D0I:10.13374/j.issn1001-一053x.1984.04.003 北京钢铁学院学报 1984年第4期 板形方程与辊系刚度的研究 北京钢铁学院苏逢西、白家驹、蒋金梅、李同成 北京治炼厂高崙、王淑贤 摘要 本工作采用“弹性基础架理论定方程的结构、统计分析实验资料对理论解给以比正”的方案，建立了四辊冷带轧机 的辊系刚度棋型。结合热辊型研究，给出了能正确反映物理规律、有一定精度并且便于在线板型控制应用的板型方程。 符号说明 P一总轧制力： ha,h。一出口边、中部板厚 H,H。一入口边、中部板厚， 8H,8h一入、出口横向厚差s B一板带宽度(B=2a), KR一辊系刚度， v,一板带材poisson比， E,v一轧辊扬氏模数与poisson比， PB,PR一单位宽度上轧制力与辊间压力， P。,P。一板中部与边部处单位宽度上轧制力 (b=Po,g=Pe-P) X一横坐标， Uw,U一工作辊与支持辊的原始辊型凸度， 1一轧辊辊身长度， 都 L'一压扁孤长影 LD一辊间压扁接触宽度， Dw一工作辊直径， e,d一工作辊与支持辊半径上的最大凸度， Iw,I一工作辊与支持辊的抗弯截面模量， y,z一工作辊与支持辊的弯曲挠度， K一工作辊与支持辊间的弹簧常数， qw,rm一工作辊中央部位与板端部位的磨损量， qB,rB一支持辊中央部位与板端部位的磨损量， Fc一X=0处的剪力； 26
北 京 铆 铁 学 院 学 报 年 第 期 板形方程与辊系刚度的研究 北 京钢钦学院 苏逢 西 、 白 家驹 、 蒋金梅 、 李同成 拓 京冶炼厂 高 寄 、 王 淑 贤 摘 要 本工作采用 “ 弹性基础梁理论定方程的结构 、 统计分析实验资料对理论解给以 份 正， 的方案 ，建立 了四辊冷带 轧机 的辊系刚度模型 结合热辊型研究 ， 给 出了能正确反映物理规律 、 有一定精度并且便于在线板型控制应用的板型 方程 。 符号说明 一总轧制力， ， 。 一出 口 边 、 中部板厚， ， 一入 口 边 、 中部板厚 乙 ，色 一入 、 出 口 横向厚差 ， 一板带宽度 ， 一辊系刚度， ，一板带材 比， ，、 一轧辊扬氏模数与 比 ， 。 ， 一单位宽度上轧制 力与辊间压力， 。 ， 一板中部与边部处单位宽度上轧制力 二 ， 。 一 一 ， 一横坐标， ， ， 一工作辊与支持辊的原始辊型 凸度， 一轧辊辊身长度， 尸一压扁弧长， 一辊间压扁接触宽度， 一工 作辊直径， ， 一工作辊与支持辊半径上的最大 凸度 ， 。一工作辊与支持辊的抗弯截面模量 ， ， 一工作辊与支持辊的弯 曲挠度， 一工作辊与支持辊间的弹簧常数， ， ， 一工作辊中央部位 与板端部位 的磨损量 ， 。 ， 一支持辊中央部位 与板端部位的磨损量， 一 处 的剪力 ， DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1984．04．003
G一剪切弹性模量，G=E/2(1+v) a。一剪切系数，对圆截而a,=4/3, ys一剪切挠度， A一工作辊与支持辊的横截面积， W一工作辊弹性压扁辊面竖向位移， 0-线膨胀系数，对钢辊0=11.9*10-8(1/°C), S。一原始辊缝； K。一X=0处的轧机弹跳量， Fw,FB一工作辊与支持辊的弯辊力影 Mw,MB一在x=1处的工作辊与支持辊的力矩。 板带平直度与横向厚差δ(x)是精度的主要指标，它们应统一在板形良好的敢优规程 中。要求轧机的工作点（山，P)落入防止板带屈曲起浪条件所约束的区间[1]， P时a+a-双8·3n 。 P≤a+x+a-台 H。 板形方程h=h(x)与辊系刚度kR是实现板形控制所必需的模型。 忽略轧出带材的弹性恢复，出口板形与承载辊缝形状应该相同。目前，板形的计算理 论有弹簧模型[2】、分割模型[3]以及综合地使用弹簧模型与分割棋型[4们。