第五章四块问题的解 使‖R-Q<γ.为使这个问题更一般化,我们讨论下述四块问题:寻找Q∈RC(r),使 R1 R R21 R22-Q 由于[R1R1和n/都是/1 的子矩阵,(520)成立,则必有 R21R22-Q R 在前一节中我们看到,当R是常矩阵时,(5.21)也是(5.20)可解的充分条件。然而,当R是传递函数矩 阵时,由于要求Q∈RC(),且r<degR=n,由前一章的知识,我们立即可以看到 Ru R (522) 是(5.20)可解的另一个必要条件。如果不限制Q的结构,则(5.22)也是‖R-Q川l<γ可解的充分条件 但四块问题要求Q具有(5.19)式的结构,此时(5.22)只是(5.20)可解的必要条件。而充分必要条件是定 理315中的传递函数矩阵的稳定部分的σr+1()<1.下面我们将给出(5.20)可解的另一个必要条件 由定理312和3.13,存在谱因子R13∈RHB×P,R31∈RHm1×m,满足 R11R1+R21f21+R31.R R1R11x+R12R12x+R13B1 并可设 (5.25) CI D 其中A,B1,C1取自已知传递函数矩阵R的状态空间表达式 R CI D11 D, C2 D21 D22 我们先给出谱因子R31和R13的状态空间表达式 引理5.3R及其状态空间表达式见(5.20),丑31和R13分别满足(5.3)和(5.24 A. B C B1X+[D11D2 1 D11 I-[Di1 D=1] D A+ BR B1R BI H C1 D C1 R C? C? C (5.27)
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853次优四块问题的可解性条件 2.R3望(A,B3,C1,D3),其中 YC1+[B1B2] 2) 1/2 1/2 D R=2I-[D11 D, D Ric(h) D A+[B1B2] B:B。I R[D11 Di B3 (528) 证明:将(523)改写为 R31x R R1 R R 在定理312中,令G=R1即得1.将(524)改写为 R R13=y2I-[R11R12] 在定理313中,令G=[R11R12]即得2. 记E2=R22-Q,并定义 0I0 31 R RE (5.29) nI 0 R 1R11 R R 则有下面的结果。 引理54令Ea=T1T2T3,则 RRR R12R1 其中 E23=-(R21R1.+E2R12)R13 (531) E3 R3(R1R12+R21E2) E3=R31(R1,R12+R21.E2)R12Ri3.-R31f1Ri3
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