k k’ 动量守恒 +吸收声子 -激发声子 ω(q) ⇔ ω(q + K) 选择倒格矢K使 q在第一布里渊 区 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ± h h p p p' p 2 2 ' 2 2 ω m m 守恒关系现为 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 • 虽然不能发射声子，但可能吸收 一个声子，对任何声子，至少有 一个解 • 真实情况入射中子能量不为零 ( )' 2 ' 2 2 p p hω h = m • 如果入射中子能量为零，或很小可忽略（冷中子 散射），则守恒关系为 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 • 入射中子能量不为零 * 改写守恒关系，将前图平移-k，再向下平移 • 交点即解，得到一些分裂的k’值，得到频率 • 实验中，改变入射能量、角度，探测中子方 向，就可以得到完整的频谱 E( ) hk + hΔk − E(hk) () = hω Δk E(hk) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 • 中子散射铅(面 心立方)的振动 谱。实心圆、 空心圆和叉分 别是三次测量 的结果，引自 Phys. Rev. 128, 1099 (1962). • 可以看到在 Gamm到X轴 上，两个横向 模是简并的 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 • 中子散射铝(面心 立方)的声子谱， 引自J. Yarnell, Lattice Dynamics, Pergamon, New York, 1965. • 注意两个横向模在 Gamm到X点简并 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 光子受声子的非弹性散射 • 可见光吸收或发射声子而被散射，能量变化很 小，但是现代技术还是可以测量的 • 频率和波矢分别为ω, k的光子入射到晶体上， 参与散射的声子的频率和波矢分别为ωs(q), q ，散射光子的频率和波矢分别为ω’, k’ * 在晶体中，光的波矢是真空中的n倍，n是折射率 • 光子波矢改变很小，近似等腰三角形 * 可确定q • 动量和能量守衡给出： hω'= hω ± hωs (q) nk'= nk ±q ± K k k’ q

拉曼散射和布里渊散射 3、例题 ·可见光波失比第一B区尺度小得多,所以只有 设有一雏高子晶体,正负高子的质量分别为M 声子波夫q在第一B区,动量守恒才能被满足 和M,它们之间的势能可表示成 确定B区中心附近频谱 发射和吸收光学声子的散射称为拉曼散射 发射和吸收声学声子的散射称为布里渊散射 这里为两离子间距,m和b常数 ·光子频率改变确定声子频率 1.确定晶格常数,力常数 思考:能否用X射线做散射实验?优缺点 2.若只考虑最近邻原子相互作用,在简谐近似 下,求色散关系和频率分布函数 3.若采用 Delve模型,求频率分布函数, Delve 江度 种:∥45.24324kche國体学 体理学 解 运动方程 根据势能导敷为零的点是平衡位置,即在平衡 B(x2m3+x,-x 位置时,U(r)取极小值 dU()1 M,“2=B(x2m3+x2m-x2m2) 令解具有形式 ·可以得到晶格常数2a 2n+1一 A (n 们45.24132che回体学 趣452413 binche体理学 代入后可得 ·一维时,频率分布函敷为 1==4(g ogtt dq MM M=M+M 共有两支格波。对声学支格波,可得 0≤ aaB 2B-Ho3s )-Mo3, (2B-Ho 34) ·对光学支格波,可得 种的45.24132he园你物学 2√M(B-0学)

