第23讲、Mott绝缘体 1、Boch振荡 上讲补充 用一维紧束缚近似能带,讨论电子在外电场作 2.韶晶格电子态 用下的适动 ·先看紧束鳟能带,周期a,只考虑第一近 1.Mott绝繚体:金属一绝体转变 2.定性分析—Mot转变 E(k)=E年 3.定量计算 Hubbard:模型 4.无序系统 E(k)=E原+C+J(e 5.准电子单电子近似的有效性 E(k)=E取+C+2 J cos ka 专题6(123):能带论局限 种p∥45.2413che國体学 体理学 ()=ET +C+2 cos ka ·电子在k空间,能量沿着E(k)函数作周期性变化 因为J<0,所以能带底位于k=0,能带顶位于k=± 电子适动到B区边界,移出边 界,即在另一端移入,在k空 能带宽度4 作循环适动 ·遠度和有效质量分别为 de 度随m带加 在丌/2a处,m→∞,遠度最 m(k)=h -h2(2Ja cos ka) 超过丌/2a,m<0,开始减 速,在丌/为零(即 ·显然,在带底和带顶,速度都为零 而带底和带顶的有效质量分别为〔注意0) ·然后反向加遠;在-丌2a处反 m=-h2(22)>0 (2a2) 向最大,超过丌/2a后 m’>0,加遠。即遠度振荡 v(4)=-2b 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 来未滿能带的电子在外电场 用下漂移 ·形成电流,方向与外场方向 致,直到占满右半部,电流达 与电场同向最大值 ·越过B区丌边界,从丌进 入B区边界,直至占满左半 ·外电场存在时,能带发生倾斜 部,电流达与电场反向最大值 如果电子从A点开始运动,经B ·國复开始时的情况,电流为零 到C,对应k空间的从0→丌 ·就这样,电流从零到正的最 ·在C点邏到禁带(势垒),折 大,减少,到零,再到反向最 返,对应在k空间由m→ 大,形成振荡 Bloch报荡 丌/,再经B返回A,对应k空 在恒定电场下,产生交变电 间的从丌/→0 http:Ia45].132ichey 是学 趣452413 binche物理学
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第23讲、Mott绝缘体 • 上讲补充 1. Bloch振荡 2. 超晶格电子态 第3和4章小结 1. Mott绝缘体：金属—绝缘体转变 2. 定性分析——Mott转变 3. 定量计算——Hubbard模型 4. 无序系统 5. 准电子——单电子近似的有效性 专题6(12.3)：能带论局限 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、Bloch振荡 • 用一维紧束缚近似能带，讨论电子在外电场作 用下的运动 • 先看紧束缚能带，周期a，只考虑第一近邻， a ∑ ⋅ = + + 最近邻 原子 R k R (k ) i E E C J e ( ) ika ika E k E C J e e − = + + + 原子 ( ) E (k ) = E + C + 2 J cos ka 原子 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 • 显然，在带底和带顶，速度都为零 • 而带底和带顶的有效质量分别为（注意J<0） • 因为J<0，所以能带底位于k=0，能带顶位于 E ( ) k = E + C + 2 J cos ka 原子 a k π = ± • 速度和有效质量分别为 ( ) ( ) dk dE k v k h 1 = ( ) ( ) 1 2 2 * 2 − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = dk d E k m k h ( ) 2 0 1 2 2 = − > − ∗ m 底 h Ja ( ) 2 0 1 2 2 = < − ∗ m 顶 h Ja • 能带宽度4|J| ka Ja sin 2 h = − ( ) 1 2 2 2 cos − = −h Ja ka http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 • 电子运动到B区边界，移出边 界，即在另一端移入，在k空 间作循环运动 • 速度随时间振荡，带底时， m*>0，在外场作用下加速； • 在π/2a处，m*Æ∞，速度最 大； • 超过π/2a， m*<0，开始减 速，在π/a为零（即- π/a ）； • 然后反向加速；在-π/2a处反 向最大，超过-π/2a后， m*>0，加速。