例2讨论函数x≤0x,在x=0 处的连续性f(x)=x>0x+a,Vy=x+aa>0解 因为y=x+aa=0lim f(x)= lim x = 0 = f(0),x-0x0y=x+aa<o所以f在x=0处左连续6xy=x又因为lim f(x)= lim(x +a)= a,x-0tx->0点击上图动画演示返回前页后页
前页 后页 返回 例2 讨论函数 , 0 ( ) , 0 x x f x x a x = + 在 x = 0 . 处的连续性 解 因为 所以 f x 在 = 0 . 处左连续 又因为 lim ( ) lim ( ) , 0 0 f x x a a x x = + = → + → + lim ( ) lim 0 (0), 0 0 f x x f x x = = = → − → − y = x + a a = 0 x y y = x o y = x + a a 0 y = x + a a 0 点击上图动画演示
所以，当a±0时，f在x=0处不是右连续的：当a=0时，f在x=0处是右连续的综上所述，当a=0时，f在x=0处连续当±0时，在x=0处不连续前页后页返回
前页 后页 返回 综上所述, 当a f x = = 0 , 0 时 在 处连续； 所以, 当 a f x = 0 , 0 时 在 处不是右连续的； 当a = 0时，f x 在 = 0 . 处是右连续的 当a 0时，在 x = 0 . 处不连续
二、问断点的分类定义4设函数f在x,的某(空心）邻域（U（x）)内有定义.若f在点xo无定义，或者在点x.有定义但却在该点不连续，那么称点x.为函数的一个间断点或不连续点由此，根据函数极限与连续之间的联系，如果f在点xo不连续，则必出现下面两种情况之一：前页后页返回
前页 后页 返回 二、间断点的分类 定义4 0 0 设函数 f x U x 在 的某( ) ( ( )) 空心 邻域 内有 定义.若f 在点 x0 无定义,或者在点 x0有定义但却 由此,根据函数极限与连续之间的联系, 如果 f 在 点 x0 不连续, 则必出现下面两种情况之一: 或不连续点. 在该点不连续,那么称点 x0为函数的一个间断点
(i)f在点x，无定义或者在点x.的极限不存在；(i）f在点x，有定义且极限存在，但极限值却不等于f(xo)根据上面的分析，我们对间断点进行如下分类1.可去间断点：若limf(x)=A存在,而f在点xxo无定义,或者有定义但 f(x）± A,则称x,是 f的一个可去间断点返回前页后页
前页 后页 返回 0 0 (i) ; f x x 在点 无定义或者在点 的极限不存在 等于f (x0 ). 0 (ii) , f x 在点 有定义且极限存在 但极限值却不 根据上面的分析, 我们对间断点进行如下分类： 1. 可去间断点: 若 0 lim ( ) , x x f x A → = 存在 0 而 f x 在点 0 无定义 或者有定义但 , ( ) , f x A 0 则称 x f 是 的 一个可去间断点
2. 跳跃间断点： 若 lim f(x)=A,lim f(x)=Bx-xtX-Xo都存在，但 A≠ B，则称点x,为f 的一个跳跃间断点.可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点注x是f的跳跃间断点与函数f在点xo是否有定义无关3.第二类间断点：若f在点x.的左、右极限至少有一个不存在，则称x，是f的一个第二类间断点后页返回前页
前页 后页 返回 2. 跳跃间断点：若 lim ( ) , 0 f x A x x = → − 0 lim ( ) x x f x B → + = 0 都存在 但, , A B 则称点 为 的一个跳跃间断 x f 注 x0 是 f 的跳跃间断点与函数 f 在点 x0 是否有定 点. 3. 第二类间断点: 若 f 在点 x0 的左、右极限至少 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点. 义无关. 0 有一个不存在, 则称 x f 是 的一个第二类间断点