第22讲、解读能带 1、空晶格模型能带结构 1.空晶格樸型能带结构 ·关健是将邻近高布里渊区移入第一布里渊区 书中图3.8讲解 由倒格子基失得到倒格点,取最邻近的倒格 书中习题3.3解吝 移动到第一布里渊区 2.能带结构得到的信惠 典型带:金、惰性气体昌体、高子昌体、共 k“,h=1.2m= E(k+k)=(k+K) (k,+K,)+(,+K,)+(k2+k,) 4,k,k}0~边界 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 面心立方结构第一布里渊区 沿r~X的空晶格能带 面心立方的侧格子是体心立方 ·1100方向,边界面在X:(1,0,0)2ma上 最近邻倒格点有八 电子在100方向上的能量为 原点到这八个最近邻的侧格点的 中垂面围成八面体 但这还不是第一B区,而次近年侧,2x61 E=(k.+K.)+K2+K2,k.:0 原胞的体积,形咸如图的幕一B区2(1a(.n 当K=0时,上式为:E(k,)=k,而k,0-2x 高对称点坐标单位2m/m →E()=0,E(X) r:(0,0,0),L:(5.5.5),X:(1,0,0 2x(20.0)2x(0,+2,0) 45.24112gche园体制学 2x(0,0,±2) 趣452413 binche体嚼理学 2a.)2x6,u,T ·这八个最近邻倒格点都在第二布 里洲区,巷移到第一布里渊区都是202rn 这六个次近邻的倒格点荐到第2(202020) 布里洲区也都是点 2x(0,0 r点 当K为2(2.02x(0,±2.0)20.,±2)时,分两种情况 当K=二(土1,土1,±1时,前式为 l、E(,)=k,±2 E()-(4:2)(2)-(2)-:2)+2 E(T)=4E, E(r)= 故:E()=3EE(x) 6E0都是四度简并的 2、E(k,)=(k,) (k,)+4E。 E(T)=4E0,E(X)=5E0,四度简并 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第22讲、解读能带 1. 空晶格模型能带结构 * 书中图3.8讲解 * 书中习题3.3解答 2. 能带结构得到的信息 * 典型能带：金属、惰性气体晶体、离子晶体、共 价晶体 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、空晶格模型能带结构 • 关键是将邻近高布里渊区移入第一布里渊区 • 由倒格子基矢得到倒格点，取最邻近的倒格 点，移动到第一布里渊区 ( ) , 1, 2 1 2 ( ) 0 2 2 2 = = = = = m m E V h h k k k r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } , , : 0 ~ 边界 2 2 2 2 x y z x x y y z z k k k k K k K k K E = + + + + + k + K = k + K http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 面心立方结构第一布里渊区 • 面心立方的倒格子是体心立方， 最近邻倒格点有八个 • 原点到这八个最近邻的倒格点的 中垂面围成八面体 • 但这还不是第一B区。而次近邻倒 格点有六个，截去八面体的六个 顶锥，成14面体，正好是倒格子 原胞的体积，形成如图的第一B区 • 高对称点坐标(单位2π/a) * Γ: (0,0,0), L: (.5,.5,.5), X: (1,0,0), * K: (.75,.75,0), W: (1,.5,0) ( ) ( ) ( ) 0,0, 2 2 0, 2,0 2 2,0,0 , 2 ± ± ± a a a π π π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1,1 2 1 ,1,1 , 2 1 ,1,1 , 2 1 ,1,1 , 2 1,1 ,1 2 1,1 ,1 , 2 1,1,1 , 2 1,1,1 , 2 a a a a a a a a π π π π π π π π http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 沿Γ~X的空晶格能带 • [100]方向，边界面在X:(1,0,0)2π/a上 • 电子在[100]方向上的能量为 ( ) a E k K K K k x x y z x 2π , : 0 ~ 2 2 2 = + + + ( ) () ( ) 0 2 2 2 0, 2 0 : 0 ~ E a E E X a E k k k x x x ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ Γ = = = = π π 当K 时，上式为： ，而 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1,1 2 1 ,1,1 , 2 1 ,1,1 , 2 1 ,1,1 , 2 1,1 ,1 2 1,1 ,1 , 2 1,1,1 , 2 1,1,1 , 2 a a a a a a a a π π π π π π π π • 这八个最近邻倒格点都在第二布 里渊区，移到第一布里渊区都是 Γ点 ( ) ( ) 故： () ( ) ， 都是四度简并的 当 时，前式为 , 6 2 3 2 2 2 2 2 1, 1, 1 2 0 0 0 0 2 2 2 2 ⎩ ⎨ ⎧ Γ = = ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ± ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ± = ± ± ± E E E E E X E a k a a