01:I0.3374/.1ssm1001-053x.1956.01.012 彈性基礎上短樑彎曲問題的小参數解法 潘立宙 (力學教研組) 一引言 以小參敷展開的攝動法常常用來解决非線性：間题，例如在彈性间薄板大挽度不衡册 盟方面，餞偉最〔1〕，胡海昌〔2〕，莱開源〔8】等臂做過不少工作。本交通溢· 倒蔺單間题即彈性基礎上短梁鳄曲問题的討論來說明這桶方法用以解决稼性：間题，也是 很好的：某些線性：問题若探用通常解法，逛第既不方更，解答形式往：很繁複，探用 攝動法的優點在於迎第手箱前使，得到的解答合乎貸用要求，木交還指出在一定條件下 用攝動法求得的解答就是精確解答的無限項級欺表邀式。 關於彈性基礎上梁的学曲間題的計算，蘇聯翠者布很多款，别途耶夫落其〔4〕 及費洛廊柯一鮑濯第契著書〔5〕中都有介紹，織木辛哥著背〔6〕件將彈性礎上梁 分篇三類： 1.短梁l<0.60 2.中長梁0.6<l5 3.長梁>5 的1是梁的跨度，而B=y,共中：是水链保数，公是梁的枵氏绳 係数，【是梁横被面的慣性矩：，本交介紹的摄動法状按以上的分法只適川於梁反部 分中接梁(l<1)的情形。 二、基本方程的解法 彈性礎上梁越曲問题的基本方程有 2+8=局 其中：y是梁的撓度 ?是梁承担的战荷 我侧劣虑下列的戀换： =无w=名， I=9ti ant 训=形784=…(2) 將方程（1)博透爲； diw E1十490=了… (3)
弹 性 基 破 上 · 短 棵 肾 曲 同 题 的 小 参 数 解 法 、夕 ‘ 宙组 形 立教 祭 油潘 一 引 言 以小 叁数展 朋 的摄勤 法 常常 用来 解 决非腺性 阴题 ， 例 如在 弥性 回 薄板 大挟度 平衡 圈 题方面 ， 傻漳畏 〔 〕 ， 胡 海 昌 〔 〕 ， 集 阴 源 〔 〕 等 曾做 趋不 少 工作 。 本 文通 翅 一 佃 筒 翠 周题只 弹性某磁 上短 梁讨 曲 尚题的尉湍来靛 明 范 稠 方法 用以 解 决腺性 周题 ， 也 是 很好 的 某 些腺性 圈题若探 用通 常解法 ， 汪 算 既 不 方 更 ， 解 答形式往礼很繁视 ， 而探 用 摄勤法 的俊黔在 朴沐 算手 植 筒便 ， 得到 的解 答合乎 贫用要 求 。 本 文越指 出在 一 定修件下 用摄勤法 求 得的解 答就 是精硫解 答的熟限项极数表 建式 。 朋 朴 筛性某磅上 梁 的付 曲 周题 的补算 ， 蒸唠举者有很 多立献 ， 别 近耶 夫著害 〔 〕 及 费 洛率 何一 灿 雁第契著害 〔 〕 中都有介 招 ， 饿木辛 哥著舍 〔 〕 竹 将 弥性某磅土梁 分焉三铂 短梁 口 中畏 梁 〔歹 畏 梁 刃 退视 的 是梁 的跨度 ， 而 月一 通 一 牙 刀 ， 共 中 矛 是从磷 深数 ， 刀是梁 的格 氏 郧性 保数 ， 是梁横截面 的惯性矩 ， 木 文介貂 的摄勤 法 若按以 上 的 分顿 法 只 遍用 价短 梁 及 部 分 中妥 梁 以 劝 的情形 。 二 、 基本方程的解法 弹性从磅上梁讨 曲 周题的 墓本 方程有 汉咬少 ， 、 二 一 丽了 十 任尸 一 少 一 兀 其 中 夕 是梁 的揍度 是梁承担的哉荷 我侧考 鼓 一 卜列 的场换 广 ， 二二 — 二 犷了 一 万 刀 刃 一 万不 汀 ， ， 一 ‘ · · · 乙 … … 、 了 一一 一 劣 一 俘方程 棘趣蔫 口咬 叨 汉 登吐 日 二 一厂 夕 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1956．01．012
第二期 --125- 在梁及部分长梁的情形，方程(）的是-·侧小量，求解导，我們先将地 度圾成它的升器叙數如下： 0=。（)+1(）s十c()g+'t（)s“十…(4) 其中0（专），1()，：（)…是將定所敷。 將(4)式代人方程(8旅此陵喇透同次質的条数，我們得到一系列方程！下： dw d l10, det -=-4'u l'g=一4 t。4”44… da (5) …44… digen 4ie.-1 d 在滞足相當的邊界條件下自方程（5)逐一解，1，，…並代入极数 (4)我們就求得了本方程(3)的解答。 三例题 例·、骰行··梁在彈性共礎上，雨端前支，跨度窝1，承担均佈藏荷夏，求共撓度。 (阁1) 本例的邊界條件篇： y(w)=02y(）=0 d2 y()=0() .=0 利用换代(2)及級败(4)，上速邊界條件轉戀傷下列形式： m()1（1）=) (=0…123 …(6) d2e（e)=aw12=0 d专2 d
