1.5常用的坐标系和坐标变换 21 的自感和互感所组成的定子电感矩阵,通过坐标变换,变成元素为常数的对 角线阵,使凸极电机的分析大为简化。以三相凸极同步电机为例,定子的电 感矩阵L,为含有9个元素的满阵,即 LA MAR M M Ln M (1-77) CA Mcu L 式中,LA、L、L∝分别表示A相、B相和C相绕组的自感;MA、Mr、 McA…分别表示AB、BC、CA、…等两相绕组间的互感。分析表明,这些 电感都随转角0的变化而变化(见附录A),其中 LA=Ls+Lcos2日 Lm=L+ Tacos2(0-120°) (1-78) Lcc=L+ Laos2(θ+120°) MAB=MR4=-M。-M2cs2(0+30°) Msc=M M。-Mcos2(6-90°) (1-79) Mca Mac=-Mo- M2cos2(0+ 150%) 式中,L如和M分别表示自感和互感的平均值;L和M2则是自感和互感中 随cos26而变化的二次谐波的幅值;对于理想电机,La=M2。 经过dq0变换,新的定子电感矩阵L成为 0cos(0-120°)cos(6+120°) L:=CLc 2-sin0-sin(0-120°)-sin(8+120°) 2 2 MAB M sing MBA LB MBc cos(0-120)sin(6-120) Mca Mo Loc)(cos(8+120°)sin(0+120°) 式中La、L和L0分别为直轴同步电感、交轴同步电感和零序电感, La s la+mn+ .O La+ M (1-81) 02 L。=Lo-2M
22 第1章绪论 可见经过dq0变换后,定子的电感矩阵将成为对角线和常数阵,达到了“解 耦”和“元素常数化”的目的。 0变换f0坐标系是一个与转子一起旋转的复坐标系,其中f称为前 进分量,b称为后退分量,0则是零序分量。60分量首先由顾毓琇提出,故 亦称为顾氏分量。角0和120坐标系都是复坐标系,一为旋转,一为静止,它 们之间相差一个空间旋转因子e°,即 ire (1-82) 由上式可知 (1-83) 所以后退分量i不是一个独立变量。 由式(1-82)可知,ABC与角0分量之间具有下列关系 lb=a 2re t aiie+i 上式的逆变换为 3(in+ ain+aide b=f(ia+aib+ aiceje 写成矩阵形式时有 C 或t'=Cai 1-87) 式中C4为角0变换的变换矩阵, 2e- ae j C e°a2e 当6=0时,角0分量即退化为120分量
15常用的坐标系和坐标变换 23 f0分量与dq0分量的关系为,它们都是同速旋转的旋转坐标系,fb0是 复坐标系,d0则是实坐标系, ii =3(ia+ ji (1-89) 零序分量为同 各坐标系之间的关系图14表示上述五种坐标系之间的联系。图中 ABC坐标系是一个三相、静止的实坐标系,它是一个自然坐标系,是出发 点。图中铅垂点线的左边是实 实←}复 坐标系,右边是复坐标系;水 2(a+jB)=1 平虚线的上面是静止坐标系, 下面是旋转坐标系。ABC到 a0的变换是一种三相到两相 的实变换,通过a0变换的变。n6,cm 换矩阵C1来完成;ABC到 120的变换是一种三相实变量 旋转 到空间向量和零序的复变换 通过120变换的变换矩阵C2 来完成;这两种变换都属于静 (+jq)=f 止坐标系内的变换,所以变换 矩阵中的元素是实或复常数。 图14各种坐标系之间的关系 ABC到dq0的变换是静止三相到旋转两相系统和零序系统的实变换,ABC到 0则是静止三相到旋转的空间向量和零序系统之间的复变换;这两种变换都 是静止坐标系和旋转坐标系之间的变换,所以d0变换的变换矩阵C3的元素 中含有sn和cos,角b0变换的变换矩阵C4的元素中则含有e和e1等时变 因子。从铅垂方向看,如果6=0,d90变换就退化成aB0变换;0变换就 退化成120变换。从水平方向看,如果把可相垂直的a、B轴或d、q轴分别 作为复平面内的实轴和虚轴,则i+j再乘上,可得复向量i;同理,i +j再乘上,可得复向量ir 对于三相电机,在自然坐标系ABC中原变量为iA、i、讠三个实变量, 坐标变换时,为得到逆变换,并使变换为惟一,要求变换后的新变量亦是3 个实变量,即变换矩阵C的行列式detC|不能等于0。不难看出,对∞0变 换和dq0变换,这些要求都满足。对于120变换和f0变换,由于i1和it是
