一类非线性自治大系统的全局稳定性

D0I:10.13374/j.is8n1001053x.1986.01.037 北京钢铁学院学报 1988年12月 Journal of Beijing University No.4 第4期 of Iron and Steel Technology Dec.1986 一类非线性自治大系统的全局稳定性 廖福成 (数学第一教研) 摘 要 本文研究非戈州日治大系统 (i=1,…,r) 这里，x:ERni,f:jEC(RnJ,Rni),f:1(o)=0,得到保证其零解为全同一致渐近稳定 的充分条件（见定理1）， 关键词：非线性系统，自治系统，大系统，全局稳定牲 On Uniformly Asymptotic Stability in the Large to the Non-Linear Autonomous Large-Scale Systems Liao Fucheng Abstract Let f,i (i,j=1,2....,r)are continuous,the autonomous nom-linear arge-scale system with equatiom d-=三f1(x1)(i=1,2”r） dt j:1 are considered,where xi is n;vectors and,assume it has a null solution. Some rather well conditions,under which the null solution of above system is uniformly asymptotically stable in the large,is obtained. Key words:non-linear system,autonomous system,large-scale system,sta- bility in the large 1986-01-10收到 120

， 年 月 第 期 北 京 钢 铁 学 院 学 报 。 一类非线性 自治大系统的全局稳定性 廖 福 成 数学第一教研 哼为 摘 要 木文 研究非乡钟 日 洽大 系统 ， 、 ， 气 一 二二二 尹 圣 气 气 — ， ’ ， 盆 少 二 这里 ， ， ” 的充分条件 见定理 ， ， 得到保证其 零解为全局 一致渐 近稳定 关键词 非线性 系统 ， 自治 系统 ， 大系统 ， 全局稳定性 一 一 ， ， … … ， ， 以 ， 以 一 一 飞 一 ， ‘ 一 里 ， “ ， “ ， ’ ‘ 二 ‘ ， “ ’ · · ， ， 一 ， ， 。 一 了 ， 、 ， 一 ， 一 一 良到 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1986．04．037

关于非线性自治系统，文〔1〕已有比较详细的研究。本文利用加权和的Liapunov函 数法，研究一类类似于“分离变量”型的非线性自治大系统，得到判定其零解全局一致渐近 稳定的条件， 本文考虑系统 dfn(x) dt j=1 （i=1,2,,r) (1) 其中，x:∈Ri,fii∈C(Ri,Ri),f;i(o)=0,x=(x,,x)T∈R"。 定理1·设系统(1)满足条件： ①对每个i(i=1,,r),f.i:R"→Rn是梯度映射r2,且满足：f:(x1)xi <0(x+0),投m-1f:(x)重=+， ② 1f(x)≤b:1(i+j,x,≠0)， Ifji(xi) 其中b:为常数， ③矩阵 ,-1b12…b1r b21-1…b2: B= b,1b,2…-1 稳定（即其所有特征值都有负实部）， 则系统(1)的零解是全局一致渐近稳定的。 证明f::(x:)为梯度映射，它的位势可取为2) ∫：(tx)xd, 其中fH:表示f:(tx:)的转置，令 u,(x)=-∫：(tx)x:d, 由假设条件①易知v,在R1中正定，注意到 kw=(8驶)-=-(x)(x) dvi j=1 ≤-1f:(x,)1+8,Ifi(x;)11f1;(x1)1 年1 j≠i =1f:(x,)I〔-8：(x:)司+三，Tf,:（x,)了f(x)I门 目fi(x:)具〔-用f,:(x,)1+Sb:if,i(x;)I) j1 isi 121