即速度振荡 • 电子在k空间，能量沿着E(k)函数作周期性变化 ( ) ka Ja v k sin 2 h = − http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 • 原来未满能带的电子在外电场 作用下漂移 • 形成电流，方向与外场方向一 致，直到占满右半部，电流达 与电场同向最大值 • 越过B区π/a边界，从-π/a进 入B区边界，直至占满左半 部，电流达与电场反向最大值 • 回复开始时的情况，电流为零 • 就这样，电流从零到正的最 大，减少，到零，再到反向最 大，形成振荡——Bloch振荡 • 在恒定电场下，产生交变电 流！ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 • 外电场存在时，能带发生倾斜 • 如果电子从A点开始运动，经B 到C，对应k空间的从0Æπ/a • 在C点遇到禁带（势垒），折 返，对应在k空间由π/aÆ - π/a，再经B返回A，对应k空 间的从-π/aÆ0 E x -qV x E x A C B
电于在实空间振荡 周期大、弛豫时间长就可以观察到 ·很难观测:电子将受到杂质、原子振动和缺陷 极低湿(散射可略),超晶格(周期大)中 的散射(碰撞),来不及完成振荡就被散射 观察到与这一振荡有关的负阻现象 观察到这种振荡的条件是m 提出一个全新的革命性概念—半导体人工起墨格 ~k空间速度/布里渊区宽度9/ 由两种半导体材料A和B交替地周期性选加而 成(如 GaAs/alga1xAs),一维 晶格常敷是101米的量级;弛豫时间是101秒 量级,滿足这个条件需要10V/M量级的电场强 度,击穿 种p∥45.2413che國体学 体理学 2、超晶格电子态 ·两种树料带隙不同,形成这样一维周期变化的 结构 为什么超晶格有这样的性质—能带 对电子或空穴分别形成势垒和势阱 单个势阱,有效质亚方法 d100来 V+v()l(r)=Ew(r) 波函数应为 代入后可得 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 假定V是个无限深势阱问题,可以解这个方程 ·有限深势阱,这时,波函数将是共有化的,即 得到 Bloch禹数 f(-)=1-sin 可以用单势阱波函数组成 Bloch和 E 以得到z方向的能带 能量是量子化的,与有效质量反比,与阱宽的 平方反比:势阱越窄,量子化效应越明显 E(k )=E+2.Jcoskd 般要小于100米才能看出来 ·原来分裂的能级现在扩展成能带,宽度4.J 是表示势阱间相互作用强度的量 崎和朱兆祥蚤然没有看到Boch振荡,但观 察到了电流随电压增加,然后随电压增加而下 降的所谓负电阻现象 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 • 电子在实空间振荡 • 很难观测：电子将受到杂质、原子振动和缺陷 的散射（碰撞），来不及完成振荡就被散射。 观察到这种振荡的条件是 ωτ >> 1 • 晶格常数是10-10米的量级；弛豫时间是10-13秒 量级，满足这个条件需要107V/M量级的电场强 度，击穿。 ω ~ k空间速度 / 布里渊区宽度 h h qEa a qE = 1 ~ / h qEa ω ~ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 • 周期大、弛豫时间长就可以观察到？ • 在极低温（散射可略），超晶格（周期大）中 观察到与这一振荡有关的负阻现象 * 1970年，日本科学家江崎和华裔科学家朱兆祥共同 提出一个全新的革命性概念——半导体人工超晶格 • 由两种半导体材料A和B交替地周期性迭加而 成(如GaAs/AlxGa1-xAs)，一维！ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 • 两种材料带隙不同，形成这样一维周期变化的 结构 • 对电子或空穴分别形成势垒和势阱 Eg ( ) A d~100纳米 Eg ( ) B 势阱 势垒 势垒 势阱 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 2、超晶格电子态 • 为什么超晶格有这样的性质——能带 • 单个势阱，有效质量方法 ( ) (r) (r) * V z ψ Eψ m ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ∇ +2 2 2 h • 波函数应为 (r) ( ) k// ρ e f z A i ⋅ = 1 ψ • 代入后可得 ( ) 2 ( ) ( ) 2 * 2 // 2 2 2 * 2 f z m V z f z E dz d m ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ = − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + h h k http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 • 假定V是个无限深势阱问题，可以解这个方程 得到 w n z w f z π ( ) sin 2 = n 1,2,... 