第 二 期 在短 梁及 部分 呀 ，长 梁 的悄 形 ， 方 程 污 的 是 一 佃小 缺 ， 求解 畴 ， 我 们先 竹挑 度展 成 它 的升旅艇数 如 民 。 一 ·。 多 、 一 。 了 户 ， 户夕 “ 业 斗 一 几， 誉夕 “ 一卜 · · · · · · · · · · · … … 少 共 中 亿。 睿 ， 二 ‘ ， 二 。 夕 是要溶定函数 。 将 式 代人 方程 啼众儿 幢 雨篷 司次项 的 添数 ， 我们 得到一系列 方程 如 厂 留 。 汀 泞 护 」 。 ， 睿 ‘ 臼 ， ‘ 睿 ‘， 一 一 “ 与 一 侧 ， ’ ‘ ’ “ ’ ‘ ’ ‘ ” “ ” ’ ‘ ’ ‘ ” ‘ ” ’ ‘ ” ” ’ “ ‘ ” 汉礴 口， 刀弃厂一 一 一 仪， ，一 在 涌足相 常 的逞界倏件下 自方程 逐 一解 出 线 ， 二 ， 二 ， … 韭 代 入 机 数 我们就 求得 了从本 方程 的解答 。 三 例 题 例一 、 投有一 梁在 弥性共磁上 ， 两端筋支 ， 跨度 德 ， 承担均怖我荷 口 ， 求其挑度 。 圆 本例 的篷界修 件熔 一 水蕊〔 “ 工一 。 少 少工 业 二 门 利 用 拼换式 及 机数 ， 下“，。 一 ，，， 上述遥界僚 件棘砂媳下列形式 一 少 “ 一 口 。 … … … … 少 汉 二。 的 一一砍万‘ 一 一 ， 一 叽一一 一 一 二 二 ， 己 睿
126 钢陀學報 今要求方程（百）11足边界候件(6），即须求解下列新方程： dise'n = d (v)=。(1）=) d2a(o） =w。（1)=0 d d” di=-4R0o dE 1(o）=e1（1)=0 01（0）=20,(1) de2 d 0。。。044g 粉作邂算，我們求得： m=女(3-1)(g--) 0,=-10080(5-1)(台“-355-3+118+11-175-17) …44…………+444…小小小**小…中 代入极数(4)，我們得到本例梁轴撓变曲線的表遂式篇， 0=4(e-1)(-有-)-05(5-1)(3--+1ue +115”-17-17)g十…(7） 梁軸在中點c的撓度鴛 (1)=5(1-e+…）…(8) 2,=0 384 6720 今取级数(8)篇首的雨項並將镂换式(2)代入，於是我們有 ✉“名 …(9) 其中 96(1-14) a=5341 6720 y:的精蹤解*鴛 必=d是 8l l 其中 c'=1- 2cush g-cos- 2 (10) coshsl+cos3l *见签考女献〔6)P.24
翎 院 李毅 今需 要 求 解方程和毛 乳 场 右 ‘ 、币足 泌 界停 件 ， 」 一 甲须 求 解 列 豁 方程 一 声 、 ‘ ，。 口 ￡，。 了 些望竺匕 三兰 一 竺垫乞互鱼之一 。， 汉 誉 宁 ﹄ 、 铡 誉吐 一 一 “ ，。 二 竺亿以 洲 。 誉 誉 稍 书翅 算 ， 我侧 求得 厂 忆〔 ‘， — 尝 气勺 一 勺 一 一 户 了 宁 宁一 普 “ 一 睿几 一 宁峨 誉“ 十 宁 一 誉一 代 入 极数 ， 我们得到 本例 梁帕挑度 曲祝 的表 述式焉 ， 一翁 “ ‘ 一 ‘ ‘ 一 ‘ 一 ‘ 了 誉 誉一 暮‘ 一 睿 一 睿‘ 睿“ 十 睿 一 睿一 “ 十 · ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 一 梁本由在 中默 ‘ 的揍度得 一 一 广一入一 一泛一口吧 一 了上 几 、 口 一 今 取极毅 得首的雨 项业 将砂换式 代入 ， 朴 是我 侧有 一 卫 其 中 其 中 。 一 五星些竺 一 尽 ” 嘴 二 ， … … ， 二 ， … … 。 。 ‘ 的精破 解 得 尹 二 “ 一 一了 一 左 ， 尽 尽 、 ‘ 一一几丁一 ‘ 口 一下 ， ， 艺 口 那 艺 艺 〔 不 一 工 一 一 — 了二子 一 不 一 一 ‘ 口朋脚 叮产 水 少己参考 文献 〔 〕 尸
第二期 -127- 今將（9)式(10)雨式的數字蒂果比較如下： 表1 日l a' 誤 米(%) 0.6 0.00671 0.00671 0 0.6 0.0333 0.02 0.3 例二、骰行-一梁在性基礎上，-一端夹什，一端自山，跨度窩1，承受等楼戴荷如 阙2所示，求其撓度 2 本例的截荷强度篇 (11) 邊界條件篇 y()=(0, dev (l) =() da? ,++。04年 (12) y()=0, diy (1) -=) C优 dx3 儿= ET (13) 並利用變换式(2)反殷数(4)，則(11)式與邊界條件(12)分别博镂念 =w5… (14) 以皮 d0m(1）-=0 a(o)=0,7￥ (=0.123…)}…(15) 0）=,la）=0 E 今需要求解方程翘(5)且滿足(14)式及燙界條件(15)，即求解¨下列諮力 程：