3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 拉曼散射和布里渊散射 • 可见光波矢比第一B区尺度小得多，所以只有 声子波矢q在第一B区，动量守恒才能被满足， 确定B区中心附近频谱： * 发射和吸收光学声子的散射称为拉曼散射 * 发射和吸收声学声子的散射称为布里渊散射 • 光子频率改变确定声子频率 • 思考：能否用X射线做散射实验？优缺点？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 3、例题 这里r为两离子间距，n和b常数 1. 确定晶格常数，力常数 2. 若只考虑最近邻原子相互作用，在简谐近似 下，求色散关系和频率分布函数 3. 若采用Debye模型，求频率分布函数，Debye 温度 设有一维离子晶体，正负离子的质量分别为M+ 和M- ，它们之间的势能可表示成 n n nr b r U r 1 1 − ( ) = − + http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 解 • 根据势能导数为零的点是平衡位置，即在平衡 位置时，U(r)取极小值 0 ( ) 1 1 1 1 1 2 1 2 = − = − = + − = + − n n r a n n a b r a b dr r dU r a = b 3 2 1 2 3 2 ( 1) ( ) 2 ( 1) − + − = = − + = = − + n b b n b dr b d U r n n r b β • 可以得到晶格常数2a。 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 • 运动方程 ( ) ( ) 2 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 + + + + + + + + − = + − = + − n n n n n n n n x x x dt d x M x x x dt d x M β β • 令解具有形式 [ ] i[ ] ( ) n aq t n i n aq t n x Be x Ae ω ω + − + + − + = = 2 2 2 2 (2 1) 2 1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 • 代入后可得 [ ] ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + + − ± + + − + + − + − 2 1 2 2 2 ( ) (M M ) M M 2M M cos(2qa) M M q β ω ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − − 1 2 2 4 2 1 1 / ( ) sin (qa) M q μ μ β ω 声学 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + − 1 2 2 4 2 1 1 / ( ) sin (qa) M q μ μ β ω 光学 + − + − = M = M + M M M M μ 最大 声学 M β ω 2 0 ≤ ≤ μ β ω 2β 2 ≤ 光学 ≤ M最小 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 • 一维时，频率分布函数为 ( ) ( ) ∑ ∑ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∇ = i i i i dq L d q q L 1 1 ω ( ) π ω π ρ ω • 共有两支格波。对声学支格波，可得 [ ( ) ( )] ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 4 2 2 声学 声学 声学 声学 声学 β μω ω β β μω ω β μω − − − − = M a M dq d q / ( ) • 对光学支格波，可得 [ ( )( )] ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 4 2 2 光学 光学 光学 光学 光学 β μω ω β β μω ω β μω − − − − = M a M dq d q / ( )

若采用 Delve模型,则 在一维双原子的情况下,晶体的总自由度数 时 p(a)=2业=L1 C pela=2N=- 于是 种:∥45.24324kche國体学 体理学 例题 解 三维晶体在q0附近的一支光学支的色散关 on-o(q)=9等频率面方程为 系为 q)=0-(4,q2+A,2+Ag2) q2,9,q 求频率分布函数 令a2=9A4b2=9/A4,c2=/4 gr. qy.g 们45.24132che回体学 趣452413 binche体理学 ·在等频率面内的振动模数 例题 v( 对长度为L的一维原子链如果只考虑最近邻相 N(a)= 互作用,诚证明格林愛森常数 ·于是,根据频谱密度的定义 4x(A14 与波夫q无关 ·可以从频谱密度公式,也可从频谱密度的定 义,即的如+da之间的状态数,从q空间状 态密度是常敷求频谱密度 种的45.24132he园你物学 424l3iche物理学

4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 • 若采用Debye模型，则 v q ω = p • 一维时 ( ) p v L d L dq 1 π ω π ρ ω = = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 • 在一维双原子的情况下，晶体的总自由度数 a L a L N = = 2 2 2 • 所以 ( ) ∫ = = D a L d N ω ρ ω ω 0 2 • 于是 D p p v L d v L d a L D D ω π ω π ρ ω ω ω ω = = = ∫0 ∫0 ( ) k a v k B p B D D hω hπ Θ = = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 例题 • 设三维晶体在q~0附近的一支光学支的色散关 系为 求频率分布函数。 ( ) ( ) 2 2 2 ω q =ω0 − Axqx + Ayqy + Azqz http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 解 • ω0 −ω(q) ≡ Ω 等频率面方程为 • 令 x y Az a = Ω / A b = Ω / A c = Ω / 2 2 2 • 有 1 2 2 2 2 2 2 + + = c q b q a qx y z 1 2 2 2 = Ω+ Ω+ Ω z z y y x x A q A q A q / / / http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 • 在等频率面内的振动模数 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2 0 3 2 3 6 4 2 / / AxAyAz V abc V N ω ω π π π ω − = = • 于是，根据频谱密度的定义 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0 2 4 1 1 / / AxAyAz d dN V ω ω ω π ω ρ ω − = = − • 可以从频谱密度公式，也可从频谱密度的定 义，即ω~ω+dω 之间的状态数，从q空间状 态密度是常数求频谱密度 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 例题 • 对长度为L的一维原子链如果只考虑最近邻相 互作用，试证明格林爱森常数 d L d ln lnω γ = − 与波矢q无关