2 2 * 2 // 2 2 * 2 , // ⎟ + = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = w m n m En k k h π h • 能量是量子化的，与有效质量反比，与阱宽的 平方反比：势阱越窄，量子化效应越明显。一 般要小于100纳米才能看出来 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 • 有限深势阱，这时，波函数将是共有化的，即 Bloch函数 • 可以用单势阱波函数组成Bloch和 = ∑ − n ik na e f z na N z z ( ) ( ) 1 ψ • 可以得到z方向的能带 E(kz ) = E0 + 2J cos kzd • 原来分裂的能级现在扩展成能带，宽度4J。J 是表示势阱间相互作用强度的量 • 江崎和朱兆祥虽然没有看到Bloch振荡，但观 察到了电流随电压增加，然后随电压增加而下 降的所谓负电阻现象
第3和4章要点 近自由电子近似(能隙宽度) · Bloch定理 空晶格模型的主要结论:费米面 w, (k, r+R,)=emly, (k, r) 由自由电子簧米面修正得到 ·推论一:周期性调幅的平面波—共有化运动 ·B区边界喷变、垂直过边界、钟角化等等 Fourier展开系数 w,(k, r)=eu(k,r) 甲4(r)=∑Cke u (,r)=u,(k, r+R 推论二:k空间的周期函数 r(r)=∑(Kkc w (k, r)=w (k+K, r) 归一系数Jf(rk 种p∥45.2413che國体学 体理学 能隙 紧束缚近似(能带宽度) 起因: E(k)=E+C+J∑e 平面波量布里渊区边界反射,形成驻波 关健是计算相因子的和 低,而分布处于原子核之间的驻波膨量比平面波高 ·从能带可得到的信惠: →布里渊区边界简并的能量被打开,形成能腺 ·能带宽度 能隙宽度 ·带顶和带底的有效质量(带顶和带庑的位置) 维情况下 E能理=2(K ·平均速度 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 能带理论解释 熟记要点 ·导体、半导体、绝体 ·能带的起因 ·带间跃迁 传导电子、空穴 波条件,微扰法,E22(n 能带的计算 近自由电子近似 紧束鲳近似 ·能带的信息 ·昌体电子这度,有效员量 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 第3和4章要点 • Bloch定理 • 推论一：周期性调幅的平面波——共有化运动 • 推论二：k空间的周期函数 (k,r R ) (k,r) k R n i n l l ψ e ψ ⋅ + = (k,r) (k,r) k r n i n e u⋅ ψ = (k,r) (k K ,r) ψ n =ψ n + m (k,r) = (k,r + R) un un http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 近自由电子近似（能隙宽度） • 空晶格模型的主要结论： 费米面 * 由自由电子费米面修正得到 * B区边界畸变、垂直过边界、钝角化等等、 • Fourier展开系数 ∑ ⋅ = K K r r K i V ( ) V ( )e ∫ − ⋅ K = r r K r V e d i ( ) 1 ( ) 归一系数 V ( ) ∑ + • Ψ = K k K r k K r i ( ) C e http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 能隙 • 起因： * 平面波遭布里渊区边界反射，形成驻波 * 相对于分布主要靠近原子核的驻波能量要比平面波 低，而分布处于原子核之间的驻波能量比平面波高 * Æ 布里渊区边界简并的能量被打开，形成能隙 • 能隙宽度： * 一维情况下 E能隙 = 2 V (K) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 紧束缚近似（能带宽度） • 关键是计算相因子的和 • 从能带可得到的信息： * 