第 二 期 今将 式 雨式 的数字 精果 此较 如 一 卜 一 表 尽 一 招 …一不蔽王一 丽…一 “ 一 淡 冷 差 吕 例 一 二 、 投有 一梁在 邺性某碰 ， 一端爽住 ， 一端 自山 ， 跨度 拐 ， 承 受等砂栽 荷 如 圆 所 示 ， 求其换度 同 声 口一 本例 的我荷 强度焉 全 扔 一 迹界修 件焉 ‘，了 夕 “ 一 ， 卫里 左卫 二 ， 里了‘ 少刀 八 一一 业利 用趟换式 反 极数 ， 只 式 典遗界修 件 分别 棘诞 几 尹 。 暮 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ， · · · · · · · · · … … ‘ · · · · · · · · · · · … … 以 及 。 ， 口 一 少 ， 汉 二 。 汉 睿 ， 一 。 · · … … 瓜 。 ， 时 。 普 二二 兰业 工泣 一 。 睿 今需要 求解 方程翘 且满足 式 反 逾 界株 件 ， 只 须求解 一 「列 甜 方
-128- 鋼院學報 dino=Po d o(0）=0, do（1)=w tlξ2 心2=0，d01)=0 dξ de 骨= 01(0)=) d1(1)=0 d” dw,(o）=,wGI）=0 d tlsn ,+…*+… 稍事運算，我們求得 =0(8-10+20） …(16) 01=一 52(7-3650+1681-2184:+4752）6+ 90720 將(16)代入般數(4)，我們得到本例染轴挠度線的安递式篇： 0=,,（"-10+20)-。052(G7-365+1684-2184+4752）e+… 120 90720 ………(17） 四、解答的收歙性 我們很容易看出用上逃攝動法求得的解答在短梁或部分長梁的情形就是精雅解 的無蹦級数達式，我們知道方程(3)的解答是衢立變墩：的函数，我們暂且假 定它具傰能成成题效：的交克梦林設敛的悠件即 0(e)=1()+01'()e+03【()e2+0a'()e+…+m'()gz+ ……………(18） 其中()=w(5,0) w1‘()=1 a(专，) 1! aE w‘()=1 a2w(台，) 2! 2e2 …(19） tt0+0…小4 ()=1a%u(,o) ! aen
一 一 钠 院 李粗 … 、 产 一 ‘ 即 。 母叱 一 扎 睿 二 。 一 ， 二 。 汉 睿 二土竺二立上之 一 以亿臼‘， 。 夕， 。了 睿 汉 」印 ‘，二 。 睿 二 一 一 留 。 一尸 印 叻 一 测 汉 一 流吻汉 口 一 ， 浮伙 一 臼 稍事莲 算 ， 我们求得 、 口 上 了、 、、 、 生 艺 睿“ 睿“ 一 宁 丛一普 睿 一 睿 睿」一 誉 将 代入极数 ， 我们得到本例 梁翰挨度 腺的表 述式 焉 。 一 外 一 引 一 睿十 一 艺 尸 睿 睿 一 睿污 十 睿‘ 一 宁 “ … · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · … … ，’ · · · · · · · · · · · · ， · · … … 四 、 解答 的 收徽性 我们 很 容 易着 出用 上述摄勤法 求得 的解答在短 梁 或部分 中提 梁 的情形 中就 是精破解 的姆 宾极数 友连 式 ， 我们知道 方程 的解答 二 趁 镯立砂数 扣 的函数 ， 我们暂且假 定 它具 偏能展 成逆数 的姿克势林极数 的修 件即 、 扛 一 二 。 ‘ 约 二 ， ‘ 封 。 十 二 ‘ 睿 。 十 二 ‘ 宁 “ 十 … … 十 二 ， ‘ 暮 ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · … … ，’ · · · · · · · · · · · · · · · · · … … 、 其 中 毗 、了 ‘ 睿 二 二 宁 ， 份 一 又勺 — “ 亿‘， 暮 ， 口 刁 已 “ 叨 宁 ， 刃 一 一石 二 。 ， 乙 下 ‘ 。 一 誉 淞 。 睿 ， ‘口， 又 一 —邓 ，奋 … …