这些弹性理 论解给出了组成板形方程的主要成分如挠度、压扁等，能正确反映轧制条件对板形影响的 规律。由于轧辊承载变形复杂，在力学解析过程中采用了一些假设与近似，降低了计算结 果的精度，并且理论解的计算复杂，难以在线应用。为了在线地应用板形理论，本工作采 用“根据弹簧模型理论定方程的结构、统计分析实验资料对理论解给以校正”的方案，力 求建立一个有一定精度、能正确反映物理规律并且结构简单的板形方程。 一、板形方程与KR的理论计算 图1为弹性基础梁法求解轧辊弹性挠曲的力学模型。 基本假设：工作辊、支持辊轴线间的接近量与辊间压力成正比，P(x)分布为二次 曲线，Uw(x)与U(x)以及轧辊磨损沿板宽的分布均为二次曲线。 1。弯曲挠度的计算： 图1、区域I中以位移表示的梁的平衡微分方程式为· EIw dy=-PR dx4 El P. 式中 PR=K(y:-Z:+Uw+UB) Uw1=-是(x2-1) ◆ 27
一剪切弹性模量 ， 外 。 一剪切系数 ， 对 圆截而 ， 一剪切挠度 “ 于 ， 一工作辊 与支持辊 的横截面 积 一工作辊弹性压扁辊面 竖 向位移 ， 一线膨胀系数 ， 对钢辊 关 一 “ 。 。 一原始辊缝 。 一 处 的轧机弹跳量 ， ， 。 一工作辊与支持辊的弯辊力 ， 一在 处 的工作辊与支持辊 的力矩 。 板带平直度 与横向厚差 各 是精度 的主要指标 ， 它们应统一在板形 良好的址 优 规程 中 。 要 求轧机 的工作 点 ， 落入防止板带屈 曲起浪条件所约束的区 间 〔 ，〕 。 乙 ， ， ， ，， 兀 下 护一不了一 。 个 ‘ 人 一 二丁 一 下万下 门 、 一 一 ， 一 、 一 要 二 。 兀兀 艺 十 ‘ 盖 十 万不兀万了 · 等 一暮 一 · 板形方程 与辊系刚度 是实现 板形控制 所必需的模 型 。 忽略轧出带材的弹性恢复 ， 出 口 板形与承载辊缝形状应 该相 同 。 目前 ， ‘ 板形的计算理 论有弹簧模型 〔 〕 、 分割模型 〔 “ 〕 以及综合地使用弹簧模型 与分割模型 〔 魂〕 。 这些 弹性理 论解给 出了组 成板形方程 的主要成分如 挠度 、 压扁等 ， 能正 确反映轧制条件对板形影响的 规律 。 由于 轧辊承载 变形复杂 ， 在力 学解析过程 中采用 了一 些 假设与近似 ， 降低 了计算结 果 的精度， 并且理论解 的计算复杂 ， 难 以在线应 用 。 为了在线地应 用板形理论 ， 本工作采 用 “ 根据弹簧模型理论定方程 的结构 、 统计分析实验资料对理论解给以校 正 ” 的方案 ， 力 求建立一个有一 定精度 、 能正 确反映物 理 规律并且结构简单的扳形方程 。 二 板形方程与 的理论计算 图 为弹性基 础 梁 法 求解 轧辊弹性挠 曲的力学模型 。 基本 假设 工 作辊 、 支持辊 轴线 间的接近量 与辊 间压力成 正 比 ， 分布 为 二 次 曲线 ， 与 以 及 轧辊磨损沿板宽 的分布均为 二次 曲线 。 。 弯曲挠度 的计 算 图 、 区域 工 中以 位移表示 的梁 的平衡微分方程式 为 ‘ 一 式中 ， 一 ， 。 ， ， ， “ 一 手“ ‘ 一 ‘ “
Um=-rx1). 区域Ⅱ中的平衡微分方程为 ■ ElyPo-Pe ElaPe 式中 PR=K(y2-z:+Uw:+UB2) U:=-(-a-q+r)）+e-9 U=-(g-qB+r）+d-4。 解微分方程求得y、z并使之满足边界条件，得到工作辊的弯曲挠度方程 y,(x)=Y1(x)+Z,(x)+Uw1(x)+UB1(x) y(x)=Y2(x)+Z2(x+(e+d)x2 -e+)-g(Bx-) 式中 Z,()=+gY,()+8号x+B坠x2+Y+a:， 6 2 2()=-B:(xw+Ed+5(-器0品x+景x+gx +B2x2+Y2x+δz 2 Y,)=Ae器cos路+B,ch路sin器+Cs路osg+ “2"V2 V22 Dish asin v2 V2# 2 x) A P/2 区城I区城I 图1板形理论计算的力学模型 Figl Mecbunical model for calculatiog tranversal sheet profile after rolling 28