a E k k a x x x π π π π π K http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 ( ) ( ) ( ) 0,0, 2 2 0, 2,0 2 2,0,0 , 2 ± ± ± a a a π π π ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ()() ( ) () ( ) ，四度简并 、 、 当 为 时，分两种情况 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 4 , 5 4 2 2 2 9 4 , 2 1 2 0,0, 2 2 0, 2,0 , 2 2,0,0 , 2 E E E X E k E a E k k E E E E E X a E k k a a a x x x x x Γ = = ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⎩ ⎨ ⎧ Γ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ± ± ± ± π π π π π K • 这六个次近邻的倒格点移到第 一布里渊区也都是Γ点
主要晶体结构高对称点 第一布里渊区(bec) ·SC:筒立方(单位丌a) ·体心立方的倒格子是面心立 ·r:(0.,0,0),X:(1,0,0),M:(1,1,0),R:(11,1) 方,最近邻倒格点有十二个 ·FCC:面心立方(单位2ra) ·它们的中垂面围成十二面 体,正好是倒格子原胞的体 2(, T, o) L:(555),r:(0.,0,0),X:(1,0,0),K:(75,75,0), w:(,5,0),r:(0,0,0) 2(,.0)2(,o) BCC:体心立方(单位2m如a) 2(.0.)200) P:(1,L,1,r:(00,0,H:(1,0,0),N:(1,1,0), r:(0,0,0) 2(01)2(0,0,) ·HCP:六角密积2丌(2/sqrt(3)a,1/a,1/c) A:(0,0,1),r:(0,0,0),H:(,0,12k:(1,0,0), x0,T)20.1) L:(0,l,1,M:(0,1,0 2x6.T,)2a1,T) 种p∥45.2413che國体学 体理学 习题33解答 K==(1,l2,2) 对于单价原子构成的三維简单立方单原子晶格 它的例格子基夫为b1,b2b 100方向,边界面在(10,0)0m/m上b=a00 出沿100向的前4个能带,并标出能带的简 电子在100方向上的能量为 2.如果晶体受到均匀流体压强,情况如何? 3.如仅在100方向受到单轴应力,情况又如 E(r)=0,E(x)=E 何? k=2(-100E(,)=(k E(r)=4E,, E(x)=E K=20,0)E(,)=(k,+2),E()=4E,E(x)=9E 45.24112gche园体制学 2x0±10 a1(0,0,±1) E(k,)=k2+4Ea,E()=4E0,E(x)=5E 作图并讨论简并情况 2、能带理论计算能够得到的信息 简并情况:r:4E,6-fold ·能隙 2.如果晶体受到均匀流体压强,情况如何? ·能带跃迁 答:这时,由于三个方向同时受压力,均匀 导电性质(金属、绝缘体、半导体) 变化,所以对能带形状和简并度都不变 ·费米面 如仅在100方向受到单軸应力,情况又如 ·基态结构 能量状态密度 答:变形,由与y对称所导致的简并消除 晶体电子的速度 简并情况:r:4Ea,2+4fold 晶体电子的有效质量 Xi Eg, 2-fold: 5E,, 4-fold 空穴的概念 典型材料的能带结构 种45.2413yche是学 趣452412iche物理学
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 主要晶体结构高对称点 • SC：简立方(单位π/a) * Γ: (0,0,0), X: (1,0,0), M: (1,1,0), R: (1,1,1) • FCC：面心立方(单位2π/a) * L: (.5,.5,.5), Γ: (0,0,0), X: (1,0,0), K: (.75,.75,0), W: (1,.5,0), Γ: (0,0,0) • BCC：体心立方(单位2π/a) * P: (1,1,1), Γ: (0,0,0), H: (1,0,0), N: (1,1,0), Γ: (0,0,0) • HCP：六角密积2π (2/sqrt(3)a, 1/a, 1/c) * A: (0,0,1), Γ: (0,0,0), H: (1,0,1), K: (1,0,0), L: (0,1,1), M: (0,1,0) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 第一布里渊区(bcc) • 体心立方的倒格子是面心立 方，最近邻倒格点有十二个 • 它们的中垂面围成十二面 体，正好是倒格子原胞的体 积 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,1,1 2 0,1,1 , 2 0,1,1 2 0,1,1 , 2 1,0,1 2 1,0,1 , 2 1,0,1 2 1,0,1 , 2 1,1,0 2 1,1,0 , 2 1,1,0 2 1,1,0 , 2 a a a a a a a a a a a a π π π π π π π π π π π π http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 习题3.3解答 对于单价原子构成的三维简单立方单原子晶格， 1. 在空晶格近似下，用简约布里渊区图式，画 出沿[100]方向的前4个能带，并标出能带的简 并度。 2. 