关于非线性 自治系统 ， 文 〔 〕 已有比 较详细 的研究 。 本文利用 加权 和的 函 数法 ， 研究 一 类类似于 “ 分 离变量 ” 型的非线性 自治大 系统 ， 得到判 定 其零解全局 一致 渐近 稳定 的条件 ， 本文考虑 系统 、 互 一一 二 ，一 二 云 气 一 ， … ， 其中 定理 ， 〔 ” 〔 ， ” ， ， 二 ， … ， 丁 〔 ” 。 。 设 系统 ①对 每个 ， 满足 条川 尺 ” ‘ ” ‘ 是 梯度映 射 〔 〕 ， 满足 丁 ， ， 祷 入 一一， 簇 二 铸 ， 子 料 一奋且几口 ② 其 中 ，为常 数 ③ 矩 阵 厂 一 … ， 二 ” 一 ‘ … 丫 ， 一 稳定 即其所 有 特征值都 有负实部 ， 则系统 的零解是 全局 一致渐近 稳定的 。 证 明 ， 为 梯度映 射 ， 它 的位 势可取 为〔 “ 〕 丁 ‘丁 ‘ 一 ’ ‘ ， 其 中 丁 ， 表示 的转 置 ， 令 · 卜 丁 ‘ ‘ ， ‘ ， 由假设 条件① 易知。 、 在 ” ‘ 中正定 ， 注 意到 二 一 丁 、 ， 艺 十 艺 儿‘ 不 一 、尸 一 一神 子 ， 一 干 艺 、 一 笋 土立止兰上车 、 ， 〕 司丫一

令i从1取到n,我们就得到了 1f1(x)1 0 If::(x:){ ；B (2) dt v,(1) 0 1f:,(x,)I f,,(x,)1 由于B稳定，B又是Metzler矩阵3)，所以可以找到正定对角矩阵D=diag(d,, d,)使得 BTD+DB 负定，取 留 V:(x1) 学 v(x)=Sd;v,(x:)=(d,,d,), V,(x,) 由条件①，不难知道V(x)是R中的正定函数，而且它是无限大的，又有无限小上界。由 (2)有 If:r(x)‖ 0 If1 1(x1)I 0la<d,,dr) B 0 1f,(x)昌1 If(x)1 f11(x:)I =(1f11(x1)I,,If,(x,)1DB If(x) 1f:(x:)‖ -(1f(x)1,1f,(x)1)(BD+DB) 2 If(x)i ≤-入三1f:(x:)12(其中>0，为一常数)， i✉l 所以（①又是负定的，由文献〔4）知系统(1)的零解是全局一致渐近稳定的， 证毕。 击：知果把条件@中的4-：《x）1=+“(=1,r)去璃，则仍能保 证全局稳定性但不能保证全局一致渐近稳定 定理2，把定理1中的①改为 ①′f；(x:)X1>0(x:≠0，i=1,…,r）, 条件②和3不变，则系统(1)的零解是不稳定的 证明，这时取 v (x)=f:f(tx)xd 122

令主从 取到 ， 我们 就得到了 一 ， 、 、 ， ， 。 一 、 — 竺 屯尧 勺 一 ， 一 一 寸 ， 钊勺钉咯山 呼 ︸ 由于 稳 定 ， 又 是 矩 阵 〕 ， 所 以 可 以找 到正 定 对 角矩 阵 二 ，， 使得 负 定 ， 取 ， 艺 ‘ 二 ， … ， 了 一 土 由条件① ， 不难 知 道 是 ” 中的正定 函 数 ， 而且它 是 无限大 的 ， 又有 无限 小上 界 。 由 有 工 ， ， ， 斋 、 ， 一 · ， ， 三 ， 二 】 ， ， … ， ， 二 ， 一 ， ， 〔 忍 〕 ， ， 《 一 久 艺 ， “ 其 中六 ， 为 一常 数 ，， 、 、 、 ， 、 ， ，、 ， ， ， 、 ， ‘ 、 ‘ 、 肌 以 习 「 关 龙 贝 退 旧 ， 田 又 献 七 知 杀 玩 戈 的 零解 是 全局 一致渐江 记足 日 证 毕 。 注 女口果 把 条件① 中的 ‘ 飞 、 一 卜 二 二 艾 一 ， 去 掉 ， 则仍 能保 证 全局 稳定性 但 不能保 证 全局 一致渐 近 稳 定 定理 把定理 中的① 改为 ① 产 丁 ， ‘ 二一 特 ， ， … ， 条件② 和③ 不变 ， 则 系统 的 零解 是 不稳 定 的 证 明 ， 这 时 取 · 王 卜 丁 ‘ ‘ ， ‘