能带宽度 * 带顶和带底的有效质量（带顶和带底的位置） * 态密度 * 平均速度 • Bloch和 ∑ ⋅ = + + 最近邻 原子 R k R (k ) i E E C J e = ∑ ( ) − ⋅ R k R ψ k r ϕ r R i ( ) e = ∑ ( − − ) ⋅ R k R k r r R τ α α α ψ ϕ i ( ) e Ψ = ∑α α (r ) αψ (r ) k C k http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 能带理论解释 • 导体、半导体、绝缘体 • 带间跃迁 • 传导电子、空穴 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 熟记要点 • 能带的起因： * Bloch定理：共有化运动，k空间周期性，波函数是 调幅平面波 * 能隙：驻波条件，微扰法，Eg=2|V(n)| • 能带的计算： * 近自由电子近似 * 紧束缚近似 • 能带的信息： * 布里渊区，能隙，导带，价带，金属、半导体、绝 缘体，直接跃迁，间接跃迁 * 晶体电子速度，有效质量 * 费米面，态密度
l、Mott绝缘体:金属绝缘体转变 对 Bloch定理的挑战! 由 Bloch定理,可以得到 ·晶格常数很大时能带会发生什么变化? 电子在昌体中是共有化的,许可能级形成能带 注意:平移周期性x)=x+na)仍然保持 能带被电子填充至半满→金属 迅只有一个电子,填充情况 带被电子填充至全满,费米能级以 并且 能→绝缘体 · Bloch定理还成立吗? 现在做假想实验: ·显然,这是一系列互不相干的孤立原子的集合 棵°个電子形成笔子介半本 为什么从 Bloch定理得出完全不同的结论呢? 现在,保持该晶体的平移周期性,并拉开原子距 离,即让晶格常数慢慢地变大,直至无穷 检查Boch定理的证明过程有没有错误? 昆体的电子态性质会发生什么变化 种p∥45.2413che國体学 体理学 问题的转换 问题在单电子近似 如原子只有一个s电子,那么上述问题转化为 挤在一个原子上需要的关联能,但是 是天屋发 Boch定理却没有考虑—只有单电子 答策是否定的!因为这种移动需要很高的能量 问题在单电子近似,在关联能! 相当于将电子从一个原子电离,再放到另一原子上 och定理无聚是正确的,不窖兆战的!但它的 这鼎要能量,电离能减去亲和能,不可能自然发生 适用条件是单电子近似! 但对于 Bloch'电子,这却是可能的!为什么? 联过强的话,单电子近似在一定的条件下可 ·因为单电子势场是所有电子(离子)的平均势场 ·当一个电子从一个局城轨道适动 局城轨 问:这里平均势场究竟有什么含义? 道时,必须考虑后一轨道是已被占据还是空 对平均势场来说不区分这个原胞和那个原胞 如已占据,则应当计入库仑排斥能 个原子轨道全被占据,另一 个原子的孰道全空对 ·显然在能带理论中没有被考虑库仑排斥能 这一库仑排斥相互作用使能带状态发生变化 45.24132人che园学 体理学 2、定性分析Mo转变 Mot转变 Mot绝繚体 考察单电子孤立原子,互相靠拢形成一维晶体 的条件下 tt缘体 数盒 ·原子互相近,孤立原子的分裂能级展宽成能带 ·假定能带宽度在B2到B2的能量范围,总带宽为B 电子填充能带至半满时,电子平均能量约为 MnO,NiO等就是这样的绝繚体 设问:既然如此,那为什么大多数情况电子可 感相章擊菜哥电得游 以从这个原子转移到那个原子呢? 相对于孤立原子能级下降就是金属的内聚力 这是邻近原子之间的内聚能量与在位原子的排 最添类,量办因电3动魔 斥能量 相竞争的结果 平滑的可 分析一维情况 http:Ia45].132ichey 是学 趣452413 binche物理学
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 1、 Mott绝缘体：金属—绝缘体转变 • 由Bloch定理，可以得到： * 电子在晶体中是共有化的，许可能级形成能带 * 能带被电子填充至半满Æ金属 * 能带被电子填充至全满，费米能级以上全空，并且 占据和非占据能带之间有能隙Æ绝缘体或半导体 • 现在做假想实验： * 想象碱金属原子形成晶体，每个原胞一个原子，每 个原子一个电子，一个电子填充能带半满Æ导体 * 现在，保持该晶体的平移周期性，并拉开原子距 离，即让晶格常数慢慢地变大，直至无穷 * 晶体的电子态性质会发生什么变化？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 对Bloch定理的挑战！ • 晶格常数很大时能带会发生什么变化？ * 注意：平移周期性V(x)=V(x+na)仍然保持 * 碱金属原子晶体每个原胞只有一个电子，填充情况 只能半满，它还是金属吗？ • Bloch定理还成立吗？ • 显然，这是一系列互不相干的孤立原子的集合 • 为什么从Bloch定理得出完全不同的结论呢？ * 问题出在那里呢？ * 检查Bloch定理的证明过程有没有错误？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 问题的转换 • 如原子只有一个s电子，那么上述问题转化为： * 任一原子的最外层的轨道被两个电子占据或都是空的 情况是不是有可能发生？ • 答案是否定的！因为这种移动需要很高的能量 * 相当于将电子从一个原子电离，再放到另一原子上 * 这需要能量，电离能减去亲和能，不可能自然发生！ • 但对于 Bloch电子，这却是可能的！为什么？ • 因为单电子势场是所有电子(离子)的平均势场 • 问：这里平均势场究竟有什么含义？ • 对平均势场来说不区分这个原胞和那个原胞 * 一个原子s轨道全被占据，另一个原子的s轨道全空对 平均势场来说是一样的！ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 问题在单电子近似！ • 两个电子挤在一个原子上需要的关联能，但是 Bloch定理却没有考虑——只有单电子 • 问题在单电子近似，在关联能！ * ——Bloch定理无疑是正确的，不容挑战的！但它的 适用条件是单电子近似！ * 如果关联过强的话，单电子近似在一定的条件下可 能不成立！ • 当一个电子从一个局域轨道运动到另一局域轨 道时，必须考虑后一轨道是已被占据还是空 • 如已占据，则应当计入库仑排斥能 * 显然在能带理论中没有被考虑库仑排斥能 * 这一库仑排斥相互作用使能带状态发生变化 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 2、定性分析——Mott转变 • Mott绝缘体 * 在一定的条件下，一个基态是绝缘体的晶体，如果 忽略关联能，则可能错误地把它当作金属 * 这样的绝缘体称为Mott绝缘体，这种金属——绝缘 体的转变称为Mott转变 • MnO, NiO等就是这样的绝缘体 • 设问：既然如此，那为什么大多数情况电子可 以从这个原子转移到那个原子呢？ • 这是邻近原子之间的内聚能量与在位原子的排 斥能量之间互相竞争的结果！ * 分析一维情况 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 Mott转变 • 考察单电子孤立原子，互相靠拢形成一维晶体 * 原子互相靠近，孤立原子的分裂能级展宽成能带 * 假定能带宽度在-B/2到B/2的能量范围，总带宽为B • 电子填充能带至半满时，电子平均能量约为 * -B/4，即比孤立原子能级下降了-B/4，也就是说， 由于原子互相靠拢，平均来说每个电子获得-B/4 • 相对于孤立原子能级下降就是金属的内聚力 * 原因是波函数交迭成扩展态，平滑，因而电子动能 减少（与波矢k有关），总能量减少 * 如果原子相距较远，交迭减少，波函数平滑的可能 性很少，带宽变窄，在晶格常数趋于无穷时，带宽 变为零 B
何为电子关联?生来将 Mot转变的条件 轨道全空、或单电子占据、或双电子占据的几 率分别是1/4、1/2、14 毁貲个点揭是 电子占据孰道全 左图画成两个不同的能级 ·選局城得到能量B,局城化需能量U/4,因 此,如果U>B,将发生关联引起的局城 森司繁图 电子即使在周期性势场中也不再是共有化的了 Mot转变的条件就是看U>B还是B>U +U·这就是说,单电于理论没有考 虑这种电子关联:每个电子处 于任何位置的几率相等,与诚 ·当原子拢,能带变宽,B>L时,将从绝缘体变 位置是否已有电子占据无关 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 Mot转变图象 如果电子局城在间距为a的格点上 ·勢能为-c2/ U<B ·这时电子的动能可以用测不准原理来怙计 约束长度a,动量的不确定量级为h/ 相应的动能-/ai 低密度极限下电子的局城标志着诚区城内势能 Mot转变 超过动能 ·a于无穷大时,势能占主导地位一同域态 高密度时,动能占主导地位—扩 U>B ·MnO,NiO,CoO的费米能级在过渡金属的带 并且过金属的带是未满的 而O的2p价带与带不重叠,是满带 用能带理论计算就是金属,实际上是绝綠体 45.24112gche园体制学 体理学 3、定量计算 Hubbard模型 H=-∑+U∑∑n ·在窄能带中,电子存在很强的关联效应,而能 带理论所依赖的单电子近似,忽略了这种效应 第一项表示由于电子在近邻原子之间跳跃引起 ·用心和<示置的产生和湮灭算符,可 的能量降低,电子的退局城化(广域)的效应 示自旋,用紧束近似表示的多电子哈密顿为 ·第二项表示电子局城化,自旋相反的电子占据 +签 同一原子轨道引起的库仑关联能(U)的升高 如果U=0,没有关联,就是单电子近似 v4m为多中心库仓积分,可分单中心,双中心 就是能带理论的哈密呗 · Hubbard认为,对于窄能带的情况,只有单中 ·U和比间的竞争决定系統性质 心积分起主要作用,其他均为小量,即 =-∑小+U∑∑|o》 a Xia kia U和之闻的大小关系决定电子是广峨的还是局城的 ·思考:为什么 Hubbard要在紧東缚表象而非平 ∑4+U∑∑几 面波表象讨论这个问题? 种的45.24132he园体物学 趣452413 binche物理学
5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 何为电子关联？• 每个原子轨道可填充两个电 子，如果该轨道上原来已有一 个电子，对第二个电子有排斥 作用 * 因此，两个电子占据同一轨道需 要克服这一排斥，需能量U • 左图画成两个不同的能级 * 单电子近似不是这样：表示成同 一能级不同自旋是两个不同状 态，可以被两个电子占据，但那 样没有表示出所需能量U • 这就是说，单电子理论没有考 虑这种电子关联：每个电子处 于任何位置的几率相等，与该 位置是否已有电子占据无关 +U http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 Mott转变的条件 • 轨道全空、或单电子占据、或双电子占据的几 率分别是1/4、1/2、1/4 * 因此，要使单电子占据变成双电子占据或轨道全 空，每个电子平均势能消耗为U/4 • 退局域得到能量B/4，局域化需能量U/4，因 此，如果U > B，将发生关联引起的局域 * 电子即使在周期性势场中也不再是共有化的了 • Mott转变的条件就是看U > B还是B > U * 当原子间距增大，能带变窄， U > B时，将出现 Mott转变：金属Æ绝缘体 * 当原子靠拢，能带变宽， B > U时，将从绝缘体变 为金属 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 Mott转变图象 B U < B U > B +U Mott转变 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 • 如果电子局域在间距为a的格点上 * 势能为-e2/a • 这时电子的动能可以用测不准原理来估计 * 约束长度a，动量的不确定量级为~h/a * 相应的动能~1/a2 • 低密度极限下电子的局域标志着该区域内势能 超过动能 * a趋于无穷大时，势能占主导地位——局域态 * a趋于零时，即高密度时，动能占主导地位——扩 展态，可以忽略关联 • MnO，NiO, CoO的费米能级在过渡金属的d带 * 并且过渡金属的d带是未满的 * 而O的2p价带与d带不重叠，是满带 • 用能带理论计算就是金属，实际上是绝缘体 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 3、定量计算——Hubbard模型 • Vij,lm为多中心库仑积分，可分单中心，双中心 • Hubbard认为，对于窄能带的情况，只有单中 心积分起主要作用，其他均为小量，即 = −∑ +∑∑ijlm ij lm ij H tij i j V i j l m σ σ ˆ , σ σ σ σ • 在窄能带中，电子存在很强的关联效应，而能 带理论所依赖的单电子近似，忽略了这种效应 = −∑ + ∑∑i i i ij ij t i j U n n σ σ σ σ ≈ −∑ + ∑∑ ij i ij H t i j U i i i i σ σ ˆ σ σ σ σ • 用|i>和<i|表示i位置的产生和湮灭算符，σ表 示自旋，用紧束缚近似表示的多电子哈密顿为 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 • 第一项表示由于电子在近邻原子之间跳跃引起 的能量降低，电子的退局域化(广域)的效应 • 第二项表示电子局域化，自旋相反的电子占据 同一原子轨道引起的库仑关联能(U)的升高 • 如果U=0，没有关联，就是单电子近似 * 就是能带理论的哈密顿 • U和t之间的竞争决定系统性质 * U和t之间的大小关系决定电子是广域的还是局域的 • 思考：为什么Hubbard要在紧束缚表象而非平 面波表象讨论这个问题？ = −∑ + ∑∑i i i ij ij H t i j U n n σ σ σ σ ˆ