第1章绪论 复数,它们由实部和虚部两个变量组成,加上零序分量i0,已经是3个实变 量,所以i2和ib不应是独立变量,实际情况亦正是这样。从物理上看,这点 亦不难理解。交流电机内的磁场由气隙内的旋转磁场和定、转子漏磁场所组 成。旋转磁场(圆形或椭圆形)既可由三相绕组内的三个电流iA、lB、ic来 表述,亦可以用等效两相绕组内的两个电流来表述,加上零序电流所产生的 漏磁场,最后使气隙磁场和漏磁场两者均达到等效。所以零序电流虽然不产 生气隙旋转磁场,亦不形成电磁转矩,但其存在却是必要的。 最后,如果把dq0变换中d轴的转角、f0变换中实轴的转角8改为B, 其中θ=ωt+,就可得到坐标系的转速为任意值m时,新、旧电流列阵 之间的变换矩阵C和C。 16交流电机的等效电路 为便于计算和分析,无论对稳态还是瞬态运行,都希望交流电机有一个 等效电路。本节将说明等效电路的建立。 1.建立等效电路所需满足的条件 为了建立定、转子统一的等效电路,从电路角度看,需要满足两个基本 要求: (1)定、转子各个回路的电流要有同一的频率。 (2)各个回路间的互阻抗要可逆。 对于静止电路,这两个要求通常都能满足。对于旋转电机,由于转子的 旋转,定、转子电流常常具有不同的频率;另外,定、转子绕组的电抗常常 是转角a的正弦函数。因此首先应当进行坐标变换,把转子的坐标系变换到 定子的静止坐标系,或者把定子的静止坐标系变换到与转子一起旋转的旋转 坐标系,或者把定、转子的坐标系都变换到在空间以某一特定角速度a旋转 的旋转坐标系,以使定、转子绕组内的电流具有同一颏率,并使时变的电感 系数变成常数。关于绕组间的互阻抗问题,在原先未进行变换的自然状态下, 回路间的互感本来是相同的(即可逆);经过坐标变换,三相可能变成两相和 个孤立的零序系统,由于相数发生变化,在新坐标系内,互感可能变成不 可逆。此时可以采用标幺值并适当地选择其基值,或者进行适当的绕组归算, 使互感成为可逆。当然,并不是所有旋转电机都能做到满足这两个要求;但 悬对于变压器、同步电机和感应电机这三种最重要的交流电机,分析表明能 够达到这两个要求,从而建立其等效电路
1.6交流电机的等效电路 25 2.等效电路的建立 等效电路是根据电机的电压方程、磁链方程画出的。如果有两个电压方 程 (1-90) 已 Z 式中Z12=Z21,则等效电路将由两个回路组成,每个回路内包含两个阻抗, 其中一个是回路1和回路2之间的互阻抗;另一个是每个回路的“漏阻抗”。 下面说明等效电路的建立规则 (1)任意规定回路1和2中 回路电流i1和i2的方向。例如 在图1-5a中,i1假定为顺时针 方向,i2为逆时针方向;在图“ 1-5b中,则假定i1和i2均为顺 时针方向。 (2)画出两个回路中间的互 阻抗。互阻抗可以是Z2(保持 原状),亦可以是-Z12(改变符 号),视回路电流i1、i2的方向 而定;若i1、i2通过互阻抗时° 为同一方向,则互阻抗为Z1 如图1-5a所示;如为反方向, 则为-Z12,如图15b所示。但 是无论哪一种方案,都应避免出 Zu-kZIz 现负电阻的情况。 (3)每个回路的总阻抗仅由 阻抗矩阵中该行的阻抗组成。例 如回路1的总阻抗应由Z1和Z2 组成,回路2的总阻抗应由Z2 和Z2组成。 (4)把互阻抗变号,加上该 图1-5两回路等效电路的三个方案 回路的自阻抗,即可得到各回路 的“漏阻抗”。例如在图15a中,把Z12变号,加上Z1,即得回路1的漏阻