则 k)=f:(x,)三f:(x) ≥1f:(x:)12-S1f:(x;)11fi(x1)1 j≠i ≥1fi(x,)I〔If:(x)I]-三bi1fi(x)1J(i=l,…,r) 1=1 j卡i ifi :x 1) 0 1f(x1)11 即 d dt (-B)日 0 日f:,(x,)‖： f,,(x,)1 山于B稳定，所以可取到正定对角矩阵D=diag(d,,d,)使得 -BTD+DB 2 正定，于是作正定V函数 v(x)=d,v,(x:), 同样推得 1f11(x:)1 0)2(1ix1,,1.(x1Dc-BD*DB) 1f.,(x,)目 ≥8ΣIf:(x:)I, 1】 这里8为一正数，所以'《)也正定，因此系统(1)的容解不稳定，证毕 考虑分离变量的非线性大系统 dx1=Sf,(x),(i=1,r) (3) dt j=1 其中f∈C(R,R),f,(0)=0,i,j=1,r、从定理1马上推得 推论1，设系统(3)满足 ①f:（x:)x:<0(x:≠0) 1im|f:;(x:)|=+∞(i=1,…r)s x;|*+% IEx1)|<b,(i中，x*0), 1f;i（x;) ③同定理1的③， 123

则 一铸兰 “ ， 。 全 七 ‘ 〔 ‘ 〕 〕 ， … ， 工 ， ， ， 全 。 一 。 山 于 稳定 ， 所 以 可取 到正定对 角矩 阵 ，， … ， 一 卜 正定 ， 于 是作 正定 函数 艺 同样 推得 ， ， ， ， ， 、 ， 二 ， ， 、 二 一不一 一 ‘ ‘ ， ‘ ， ， “ ’ ， 戈 “ 旦二 士丝 〕 七占艺 ， ， 一 、 、 ‘ 。 、 ， 一 ， 、 ， ， 、 ， ，二 ， 、 ， ， 、 一 一 这里占为一正 数 ， 所 以 一 艺今一 ， 、 也正定 ， 因此 系统 的 零解 不稳定 ， 一 ‘ 砂 证 毕 一 ， ‘ ’ ， 曰一‘ ， 目 护“ 小 “ 上 曰 竿 一 ” 吻 ’ 一 考虑分 离 变量 的非线性大 系统 艺 ， … ， ， “ · 、 从定理 马上推 得 一 一 ， 一 其 中 〔 ， 推 论 ， 设 系统 满足 ① 子 。 ， 。 一 二 ， … 卜 十 ， 二 一 ， 、通夕 一 了 下 一 一弓一 一 一 了 受砍 玉 节 ， 宁 少 少 ③ 同定理 的③

则系统(8)之零解是全村一致渐近稳定的 推论1与文献〔1〕给出了不同的判别条件 从定理1，还可推得： 推论2，对于系统 k=f(x), (4) 其中x∈R,f∈C(R",R"),如果f是梯度映射，L满足fr(x)x<0(当x≠0)，则 系统(4)之零解是全局稳定的 参考文献 〔1〕廖晓昕：中国科学，数学专辑(I),1979,124. 〔2〕陈文原：非线性泛函分析，甘肃人民出版社，1982. L3 Viljak,D.D.:large-Scale Dynamic Systems,Amsterdam,The Ne- therlands:Elsevier,1978. (4 Yoshizawa:Stability Theory and the Existence of Periodic Solutions and Almost Periodic Solutions,New York,Heidelberg,Berlin,1975,84 124

则系统 之 零解是 全局 一致渐 近 稳定 的 推论 与文 献 〔 〕 给 出 了不 同的判 别 条件 从定理 推论 ， 一 其 中 任尺 ” ， 系 统 ， 还 可 推 得 对 于 系统 又 二 〔 ” ， “ ， ， 如 果 是 梯度 映 射 ， 且满 足 当 铸 。 ， 则 之 零解 是 全局 稳 定 的 参 考 文 献 〔 〕 廖 晓 沂 ‘ ，国 科学 ， 数学 专辫 ， ， 〔 〕 陈文 由原 非 线性 泛 函分 析 ， 甘 肃人 民 出版 社 ， 忆 〕 ， 一 ， ， 、 ， 。 〔 ， 〕 一 ， ， ， ，