例题 的取值 一维单原子链,原子质量M,在平衡位置附近 q=nm=0+12+3 两原子间的相互作用势能为 中2=m=n U()=U0-m++ 和《均为常数,只考虑最近邻原子作用 简谐近似下求色散关系和比热 对其取时数后2lna=M ·考虑非简谐项,求 Gruneisen常数和它的线膨 胀系数 d InL 2d In a 2B da 种:∥45.24324kche國体学 体理学 解 力常数与晶格常敷有关 如令 晶格常教为a力常数B-1d 可得解为 olg) ·可得比热为 ·频率分布函敷为 ·丁 · Delve江度为 们45.24132che回体学 趣452413 binche体理学 ·由前一例题得到, Gruneisen常数在一维时为 ·热膨胀系敷可写成 dInodIno 1 a dB nL 2B da 所以 ·一維时,弹性模量为 Bd2Bn+如a 即 Gruneisen常敷取决于非简谐项系数 B=7+如>0简谐项系数,n>0n/a>-5 于是 ·将势能按平衡位置写成 a=s,如 U()=U0-分3-m2+1(n+a)r-a)2+2(-a) 热膨胀系数与非简谐项系数有关 种的45.24132he园你物学 424l3iche物理学

5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 • q的取值 2 sin 2 4 2 qa M β ω = , 0, 1, 2, 3,... 2 = n n = ± ± ± L q π n N na Na na L qa 2π 2π 2π = = = N n M β π ω2 2 sin 4 = • 对其取对数后 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = N n M β π ω 2 2 ln sin 4 2 ln ln da a d d a d d L d β β ω β γ 2 ln 2 ln ln ln = − = − = − http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 例题 η和ζ均为常数。只考虑最近邻原子作用 • 求简谐近似下求色散关系和比热 • 考虑非简谐项，求Grueneisen常数和它的线膨 胀系数 2 2 3 0 6 1 2 1 2 1 U r U ηa ζa ⎟r + ηr + ζr ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ( ) = − + • 一维单原子链，原子质量M，在平衡位置附近 两原子间的相互作用势能为 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 解 • 晶格常数为a，力常数 ( ) a dr d U r r a β =η +ζ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = 2 2 • 可得解为 ( ) 2 2 qa M q sin β ω = • 频率分布函数为 ( ) 1 2 2 1 1 2 4 2 / cos − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = = = −ω β π β π ω π ρ ω a M M qa L a L dq L d M β ω 最大 = 2 kB kB M D hω 2h β Θ = = • Debye温度为 最大 力常数与晶格常数有关 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 • 如令 ( ) ( ) ∫ Θ − Θ − = T D x x V B D e T x x e dx k a L C / / 0 2 2 2 2 1 2 π • 可得比热为 k T x B hω = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 • 由前一例题得到，Grueneisen常数在一维时为 da a d d L d d V d β β ω ω γ 2 1 ln ln ln ln = − = − = − • 所以 a a a da a d η ζ ζ β β β γ + = − = − 2 1 2 1 • 即Grueneisen常数取决于非简谐项系数 β =η +ζa > 0 简谐项系数，η > 0 η / a > −ζ ( )( ) ( ) 3 2 2 3 0 2 6 1 2 1 3 1 U(r) = U − a − a + + a r − a + r − a ζ ζ η η ζ • 将势能按平衡位置写成 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 • 热膨胀系数可写成 B cV γ α = • 一维时，弹性模量为 a( ) a r U r a a B ⎟ = η +ζ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − = • 于是 ( )2 2a a a cV η ζ ζ α + = − • 热膨胀系数与非简谐项系数有关