了、， 一 一” 飞了、 引 一 一 区域 亚 中的平衡微分方程为 令 。 一 · 。 式 中 一 。 ， 。 一 亡共 一 ， ， 勺 ， 十 一 ， ， 、 么 ， 一 气一不歹一 、 一 少 一二二 一 ， 二 解微分方程求得 、 并使之 满足边界条件 ， 得到工作辊的弯曲挠度方程 飞 一 。 ‘ ， ‘ ， ‘ · ‘ ，赘 一 · ‘ ， ， 一 ， 丽斥刃刃、 止 驴一 二 一 式中 令 一 粤 · ， · ‘ 可 、 ， 、 ” 气盖 ’ 宁 瓦耳干喻、 一 。 一 名 一 会小夸 · ’ 夸 一 乙 ” ， ， 卫二 犷 夕玄 了 ， ， ‘ 奋百 二 “ ’ “ 『 典乏 认 “ 护忍 护了 ‘ 万『’ 呱’ 比焦岸 缨于 一屈厂 少 刁 「 ’ 料几 二三卫 二 ，护曰 ， 科 ， 户 、 曰 ‘ ‘ ‘ ‘ 口 舀 甘 图 板形理论计并的力学模型 五。 。 了 王。 ‘ 甲
(x)-Aich n cos +B,ch nysin+Gmcos v2 /2 v -cos x 2 +D:sh nx ◆ n=4√K(Iw+IB)/EIwIg多 a1z、B1z、Y1z、81z、a2z、B2z、Y2z、82z以及A1、B1、C1、D1、A2、B:、 C2、D2的表达式见附录。 2。剪切挠度计算：将工作辊与支持辊作为一整体简支梁。解区城I、Ⅱ的剪切挠曲微 分方程，并由边界条件定出积分常数，得到 y=器（学8+b1-) Y:5=6器(-x)-(名+景)a2+(号+b)a-名x 3。在PR作用下，辊间压扁引起工作辊与支持辊轴线间的接近量为[5] △=PRGn(径+1m2Da+1n2D) 3 式中 G=1-vm2+1, Ew EB Lo2PeGoDiDr 对钢轧辊，Vw=v日=0.3，Ew=EB=2米10kg/mm2,则 K=PR= 3.45*104 A 10.43+1n(Dw+DB)-InPR 4。工作辊与轧件间弹性压扁引起的辊面竖向位移W(x),设工作辊为半空间无限体， 其上作用有沿轴向为二次抛物线分布、沿孤长L'均寸分布的载荷q,则接触界面上、距q 为r的点的位移为 式中 qa积品n+, L r=√(x-n)2+t2 所以得到 wx)=起，w]-[:-[cew]]-[] 式中 t1=L'+.V√L2(x+a)2 t2=2L', tg=L'+√L'2+(x-a)2, S1=x+a,S2=0 u1=0,u2=a-xj 29
丫 。 典誉 。 ， 、 ， 万 ‘ “ “ 护厄 ‘ ‘ ” 户 ， 且 奋厄 一 十 城 ” “ 讶『” 歹厄 夕玄 “ ‘ ” 西 二 ’ ‘ 侧 拓禹再 巧刀瓦丽 、 日 、 丫， 、 乙， 、 、 日 、 丫 、 乙 以 及 、 、 、 、 、 、 、 的表达式 见 附录 。 剪切挠度计算 将工作辊与支持辊作为一整体简支梁 。 解区域 工 、 五 的剪切挠 曲微 分方程 ， 并 由边界条件定出积分常数 ， 得到 长 ‘号 ， 卜 教 纂 共 一 粤 一 乙 乙 ， － ， ， 、 ， ， ， 认 一 十 万 十 少 一 艺 二 二 在 作用 下 ， 辊 间压扁 引起工 作辊与支持辊轴线间的接近 量为 〔 们 △ 式 中 一 一 丫 。 门 － 二石 一 一 七 丘 。 兀 一 搏 石 聊 妙 ， · 鸡奋瘫奋爵急 。 对钢轧辊 ， 石 ， 。 关 ‘ “ ， 则 ， 、 二二 － 二 △ 。 关 。 一 工作辊与轧件 间弹性压扁 引起 的辊面 竖 向位移 设工作辊为半空 间无 限体 ， 其上作用有沿轴向为 二 次抛物线分布 、 沿弧长 尹均匀夯布 的载荷 ， 则接触界 面 上 、 距 为 的点的位移为 式中 从 一 一 一 下一了 七 ‘ 足 ， 瑞 生 聆 · · 。 俨 ， 召《牙而户 落七 “ 所以 得到 式 中 ‘ · ，共若 “ ， 一 ‘，， 一 ‘ ， 介 一 · ， 兰 “ 二 尹 侧 “ ，， 一 ， ‘ 侧 “ 任石丽 ‘ ， 一 一 二 ， 一