如果晶体受到均匀流体压强，情况如何？ 3. 如仅在[100]方向受到单轴应力，情况又如 何？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 解 • 它的倒格子基矢为b1, b2, b3 • [100]方向，边界面在(1,0,0)π/a上 • 电子在[100]方向上的能量为 ( ) ( ) ( ) 0,0,1 2 0,1,0 2 1,0,0 2 3 2 1 a a a π π π = = = b b b ( ) a E k K K K k x x y z x π , : 0 ~ 2 2 2 = + + + ( ) ( ) () ( ) 0 2 0,0,0 , , 0, 2 E k k E E X E a = x = x Γ = = π K ( ) () () ( ) 0 0 2 , 4 , 9 2 1,0,0 , 2 E E E X E a E k k a x x ⎟ Γ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = + π π K ( ) () () ( ) 0 0 2 , 4 , 2 1,0,0 , 2 E E E X E a E k k a x x ⎟ Γ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − = − π π K ( ) ( ) ( ) () ( ) 0 0 0 2 , 4 , 4 , 5 0,0, 1 2 0, 1,0 E k k E E E E X E a x = x + Γ = = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ± ± = π K kx ky kz ( ) 1 2 3 , , 2 l l l a π K = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 • 作图并讨论简并情况 简并情况：Γ：4E0，6-fold； X： E0，2-fold；5E0，4-fold 2. 如果晶体受到均匀流体压强，情况如何？ • 答：这时，由于三个方向同时受压力，均匀 变化，所以对能带形状和简并度都不变 3. 如仅在[100]方向受到单轴应力，情况又如 何？ * 答：变形，由x与yz对称所导致的简并消除 简并情况：Γ：4E0，2+4-fold； X： E0，2-fold；5E0，4-fold http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 2、能带理论计算能够得到的信息 • 能隙 • 能带跃迁 • 导电性质（金属、绝缘体、半导体） • 费米面 • 基态结构 • 能量状态密度 • 晶体电子的速度 • 晶体电子的有效质量 • 空穴的概念 • 典型材料的能带结构
带间跃迁:直接跃迁和间接跃迁 Si和Ge能带 价带电子吸收一个光子,跃迁到导带,应满足 ·价带顶在『点,三度筒并 能量动量守恒定律 sp杂化轨道共价健的特征 e(k) E(4)中间带 r点导带Si是三度简并能级100 底比一度的低,而Ge的三度 简并能级比一度的高。因为 中芯态只有2和2p态, 类s态,分别受芯态和s排 斥,对s的排斥强于对p的 度简并的低 氢授跃迁 简授跃迁 而在Ge中芯态有3313d,对不 类p态的排斥更强,所以导a 带中类P态的能级高 XW轴上的简并是金刚石结 构原胞内两个原子完全相同 的对称性特征,类似的闪锌 矿结构,原胞内两个原于不 同,价带底会有“gap Ge band str ·Si导带底靠近X点,而Ge的 靠近L点,两者都不是直接0 ·计算得到的结构与能量的关系 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 其他能带 Metall Al band structure 金 费米能级位于能带中 ·情性气体晶体 Al (3s23p') 高子晶休 3个传导电子 最低带s带,非常接 ·共价晶体 近自由电子 能量态密度也非常接 近E,类似于自由 电子气 米面穿越几个能带 不获 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
3 带间跃迁：直接跃迁和间接跃迁 k E(k) 导带 价带 k E(k) 中间带 导带 价带 • 价带电子吸收一个光子，跃迁到导带，应满足 能量动量守恒定律 直接跃迁 简接跃迁 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 Si和Ge能带 • 价带顶在Γ点，三度简并， sp3杂化轨道共价键的特征 • Γ点导带Si是三度简并能级 底比一度的低，而Ge的三度 简并能级比一度的高。因为 Si中芯态只有2s和2p态，三 度简并的是类p态，一度的是 类s态，分别受芯态p和s排 斥，对s的排斥强于对p的， 故三度简并的低 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 • 而在Ge中芯态有3s3p3d，对 类p态的排斥更强，所以导 带中类p态的能级高 • X~W轴上的简并是金刚石结 构原胞内两个原子完全相同 的对称性特征，类似的闪锌 矿结构，原胞内两个原子不 同，价带底会有“gap” • Si导带底靠近X点，而Ge的 靠近L点，两者都不是直接 能隙 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 • 计算得到的结构与能量的关系 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 其他能带 • 金属 • 惰性气体晶体 • 离子晶体 • 共价晶体 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 Metallic crystal • 费米能级位于能带中 • Al (3s23p1) • 3个传导电子 • 最低带s带，非常接 近自由电子 • 能量态密度也非常接 近E1/2，类似于自由 电子气 • 费米面穿越几个能带 * 不完全在第一B区， 不是连续的球面
·虚缄是自由电 子的结果,可 以看出,除了 边界,基本重 种:∥145.24l32che回 体理学 Cu(3d04s') 只一个4s4电子,费米能 ·Cu的费米面 级远高d带,只穿越带 敞费米面是近似球面 ·右上图(100)方向戳图 但在L一r区域不只穿越 右下图(110)方向截图 s带,所以在L处有一能 隙,米面有一颈部, 与邻近B区的费米面互连 如果没有,应诚也非 常接近自由电子 电子能带被带拦展截 是学 趣452413 binche体嚼理学 ce「 fce:r→X;bee:rH;hcp:r→K 位于yp带中间的3带一点点降到米能级以 能量单位 下,对于同晶格的更明显 种pp∥a45 是学 趣452413 richey回理学
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 • 虚线是自由电 子的结果，可 以看出，除了 边界，基本重 合 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 • Cu (3d104s1) • 只一个4s1电子，费米能 级远离d带，只穿越s带， 故费米面是近似球面 • 但在L—Γ区域不只穿越 s带，所以在L处有一能 隙，费米面有一颈部， 与邻近B区的费米面互连 • 如果没有d态，应该也非 常接近自由电子 • 现s带与d带作用，类自由 电子能带被d带拦腰截断 * 在有些k方向，可区分d带 和s带，有些不能区分，与 k有关的轨道相互作用 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 • Cu的费米面 • 右上图（100）方向截图 • 右下图（110）方向截图 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 • fcc：ΓÆX；bcc：ΓÆH；hcp：ΓÆK • 能量单位：Ryd d2s2 d3s2 d5s1 d6s2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 • 位于sp带中间的3d带一点点降到费米能级以 下，对于同晶格的更明显 d7s2 d8s2 d10s1 d10s2
·第一族过 渡盒属的 结构能 惰性气体晶体:Ar lonic crystal (localized features) 由于都是满亮层,电 ·特征:满壳层,电子交叠少 KCl band structure 移较少,因此,表现为占 直接能朦,大,绝鏮体 满的价带色散比较小 电荷完全从电负性小的K原 据态为p电子,最高 子转移到电负性大的C原子 ·价电子紧紧束婷在CL上 线 Hartree- ·实线考虑了关联效应 禁带宽度E:-EP 不同关联效应能带几 K的4和3d态空,近肖由 ·的3色散(变化) 能=14.6eV #实验14.2eV 小,形成很窄的能昏 #HFe.e\ Cl的3s,芯态,紧束鳟 敢散 45.24112gche园体制学 p452413 gche体理 X W K AgCl,半导体 AgCl band structure Covalent crystal(delocalized) d与C1的几 乎处于同一能级→必 须把4d当作类价态(赝 典型的是S和Ge ·共价健,具有很强的混合,退局城化 导致能带宽度比高子晶体大 互作用导致价带增宽 ·绝体或半导体 相互作用在整个B区 不同 X W K 种的45.24132he园体物学 趣452413 binche物理学
5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 • 第一族过 渡金属的 结构能 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 • 由于都是满壳层，电子转 移较少，因此，表现为占 满的价带色散比较小 * 最高占据态为p电子，最高 占据态在Gamma点 * 虚线Hartree-Fock * 实线考虑了关联效应 * 两种不同关联效应能带几 乎是平移 * 能隙=14.6eV # 实验=14.2eV # HF=17.9eV 惰性气体晶体： Ar http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 Ionic crystal (localized features) • 特征：满壳层，电子交叠少 • 直接能隙，大，绝缘体 • 电荷完全从电负性小的K原 子转移到电负性大的Cl原子 • 价电子紧紧束缚在Cl上 • 禁带宽度~ • K 的4s和3d态空，近自由 • Cl的3p 色散（变化）很 小，形成很窄的能带 • Cl的3s, 芯态, 紧束缚 • 色散小，局域！ a p c Es − E http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 • AgCl，半导体 • Ag 的4d 与 Cl 的3p几 乎处于同一能级Æ必 须把4d当作类价态(赝 势) • Ag 的4d 与 Cl 的3p相 互作用导致价带增宽 • 相互作用在整个B区 不同 * 这是因为d和p态间不 同的对称性，在 Γ 点，轨道的交叠抵 消，或说混合最小； 而在有些点如±π/a 点，轨道混合最大 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 Covalent crystal (delocalized) • 典型的是Si和Ge • 共价键，具有很强的混合，退局域化 • ——导致能带宽度比离子晶体大 • 绝缘体或半导体