Ft)=年(bt-{--L.t-v-2L元+ +L1-[t-L)+V-L)2-L]}- 20《(经-Lwlt-+L}±a{v-L可' -3[-L)-]°+2(t-L)v-L-L -ke-)+v--] Gs)=[器-)sa器s+3a]s- -[器-路+品r H(e)-[-u-器2-a小.u- -[-品-2器品小 在计算中注意：1imsl.s=0, limu1nu=0。 s0 4-→0 求得上述各弹性分量之后，则出口板材的横向厚差 8h(x)=2{y:(0)+y:'(0)+w(0)-[y,(x)+y:'(x)+w(x)]- △u,(x)} 式中 △u(x)=u啊(0)-uW(x)=X2 图2为h=(x)理论计算的流程。为了对比实验结果，对8×350mm四程冷轧机， 轧制宽180、200、230、260、288mm与H为1mm的H68黄铜带的条件进行了计算，结果 如图3~4所示。可以看出， (1)y,在总的弹性挠曲中所占的比例最大，w约为yz之半，w在板边部下降很快，y25 和Z,值很小在 (2)x一定时，P与各弹性分量之间以及P一8(x)关系基本上是线性的，可以定义辊 系刚度为 Kx=AP/A(8h(x)) 共得到5种板宽、不同x点的Kr值27个，其相关系数R≥0.95，标准离差≤0.00T/mm。 (3)KR与(I-B)以及x之间呈指数函数关系。x或(I-B)不同时，Ka一(1-B)或KR一 x曲线的变化率不同影即K受x和(I一B)的交互作用的影响。 采用函数拟合的方法，将弹性基础梁方法理论计算结果转化为以下的Kr(T/mm)模 型 30
“ ， 干 粤 一 筹 召 一 · 卜 亿 ’ ‘ · 卜 ‘ 一 ， ， 亿 黔《合 ‘ “ 一 “ ，， · ‘一一 告 ， ，， 士 彭粉 ， · 【 亿石 ， 二百万兀万】 一 散 侧又而 砰矛〕 争卜 ， 亿 、 二 ， · 【 “ 一 ， ， 亿 一 ， ‘黯 一 黔 一 赤 瑟百 吕 〕 ‘ · 一 【 ‘黯 一 宁 ， 卜 炭 不 “ 、 百是 了 ’ ， ‘ · ， ‘宁 一 斋 ，一 菏一 丽轰 ， 】 。 一 一 【 宁 一 爵 一 贵一 丽备 · ’ 】 。 在计算中注意 ， ， ， 求得上述各弹性分量之 后 ， 则出 口 板材的横向厚差 “ ‘ ， ‘ ， ’ 。 。 卜 【 ‘ 】 △ ， 式中 △ ， 二 。 ， 。 一 ‘ ， · 共一 图。 “ 二 ，理论计算的流程 。 为了对 比 实验结果 ， 对言器 ‘ “ 四 辊 冷 轧 机 ， 轧制宽 、 、 、 、 与 为 的 黄铜带 的条件 进行 计 算 ， 结 果 如图 所示 。 可 以看出 在总的弹性挠 曲中所 占的 比例最大， 约为 之 半 ， 在板边部下降很快， “ 和 值很小在 一定时 ， 与各弹性分量之 间以及 一色 关系基本上是线性的 ， 可 以 定义辊 系刚度为 “ · “ ‘△ 全 共得到 种板宽 、 不 同 点的 值 个 ， 其相关系数 》 。 ， 标 准 离 差 。 。 与 以及 之 间呈指数函数关系 。 或 一 不 同 时 ， 卜 一 或 一 曲线的变化率不 同， 即 受 和 一 的交互作用 的影 响 。 采用 函数拟合的方法 ， 将弹性基础梁方法理论计算结果 转化为 以 下 的 模 型